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1、完整word版概率论与数理统计习题集及答案word文档良心出品doc概率论与数理统计作业集及答案第 1 章概率论的基本概念1 .1随机试验及随机事件1. (1)一枚硬币连丢3 次，观察正面 H反面 T 出现的情形 . 样本空间是： S=；(2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S=；2.(1)丢一颗骰子 .A：出现奇数点，则A=； B：数点大于 2，则 B=.(2)一枚硬币连丢2次，A ：第一次出现正面，则 A=；B：两次出现同一面，则=； C ：至少有一次出现正面，则C=.1 .2 随机事件的运算1.设 A、 B、 C 为三事件，用 A、 B、 C的运算关系表示下列各事件

2、：(1)A 、 B、C 都不发生表示为：.(2)A与 B 都发生 , 而 C不发生表示为：.(3)A 与 B 都不发生 , 而 C 发生表示为：.(4)A、B、C 中最多二个发生表示为：.(5)A 、B、C 中至少二个发生表示为：.(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为：.2. 设 S x : 0 x 5, A x :1x3, B x : 24 ：则（1）A B，（ 2） AB，（3） AB，（4） A B=，（5） AB =。1 .3 概率的定义和性质1.已知 P(AB)0.8, P( A) 0.5, P(B) 0.6，则(1) P( AB),(2)(P(A B)=,(3) P(A B)

3、=.2.已知 P( A)0.7,P(AB)0.3,则 P(AB) =.1 .4 古典概型1.某班有 30 个同学 , 其中 8 个女同学 , 随机地选 10 个 , 求:(1) 正好有 2 个女同学的概率 ,(2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有2 个女同学的概率 .2.将 3个不同的球随机地投入到4 个盒子中 , 求有三个盒子各一球的概率 .1 .5 条件概率与乘法公式1丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1 的概率是。2.已知 P( A) 1/ 4, P(B | A)1/3, P(A|B)1/2, 则 P(AB)。1 .6 全概率公式1.有 10 个签，其中

4、2 个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有 4 个红球 6 个白球，第二盒中有 5 个红球 5 个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。- 1 -1 .7 贝叶斯公式1 某厂产品有 70%不需要调试即可出厂， 另 30%需经过调试， 调试后有 80%能出厂，求（ 1）该厂产品能出厂的概率， （ 2）任取一出厂产品 , 求未经调试的概率。2 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出去，接收站收到时， A 被误收作 B 的概率为 0.02 ，B 被误收作 A 的概率为 0.01 ，信息 A 与信息 B 传递的频繁

5、程度为 3 : 2 ，若接收站收到的信息是 A，问原发信息是 A 的概率是多少？1 .8 随机事件的独立性1.电路如图，其中 A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为 p, 求 L 与 R 为通路（用 T 表示）的概率。A BL RC D3. 甲，乙 , 丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为 0.4,0.5 和 0.6 ，是否命中，相互独立， 求下列概率 : (1) 恰好命中一次 ,(2) 至少命中一次。第 1 章作业答案1 .1 1：（ 1） S HHH , HHT , HTH ,THH , HTT , THT ,TTH , TTT ；（2） S 0,

6、1, 2, 32：（ 1） A 1,3,5B3, 4, 5, 6；（2） A 正正，正反 , B 正正，反反 , C 正正，正反，反正 。 1.2 1： (1)ABC ；(2) ABC ；(3) A B C ；(4) ABC ；(5) AB ACBC ；(6)A BA CB C或 ABCA B CA B CABC ；2：( 1)AB x :1x4；(2) AB x : 2x3 ；(3)AB x : 3 x4 ；（ 4） A B x : 0x1或 2 x5 ；（ 5） A B x : 1 x 4 。 1.3 1：(1)P( AB ) =0.3,(2)P( A B) =0.2,(3) P( AB)

7、 =0.7. 2：P( AB) )=0.4.- 2 -1 .41：(1) C82C 228 / C 3010,(2)( （ C 2210C 81C 229C82C 228）/ C3010,(3)1-(C 2210C81C 229）/ C 3010.2： P43 /43. 1.51： . 2/6；2： 1/4。 1.61： 设 A 表示第一人“中” ，则 P(A) = 2/10设 B 表示第二人“中” ，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A )P(B|A )=2182210910910,两人抽“中的概率相同与先后次序无关。2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5 ，所求概率

8、为：p = 0.5 0.4 + 0.5 0.5 = 0.45 1.71：（ 1） 94%（ 2） 70/94；2：0.993； 1.8. 1 ： 用 A,B,C,D表示开关闭合，于是T = AB CD,从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)p 2p2p 42 p 2p42： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)

9、=0.88.第 2 章 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念，离散型随机变量1一盒中有编号为1， 2， 3，4， 5 的五个球，从中随机地取3 个，用 X 表示取出的3 个球中的最大号码 .,试写出 X 的分布律 .2某射手有5 发子弹，每次命中率是0.4 ，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用 X 表示射击的次数 , 试写出 X 的分布律。2.20 1 分布和泊松分布1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从 =4 的泊松分布，求(1)每分钟恰有1 次呼叫的概率；(2) 每分钟只少有 1 次呼叫的概率；(3)每分钟最多有 1 次呼叫的概率；2 设随机变量 X 有分布律

10、： X 23, Y (X),试求：p0.40.6（1） P(X=2,Y 2)； (2)P(Y 2)； (3) 已知 Y 2, 求 X=2 的概率。2.3 贝努里分布1 一办公室内有 5 台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有 2台计算机被使用的概率是多少？(2)至少有3 台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有3 台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有1 台计算机被使用的概率是多少？- 3 -2 设每次射击命中率为 0.2，问至少必须进行多少次独立射击， 才能使至少击中一次的概率不小于 0.9 ？2.4 随机变量的分布函数

11、0 x 11 设随机变量 X 的分布函数是： F(x) = 0.5 1 x 11 x 1（ 1）求 P(X 0 )； P 0 X 1 ； P(X 1)， (2) 写出 X 的分布律。Axx0, 求（1）常数 A,(2)P 1 X 2 .2 设随机变量 X 的分布函数是： F(x) = 1 x0x02.5 连续型随机变量kx 0 x 11 设连续型随机变量 X 的密度函数为： f ( x)0 其 他（1）求常数 k 的值；（ 2）求 X 的分布函数 F(x) ，画出 F(x) 的图形，（3）用二种方法计算 P(- 0.5X0.5).2.6 均匀分布和指数分布1 设随机变量 K 在区间 (0, 5

12、) 上服从均匀分布 , 求方程 4 x2 + 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。- 4 -2 假设打一次电话所用时间（单位：分） X 服从 0.2 的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待： （ 1）超过 10 分钟的概率；（2） 10 分钟 到 20 分钟的概率。 2.7 正态分布1 随机变量 X N (3, 4), (1) 求 P(2X 5) , P(- 42), P(X3) ；(2) 确定 c，使得 P(Xc) = P(Xc) 。2 某产品的质量指标 X 服从正态分布， =160，若要求 P(120X200) 0.80，试问 最多取多大？2.8 随机变量函数的分布1

13、 设随机变量 X 的分布律为；X012p0.30.40.3Y = 2X 1, 求随机变量 X 的分布律。2(1 x) 0 x 12 设随机变量 X 的密度函数为： f (x) ，0 其 他YX 2 ；求随机变量 Y 的密度函数。3. 设随机变量 X 服从（ 0， 1）上的均匀分布， Y 2 ln X ，求随机变量 Y 的密度函数。第 2 章作业答案 2.11：X345p0.10.3 0.62：X12345p0.40.6 0.40.6 0.6 0.4 0.6 0.6 0.6 0.40.6 0.6 0.6 0.6 1 2.21： (1)P(X = 1) = P(X 1) P(X2) = 0.981

14、684 0.908422 = 0.073262,(2)P(X1) = 0.981684,(3)P(X1) = 1 - P(X2) = 1 0.908422 = 0.091578。- 5 -2：(1) 由乘法公式：22e22e2)= 2 e2P(X=2,Y 2) = P(X=2) P(Y 2 | X=2)= 0.4 ( e（2）由全概率公式： P(Y 2) = P(X=2) P(Y 2 | X=2) + P(X=3) P(Y 2 | X=3)= 0.4 5e2+ 0.6173= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 e2（ 3）由贝叶斯公式： P(X=2|Y 2)= P( X2

15、, Y2) 0.270670.516P(Y2)0.524582.31： 设 X 表示在同一时刻被使用的台数，则XB(5,0.6),(1) P( X = 2 ) = C52 0.620.43(2) P(X3)=C53 0.630.42C54 0.6 40.4 0.65(3)P(X 3)=1-C54 0.6 40.40.65(4)P(X 1 ) = 1 -0.452： 至少必须进行11 次独立射击 . 2.41：X1= 0.5； P(X 1) = 0.5，（ 1）P(X 0 )=0.5； P 0(2) X 的分布律为：X-11P0.50.52： (1)A=1,(2)P1X2=1/60x0 2.51

16、 ：（1） k 2 ，（ 2） F (x)x 20x1 ；1x10.5f (x)dx00.51；（3） P(- 0.5X0.5) =0dx2xdx40.50.50或 = F(0,5) F(-0.5) =1 11。4 42 ： （ 1） f ( x)1/ x1 xe0其（ 2） P( X 2) 1 ln 2他 2.6 1： 3/5 2： (1) e 2(2) e 2e 42.72.81： (1) 0.5328,0.9996,0.6977, 0.5； (2) c = 3 ，2： 31.25。1：Y- 113p0.30.40.31y) 0y11y / 22： fY ( y)(1， 3： f Y (

17、y)2ey 0 ；y0其他0y 0第 3 章 多维随机变量- 6 -3.1 二维离散型随机变量1. 设盒子中有 2 个红球， 2 个白球， 1 个黑球，从中随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球个数，用 Y 表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。2. 设二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布律为：X Y012试根椐下列条件分别求a 和 b 的值；00.10.2a(1) P( X1)0.6 ；10.1b0.2(2) P( X1| Y2)0.5 ；(3) 设 F ( x) 是 Y 的分布函数， F (1.5)0.5 。3.2 二维连续型随机变量k(x y) 0 x

18、1, 0 y 11. ( X、 Y) 的联合密度函数为： f ( x, y)0 其 他求（ 1）常数 k；（ 2） P(X1/2,Y1/2) ； (3) P(X+Y1) ； (4) P(X1/2) 。kxy0 x 1, 0y x2 ( X、 Y ) 的联合密度函数为： f ( x, y)其他0求（ 1）常数 k；（ 2） P(X+Y1) ；(3) P(X1/2) 。3.3边缘密度函数1. 设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X 与 Y 的边缘密度函数。f ( x, y)1x,y2 (1 x2 )(1 y2 )2. 设 (X, Y) 的联合密度函数如下，分别求 X 与 Y 的边缘密度函数。e

19、 x 0 y xf (x, y)其他0 3.4 随机变量的独立性1. (X, Y) 的联合分布律如下，X Y123试根椐下列条件分别求a 和 b 的值；11/61/91/18- 7 -(1)P(Y1)1/3；2ab1/9(2)P( X1|Y 2)0.5 ；（ 3）已知 X 与 Y 相互独立。2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c，并讨论 X 与 Y 是否相互独立？cxy20 x 1, 0y 1f ( x, y)其他0第 3 章作业答案3.11：X Y122：(1) a=0.1b=0.310.40.30.7(2) a=0.2b=0.220.30.0.3(3) a=0.3b=0.10.70

20、.313.21： (1) k = 1 ； (2) P(X1/2, Y1/2) = 1/8； (3) P(X+Y1) = 1/3；(4) P(X1/2) = 3/8 。2： (1) k = 8 ； (2) P(X+Y1) = 1/6； (3) P(X1/2) = 1/16 。3.31：f X ( x)1dy2x；2(12)(1y2)(1x2)xfY ( y)1dx2y；2(1x2)(12(12)y)y2：f X ( x)xe xx0f Y ( y)e yy00x0；0y；03.41： （ 1） a=1/6b=7/18；(2) a=4/9b=1/9；（ 3）a = 1/3, b = 2/9 。2：

21、c = 6, X 与 Y 相互独立。第 4 章 随机变量的数字特征4.1 数学期望1盒中有 5 个球，其中 2 个红球，随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球的个数，则 EX是：（ A）1； （B）1.2 ； （C）1.5 ； （D）2.3x2x 412. 设 X 有密度函数： f ( x)82, 求 E(X ), E(2X 1), E(其他X2),并求 X0大于数学期望E( X ) 的概率。- 8 -3. 设二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布律为：X Y012已知 E(XY)0.65，00.10.2a则 a 和 b 的值是：10.1b0.2（A ）a=0.1, b=0.3 ； （ B） a=0.3, b=0.1； （ C） a=0.2, b=0.2； （ D） a=0.15, b=0.25 。4设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求EX, EY, E( XY 1) 。xy0 x 1, 0y 2f ( x, y)其他04.2 数学期望的性质1设 X 有分布律：X0123 则E(X22 X3) 是：p0.10.20.30.4（A） 1；（B）2；（ C）3；（D）4.5yx2y 1 ，试验证