关于三角形四边形及N边形全等的研究.docx

1、关于三角形四边形及N边形全等的研究关于三角形、四边形及N边形全等的研究 少儿15班 王乙琛 在“全等三角形”一章中提到了“全等”这一概念，所谓“全等”就是指若两个图形能够完全重合，那么，这两个图形全等。在书中，只是笼统地提到了全等这一概念，且只用边、角提出了几条能够证明三角形全等的公理，对四边形及n边形的全等也少有提及，那么，除边、角以外利用哪些条件能够证明三角形全等呢？四边形、N边形的全等又怎样证明？最少需要多少条件？这就是本文重点研究的内容。三角形考虑到三角形内部还有高、中线、角平分线及中位线等线段，那么，除了课本上所讲的那五条证明三角形全等的定理外，还有哪些情况可以证明三角形全等？利用这

2、些线能否证明两三角形全等？下面进行一些初步研究。根据边、角、线的组合进行分类，主要分以下七种情况研究：边、角、线、边与角、边与线、角与线、边+角+线。一、边：三边（SSS）对应相等的两个三角形全等，这是三角形全等定理，见课本数学八年级上册第十一章P7，在此不详述。二、角：三角（AAA）对应相等的两个三角形是否全等？结论是不全等，见图（1），举一个典型反例，在正三角形ABC中，D、E、F分别是三边上的中点，由此三点组成DEF，其中A=FDE=B=DEF=C=EFD=600，但ABC与DEF不全等。三、线：三角形的线分为高（H）、中线（M）、角平分线（B），此类情况较复杂，本文暂不研究。四、边与角

3、：由边与角构成的判定条件分如下四种情况进行研究。1、AAS（两角及一角对边）2、ASA（两角及其夹边）3、SAS（两边及其夹角）4、SSA（两边及一边对角）AAS、ASA、SAS是判定三角形全等的定理，在此不详述，具体见课本数学八年级上册第十一章；下面来求证SSA是否可判定三角形全等？结论不一定全等。见图（2）。 在ABC与ABD中，AB=AB，AC=AD，B=B，而ABC与ABD并不全等。 通过以上论述，在直角三角形中，由于有一个直角是确定的，所以我们可得出：HL（斜边与直角边）、HH（两直角边）、HA（直角边与角）、LA（斜边与角）相等，直角三角形全等。后面将作为定理使用。五、边与线：根据

4、边与线的情况，分两大类“两边一线”和“一边两线”来研究。1、两边一线：由两条边及一条线构成的情况分以下几种进行研究（高为H，中线为M，角平分线为B）：1SHS（两边及其中一边上的高）：两边及其中一边上的高相等，三角形不一定全等。反例说明。见图（3）。在ABC与DEF中，ABC为正三角形，边长为a，DEF为顶角为1200的等腰三角形，腰长为a，AB=DE，AC=DF，BM=EN=a,但显然ABC与DEF并不全等。2SSH（两边及另一边上的高）：两边及另一边上的高相等，三角形不一定全等。反例说明。见图（4）在ABC与ADC中，AE是它们的高，已知AB=AB，AC=AD，AE=AE，但两三角形不全等

5、。3SMS（两边及其中一边上的中线）:两边及其中一边上的中线相等，三角形全等。见图（5）。在ABC与DEF中，AM和DN分别是它们的中线，已知：AB=DE，AM=DN，BC=EF求证：ABCDEF证明： BC=EF，AM、DN分别为这两边上的中线 BM=ENMC=NF在ABM与DEN中ABMDENAMC=DNF在AMC与DNF中 AMCDNF ABCDEF4SSM（两边及另一边上的中线）: 两边及另一边上的中线相等，三角形全等。见图（6）在ABC与DEF中，已知：AB=DE，AC=DF，AM=DN，求证: ABCDEF。证明:将AM、DN倍长至G、H，连接BG、CG、EH、FH AM、DN是中

6、线 AG、BC互相平分 DH、EF互相平分 四边形ABCG与四边形DEFH是平行四边形又AB=DE，AC=DF，AM=DN AC=DF在ACG与DFH中 AG=DH CG=FHACGDFHCAM=FDN同理ABGDEH，BAM=EDNCAM+BAM=FDN+EDN BAC=EDF AB=DE在ABC与DEF中 BAC=EDF AC=DF ABCDEF5SBS（两边及其中一边对角的角分线）:无法求证或给出反例。6SSB（两边及其夹角的角分线）: 两边及其夹角的角分线相等，三角形全等。见图（7）。在ABC与DEF中，已知：AB=DE，AC=DF，AM=DN，求证: ABCDEF。证明：将BA倍长,

7、ED倍长，分别作AM、DN的平行线交BA延长线与ED延长线于G、H。AMCG，DNFH又ACG=G，DFH=H AG=AC，DH=DF AC=DF，AB=DE AG=DH BG=AB+AG=DE+DH=EH AM=DN GC=HF AG=DH在ACG与DFH中 AC=DF GC=HFACGDFHG=HBAC=2BAM=2G，EDF=2EDN=2HBAC=EDF AB=DE在ABC与DEF中 BAC=EDF ABCDEF AC=DF2、一边两线：由两条边及一条线构成的情况分以下几种进行研究（高为H，中线为M，角平分线为B）：1HSH（两高及其中一高所在的边）：2HHS（两高及另一边）：3MSM（

8、两中线及其中一中线所在的边）：4MMS（两中线及另一边）：两中线及另一边相等，三角形全等。见图（8）。在三角形ABC与DEF，已知:BC=EF，BM=EQ，CN=FR，BM、CN、EQ、FR是中线。求证：ABCDEF 证明：O、P分别是两三角形重心CO=NC，BO=BM，FP=FR，EP=EQ，ON=NC，OM=BM，PR=FR，PQ=EQ又BM=EQ，NC=FRCO=FP，BO=EP，ON=PR，OM=PQ CO=FP 在OBC与PEF中 BO=EP BC=EF OBCPEFBOC=EPF NOB+BOC=1800 ，RPE+EPF=1800 NOB=RPE BO=EP在N0B与RPE中 N

9、OB=RPE ON=PRN0BRPE同理MOCQPFOBCPEFABC=NBO+OBC=REP+PEF=DEFACB=MCO+OCB=QFP+PFE=DFE ABC=DEF在ABC与DEF中 BC=EF ABCDEF ACB=DFE5BSB（两角平分线及其中一角对边）：无法求证或给出反例。6BBS（两角平分线及其夹边）：无法求证或给出反例。六、角与线：根据角与线的情况，分两大类“两角一线”和“一角两线”来研究。1、两角一线：由两角及一条线构成的情况分以下几种进行研究（高为H，中线为M，角平分线为B）：1AHA（两角及其夹边上的高）：两角及其夹边上的高相等，三角形全等。由于钝角三角形的高在三角形

10、外，我们分两种情况进行研究。、高在三角形内部，见图（9）。在ABC与DEF中，AM和DN是高，已知：B=E，C=F，AM=DN求证：ABCDEF证明：AM、DN分别是BC、EF边上的高AMBC DNEFAMB=DNE=900 AMC=DNF=900 B=E在ABM与DEN中 AMB=DNE=900 AM=DNABMDEN同理ACMDFNABCDEF、高在三角形外部，见图（10）。在ABC与DEF中，AM和DN是高，已知ABC=DEF，C=F，AM=DN求证：ABCDEF证明：AM、DN分别是BC、EF边上的高AMBC DNEFAMB=DNE=900又ABC+ABM=DEF+DEN=1800AB

11、C=DEFABM=DEN AMB=DNE=900在ABM与DEN中 ABM=DEN AM=DNABMDENAB=DE ABC=DEF在ABC与DEF中 C=F ABCDEF AB=DE2AAH（两角及另一边上的高）：两角及另一边上的高相等，三角形全等。由于钝角三角形的高在三角形外，我们分两种情况进行研究、高在三角形内部，见图（11）。在ABC与DEF中，BM、EN是高，已知ABC=DEF，C=F，BM=EN。求证：ABCDEF证明：BM、EN分别是AC、DF边上的高BMAC ENDFBMA=END=900又三角形内角和1800，ABC=DEF，C=FA=D C=F在BMC与NEF中 BMA=E

12、ND=900 BM=ENBMCNEF同理ABMDENABCDEF、高在三角形外部，见图（12）。在ABC与DEF中，AM、DN是高，已知BAC=EDF，C=F，AM=DN。求证：ABCDEF证明：三角形内角和1800，BAC=EDF，C=FABC=DEF又ABC+ABM=DEF+DEN=1800ABM=DENAM、DN分别是BC、EF边上的高AMBC，DNEFAMB=DNE=900 AMB=DNE=90在ABM与DEN中 ABM=DEN AM=DNABMDENAB=DE BAC=EDF在ABC与DEF中 C=F ABCDEF AB=DE3AMA（两角及其夹边上的中线）：两角及其夹边上的中线相等

13、，三角形全等。见图（13）。在ABC与DEF中，AM、DN是中线，已知B=E ，C=F，AM=DN求证：ABCDEF证明：B=E C=FABCDEF（AA）K（对应边的比例）=AM=DNK=1K=1AB=DE B=E在ABC与DEF中 C=F ABCDEF AB=DE4AAM（两角及另一边上的中线）：两角及另一边上的中线相等，三角形全等。见图（14）。在ABC与DEF中，AM、DN是中线，已知BAC=EDF，C=F，AM=DN求证：ABCDEF证明：三角形内角和1800BAC=EDF C=FB=EABCDEFK（对应边的比例）=又AM、DN是中线，且AM=DNK=1K=1AB=DE BC=EF

14、 AC=DF AB=DE在ABC与DEF中 BC=EF ABCDEF AC=DF5ABA（两角及另一角平分线）：两角及另一角平分线相等，三角形全等。见图（15）。在ABC与DEF中，AM、DN是角平分线，已知B=E，C=F ，AM=DN。求证：ABCDEF证明：三角形内角和1800 B=E，C=FBAC=EDFAM、DN分别是BAC、EDF的平分线BAM=EDN MAC=NDF B=E在BAM与EDN中 BAM=EDN AM=DNBAMEDN同理MACNDFABCDEF6AAB（两角及其中一角平分线）：两角及其中一角平分线相等，三角形全等。见图（16）。在ABC与DEF中，BM、EN是角平分线

15、，已知ABC=DEF，C=F，BM=EN。求证：ABCDEF证明：三角形内角和1800 ABC=DEF C=F BAC=EDF BM、EN分别是ABC、DEF的平分线 ABM=DEN MBC=NEF MBC=NEF在MBC与NEF中 C=F BM=EN MBCNEF同理ABMDENABCDEF2、一角两线：由一角及两条线构成的情况分以下几种进行研究（高为H，中线为M，角平分线为B）。1HAH（两高及其所在边的对角）：两高及其所在边的对角相等，三角形全等。由于钝角三角形有两条高在三角形外，我们分三种情况进行研究：两条都在内部；一条在内部，一条在外部；两条都在外部。、高在三角形内部：见图（17）。

16、在ABC与DEF中，BM、CN是ABC的两条高，EQ、FR是DEF的两条高，已知ACB=DFE，BM=EQ，CN=FR。求证：ABCDEF证明：BM、EQ是AC、DF上的高BMC=EQF=900BMC=EQF在BMC与EQF中 ACB=DFE BM=EQBMCEQFBC=EF BC=EF 在RtNBC与RtREF中 CN=FRRtNBCRtREFABC=DEF ABC=DEF在ABC与DEF中 ACB=DFE ABCDEF BC=EF、高在三角形外部：见图（18）。在ABC与DEF中，AM、CN是ABC的两条高，FP、DO是DEF的两条高，已知ABC=DEF，AM=DO，CN=FP。求证：AB

17、CDEF证明：ABC=DEF，ABM、DEO是ABC、DEF的外角 ABM=DEO ABM=DEO在ABM与DEO中 AM=DOABMDEOAB=DE同理BC=EF AB=DE在ABC与DEF中 ABC=DEF BC=EFABCDEF、一高在内部，一高在外部：见图（19）。在ABC与DEF中，AM、BN是ABC的两条高，EP、DO是DEF的两条高，已知ACB=DFE，AM=DO，BN=EP。求证：ABCDEF证明： BN=EP在BNC与EPF中 ACB=DFEBNCEPF BC=EF AM=DO在AMC与DOF中 ACB=DFEAMCDOFAC=DFAC=DF在ABC与DEF中 ACB=DFE

18、 BC=EFABCDEF2HHA（两高及另一边的对角）：3MAM（两中线及其所在边的对角）：4MMA（两中线及另一边的对角）：5BAB（两角平分线及其中一角）：6BBA（两角平分线及另一角）七、边+角+线：情况较为复杂，现暂时只研究以下一种HAS （一高、其所在边及邻角）：一高、其所在边及邻角相等，三角形全等。见图（20）。在ABC与DEF中，AM、DN是高，已知：BC=EF，ACB=DFE，AM=DN。求证：ABCDEF证明： AMBC，DNEF ACB=DFEACM=DFNAMCDNFAC=DF AC=DF在ABC与DEF中 ACB=DFE BC=EFABCDEF四边形进行完三角形全等的研

19、究后，我们自然想到了其它图形的全等问题。四边形是其中重要的一部分。证明四边形的全等至少需要几个条件？哪些情况可以判定四边形全等？这就是本部分所研究的内容。在下面的研究中四边形的边统一简称为S，角为A，对角线为D。通过三角形的研究，我们知道判定三角形全等只需要“三个条件”，那么判定四边形全等是否也只需要“四个条件”？下面分五种情况分别研究：四边、三边一角、二边二角、一边三角、四角。一、四边（SSSS）：两四边形，四边对应相等，四边形不一定全等。反例说明。见图（21）。正方形ABCD与菱形EFGH的四条边对应相等，但正方形ABCD与菱形EFGH显然不全等。二、三边一角（SSSA）：两四边形，三边对

20、应相等，其中任意一角对应相等，四边形不一定全等。反例说明。见图（22）。在四边形ABCD与四边形ABCE中，AB=AB，AD=AD， BC=BE，D=D，四边形ABCD与四边形ABED不全等。三、二边二角（SSAA）：1、二对边二对角：两四边形，二条对边对应相等，二对角对应相等，四边形不一定全等。反例说明。见图（23）。在正方形ABCD与长方形AEFD中，对边AD=AD，BC=EF，对角BAD=EAD=900，BCD=EFD=900，正方形ABCD与长方形AEFD不全等。2、二对边二邻角：两四边形，二条对边对应相等，二邻角对应相等，四边形不一定全等。反例说明。见图（23）。在正方形ABCD与长

21、方形AEFD中，对边AD=AD，BC=EF，邻角BAD=EAD=900，ABC=AEF=900，正方形ABCD与长方形AEFD不全等。3、二邻边二邻角：两四边形，二条邻边对应相等，二邻角对应相等，四边形不一定全等。反例说明。见图（22）。在四边形ABCD与四边形ABCE中，邻边AB=AB，AD=AD，邻角DAB=DAB，ADC=ADE，四边形ABCD与四边形ABED不全等。4、二邻边二对角：两四边形，二条邻边对应相等，二对角对应相等，四边形不一定全等。反例说明。见图（24）。在正方形ABCD与四边形EFGH中，邻边AD=EH，AB=EF，对角ADC=EHG，ABC=EFG，正方形ABCD与四边

22、形EFGH不全等。四、一边三角（SAAA）：两四边形，一边对应相等，三角对应相等，四边形不一定全等。反例说明。见图（23）。在正方形ABCD与长方形AEFD中，一条公共边AD相等，任意三角都为直角且对应相等，但正方形ABCD与长方形AEFD不全等。五、四角（AAAA）：两四边形，四角对应相等，四边形不一定全等。反例说明。见图（23）。在正方形ABCD与长方形AEFD中，四个角都为直角且对应相等，正方形ABCD与长方形AEFD不全等。 通过以上研究，我们发现如果只满足四个条件无法判定四边形全等，所以为了研究四边形全等问题，必须再增加一个条件，即是否满足五个条件可判定四边形全等？我们按照组成判定情

23、况的内容分类，分为“边与角”和“边+角+对角线”两类来进行研究。（由于对角线部分较为复杂，我们仅对可以给出证明或反例的情况进行研究）。一、边与角：由边、角构成的情况很多，我们按照边、角的数量进行分类研究，主要分为四边一角、三边二角、二边三角和一边四角四类。1、四边一角（SSSSA）：两四边形，如果四边相等且一个角相等，则四边形全等。见图（25）。在四边形ABCD与四边形EFGH中，已知：AB=EF，BC=FG，CD=GH，AD=EH，ABC=EFG求证：四边形ABCD四边形EFGH。证明：连接AC、EG AB=EF 在ABC与EFG中 BC=FG ABC=EFGABCEFGAC=EG CAB=

24、GEF AC=EG在ADC与EHG中 AD=EH CD=GHADCEHGADC=EHG DAC=HEGDAC+CAB=HEG+GEFDAB=HEF同理BCD=FGH AB=EF BC=FG CD=GH AD=EH在四边形ABCD与四边形EFGH中 ABC=EFGADC=EHGDAB=HEF BCD=FGH四边形ABCD四边形EFGH2、三边二角：由三边及两角组成的情况有以下几种（因图型翻转产生的不同情况计为一种）：SSSAA、SSASA、SASAS、SASSA。下面我们对这些情况分别进行研究：1SSSAA：两四边形，如果三边对应相等，第四边的两邻角对应相等，四边形不一定全等。反例说明。见图（2

25、6）。在四边形ABCD与四边形CDEF中，AB=EF，BC=FC，CD=CD，DAB=DEF，ADC=ADC，但四边形ABCD与四边形CDEF不全等。2SSASA：两四边形，如果边、邻边、邻角、夹边、角对应相等，四边形不一定全等。反例说明，见图（27）。在四边形ABED和四边形ABCD中，已知：BE=BC，AB=AB，DAB=DAB，AD=AD，ADE=ADC。显然四边形ABDE和四边形ABCD不全等。3SASAS：两四边形，如果边、夹角、边、夹角、边相等，则四边形全等。见图（28）。在四边形ABCD与四边形EFGH中，已知：AD=EH ，DAB=HEF ，AB=EF，ABC=EFG ，BC=

26、FG相等。求证：四边形ABCD四边形EFGH。证明：连接AC、EGAB=EF在ABC与EFG中 BC=FG ABC=EFGABCEFGCAB=GEF，AC=EGDAB=HEFDAC=HEG AC=EG在ADC与EHG中 AD=EH DAC=HEGADCEHGCD=GHAB=EF BC=FG在四边形ABCD与四边形EFGH中 CD=GH AD=EH DAB=HEF四边形ABCD四边形EFGH SASSA：两四边形，如果边、夹角、边、邻边、邻角相等，四边形不一定全等。反例说明。见图（29）。在四边形ABCD与四边形FECD中，已知：AB=EF,E=B, BC=EC,CD=CD，D=D，但四边形AB

27、CD与四边形FECD不全等。3、二边三角：我们根据这两条边的关系，来讨论四边形全等的情况。四边形内角和为3600，只要三个角对应相等，第四个角也必定相等。因此，所有的情况中角都是一样的，讨论只针对边来进行分类。 SSAAA（对边及三个角）：两四边形，三个角对应相等，两条对边对应相等，四边形不一定全等。反例说明。见图（30）。正方形ABCD与长方形AEFD中，AD=BC=EF，两四边形的各内角均为直角，但正方形ABCD与长方形AEFD不全等。 SSAAA（邻边及三个角）：两四边形中，三个角对应相等，两条邻边对应相等，则四边形全等。见图（31）。在四边形ABCD与四边形EFGH中，已知：ABC=EFG，ADC=EHG，DAB=HEF，BCD=FGH，AB=EF，AD=EH。求证：四边形ABCD四边形EFGH。证明：连接BD、FH AB=EF在DA