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《概率论与数理统计》作业集及答案

第1章

概率论的基本概念

§1.1

随机试验及随机事件

1.

（1）

一枚硬币连丢

3次，观察正面H﹑反面T出现的情形.样本空间是：

S=

；

（2）

一枚硬币连丢

3

次，观察出现正面的次数

.样本空间是：

S=

；

2.

（1）

丢一颗骰子.

A

：

出现奇数点，则

A=

；B：

数点大于2，则B=.

（2）

一枚硬币连丢

2

次，

A：

第一次出现正面，则A=

；

B：

两次出现同一面，则

=

；C：

至少有一次出现正面，则

C=.

§1.2随机事件的运算

1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

（1）A、B、C都不发生表示为：

.

（2）A

与B都发生,而C不发生表示为：

.

（3）A与B都不发生,而C发生表示为：

.（4）A

、B、C中最多二个发生表示为：

.

（5）A、B、C中至少二个发生表示为：

.（6）A

、B、C中不多于一个发生表示为：

.

2.设S{x:

0x5},A{x:

1

x

3},B

{x:

24}：

则

（1）AB

，

（2）AB

，（3）AB

，

（4）AB=

，（5）AB=

。

§1.3概率的定义和性质

1.

已知P（A

B）

0.8,P（A）0.5,P（B）0.6

，则

（1）P（AB）

（2）（

P（AB））=

（3）P（AB）=

.

2.

已知P（A）

0.7,

P（AB）

0.3,

则P（AB）=

.

§1.4古典概型

1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:

（1）正好有2个女同学的概率,

（2）

最多有2个女同学的概率

（3）至少有

2个女同学的概率.

2.

将3

个不同的球随机地投入到

4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.

§1.5条件概率与乘法公式

1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为

7,则其中一颗为

1的概率是

。

2.

已知P（A）1/4,P（B|A）

1/3,P（A|B）

1/2,则P（A

B）

。

§1.6全概率公式

1.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

2.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中

随机地取一个球，求取到红球的概率。

-1-

§1.7贝叶斯公式

1．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求

（1）该厂产品能出厂的概率，

（2）任取一出厂产品,求未经调试的概率。

2．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，

B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3:

2，若接收站收到

的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

§1.8随机事件的独立性

1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。

设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。

AB

LR

CD

3.甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相

互独立，求下列概率:

（1）恰好命中一次,

（2）至少命中一次。

第1章作业答案

§1.11：

（1）S{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}；

（2）S{0,1,2,3}

2：

（1）A{1,

3,

5}

B

{3,4,5,6}；

（2）A

{正正，正反},B

{正正，反反},C

{正正，正反，反正}。

§1

.21：

（1）

ABC；

（2）ABC；（3）ABC；（4）A

B

C；（5）ABAC

BC；

（6）

AB

AC

BC

或ABC

ABC

ABC

ABC；

2：

（1）

A

B

{x:

1

x

4}

；

（2）AB

{x:

2

x

3}；（3）

AB{x:

3x

4}；

（4）AB{x:

0

x

1或2x

5}；（5）AB{x:

1x4}。

§1

.31：

（1）

P（AB）=0.3,

（2）

P（AB）=0.2,

（3）P（A

B）=

0.7.2：

P（AB））=0.4.

-2-

§1.4

1：

（1）C82C228/C3010

（2）（（C2210

C81C229

C82C228）/C3010

（3）1-（

C2210

C81C229）/C3010

.

2：

P43/43.

§1

.5

1：

.2/6；

2：

1/4。

§1

.6

1：

设A表示第一人“中”，则P（A）=2/10

设B表示第二人“中”，则P（B）=P（A）P（B|A）+P（

A）P（B|

A）

=

2

1

8

2

2

10

9

10

9

10

两人抽“中‘的概率相同

与先后次序无关。

2：

随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是

0.5，所求概率为：

p=0.5

×0.4+0.5

×0.5=0.45

§1

.7

1：

（1）94%

（2）70/94；

2：

0.993；

§1

.8.1：

用A,B,C,D

表示开关闭合，于是

T=AB∪CD,

从而，由概率的性质及

A,B,C,D的相互独立性

P（T）=P（AB）+P（CD）-P（ABCD）

=P（A）P（B）+P（C）P（D）

–P（A）P（B）P（C）P（D）

p2

p2

p4

2p2

p4

2：

（1）0.4（1-0.5）（1-0.6）+（1-0.4）0.5（1-0.6）+（1-0.4）（1-0.5）0.6=0.38

；

（2）1-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.88.

第2章随机变量及其分布

§2.1随机变量的概念，离散型随机变量

1

一盒中有编号为

1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取

3个，用X表示取出的

3个球

中的最大号码.,

试写出X的分布律.

2

某射手有

5发子弹，每次命中率是

0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为

止，用X表示射击的次数,试写出X的分布律。

§2.2

01分布和泊松分布

1

某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数

X是服从λ=4的泊松分布，求

（1）每分钟恰有

1次呼叫的概率；

（2）每分钟只少有1次呼叫的概率；

（3）每分钟最多有1次呼叫的概率；

2设随机变量X有分布律：

X2

3

Y

～π（X）,

试求：

p

0.4

0.6

（1）P（X=2,Y≤2）；

（2）P（Y≤2）；（3）已知Y≤2,求X=2的概率。

§2.3贝努里分布

1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为

0.6，计算

机是否被使用相互独立，问在同一时刻

（1）

恰有2

台计算机被使用的概率是多少？

（2）

至少有

3台计算机被使用的概率是多少？

（3）

至多有

3台计算机被使用的概率是多少？

（4）

至少有

1台计算机被使用的概率是多少？

-3-

2设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？

§2.4随机变量的分布函数

0x1

1设随机变量X的分布函数是：

F（x）=0.51x1

1x1

（1）求P（X≤0）；P0X1；P（X≥1），

（2）写出X的分布律。

Ax

x

0,求

（1）常数A,

（2）P1X2.

2设随机变量X的分布函数是：

F（x）=1x

0

x

0

§2.5连续型随机变量

kx0x1

1设连续型随机变量X的密度函数为：

f（x）

0其他

（1）求常数k的值；

（2）求X的分布函数F（x），画出F（x）的图形，

（3）用二种方法计算P（-0.5

0x1

2设连续型随机变量x0的分布函数为：

F（x）=lnx1xe

1xe

（1）求X的密度函数f（x），画出f（x）的图形，

（2）并用二种方法计算P（X>0.5）.

§2.6均匀分布和指数分布

1设随机变量K在区间（0,5）上服从均匀分布,求方程4x2+4Kx+K+2=0

有实根的概率。

-4-

2假设打一次电话所用时间（单位：

分）X服从0.2的指数分布，如某人正好在你前面

走进电话亭，试求你等待：

（1）超过10分钟的概率；

（2）10分钟到20分钟的概率。

§2.7正态分布

1随机变量X～N（3,4）,

（1）求P（22）,P（X>3）；

（2）确定c，使得P（X>c）=P（X

2某产品的质量指标X服从正态分布，μ=160，若要求P（120

§2.8随机变量函数的分布

1设随机变量X的分布律为；X

0

1

2

p

0.3

0.4

0.3

Y=2X–1,求随机变量X的分布律。

2（1x）0x1

2设随机变量X的密度函数为：

f（x），

0其他

YX2；求随机变量Y的密度函数。

3.设随机变量X服从（0，1）上的均匀分布，Y2lnX，求随机变量Y的密度函数。

第2章作业答案

§2.1

1：

X

3

4

5

p

0.1

0.30.6

2：

X

1

2

3

4

5

p

0.4

0.6×0.4

0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.4

0.6×0.6×0.6×0.6×1

§2.2

1：

（1）

P（X=1）=P（X≥1）–P（X≥2）=0.981684–0.908422=0.073262,

（2）P（X≥1）=0.981684,

（3）P（X≤1）=1-P（X≥2）=1–0.908422=0.091578。

-5-

2：

（1）由乘法公式：

2

2e

2

2e

2

）=2e

2

P（X=2,Y≤2）=P（X=2）P（Y≤2|X=2）=0.4（e×

（2）由全概率公式：

P（Y≤2）=P（X=2）P（Y≤2|X=2）+P（X=3）P（Y≤2|X=3）

=0.4×5e

2

+0.6

17

3

=0.27067+0.25391=0.52458

×e

2

（3）由贝叶斯公式：

P（X=2|Y≤2）=P（X

2,Y

2）0.27067

0.516

P（Y

2）

0.52458

§2.3

1：

设X表示在同一时刻被使用的台数，则

X

～B（5,

0.6）,

（1）P（X=2）=C520.620.43

（2）P（X

≥3）=

C530.630.42

C540.640.40.65

（3）P（X≤3）=1-

C540.640.4

0.65

（4）P（X≥1）=1-

0.45

2：

至少必须进行

11次独立射击.

§2.4

1：

X

1

=0.5；P（X≥1）=0.5，

（1）P（X≤0）=0.5；P0

（2）X的分布律为：

X

-1

1

P

0.5

0.5

2：

（1）A=1,

（2）P1

X

2

=1/6

0

x

0

§2.5

1：

（1）k2，

（2）F（x）

x2

0

x

1；

1

x

1

0.5

f（x）dx

0

0.5

1

；

（3）P（-0.5

0dx

2xdx

4

0.5

0.5

0

或=F（0,5）–F（-0.5）=

11

1。

44

2：

（1）f（x）

1/x

1x

e

0

其

（2）P（X2）1ln2

他

§2.61：

3/52

：

（1）e2

（2）e2

e4

§2.7

§2.8

1：

（1）0.5328,

0.9996,

0.6977,0.5；

（2）c=3，

2：

σ≤31.25。

1：

Y

-1

1

3

p

0.3

0.4

0.3

1

y）0

y

1

1

y/2

2：

fY（y）

（1

，3：

fY（y）2

e

y0；

y

0

其

他

0

y0

第3章多维随机变量

-6-

§3.1二维离散型随机变量

1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球

个数，用Y表示取到的白球个数，写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律。

2.设二维随机变量

（X,Y）的联合分布律为：

XY

0

1

2

试根椐下列条件分别求

a和b的值；

0

0.1

0.2

a

（1）P（X

1）

0.6；

1

0.1

b

0.2

（2）P（X

1|Y

2）

0.5；

（3）设F（x）是Y的分布函数，F（1.5）

0.5。

§3.2二维连续型随机变量

k（xy）0x1,0y1

1.（X、Y）的联合密度函数为：

f（x,y）

0其他

求

（1）常数k；

（2）P（X<1/2,Y<1/2）；（3）P（X+Y<1）；（4）P（X<1/2）。

kxy

0x1,0

yx

2．（X、Y）的联合密度函数为：

f（x,y）

其

他

0

求

（1）常数k；

（2）P（X+Y<1）；（3）P（X<1/2）。

§3.3

边缘密度函数

1.设（X,Y）

的联合密度函数如下，分别求

X与Y的边缘密度函数。

f（x,y）

1

x,

y

2（1x2）（1y

2）

2.设（X,Y）的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。

ex0yx

f（x,y）

其

他

0

§3.4随机变量的独立性

1.（X,Y）的联合分布律如下，

XY

1

2

3

试根椐下列条件分别求

a和b的值；

1

1/6

1/9

1/18

-7-

（1）

P（Y

1）

1/3；

2

ab1/9

（2）

P（X

1

|Y2）

0.5；

（3）已知X与Y相互独立。

2.（X,Y）的联合密度函数如下，求常数

c，并讨论X与Y是否相互独立？

cxy2

0x1,0

y1

f（x,y）

其

他

0

第3章作业答案

§3.1

1：

XY

1

2

2：

（1）a=0.1

b=0.3

1

0.4

0.3

0.7

（2）a=0.2

b=0.2

2

0.3

0.

0.3

（3）a=0.3

b=0.1

0.7

0.3

1

§3.2

1：

（1）k=1；

（2）P（X<1/2,Y<1/2）=1/8

；（3）P（X+Y<1）=1/3

；（4）P（X<1/2）=3/8。

2：

（1）k=8；

（2）P（X+Y<1）=1/6

；（3）P（X<1/2）=1/16。

§3.3

1：

fX（x）

1

dy

2

x

；

2

（1

2

）（1

y

2

）

（1

x

2

）

x

fY（y）

1

dx

2

y

；

2

（1

x

2

）（1

2

（1

2

）

y

）

y

2：

fX（x）

xex

x

0

fY（y）

ey

y

0

0

x

0

；

0

y

；

0

§3.4

1：

（1）a=1/6

b=7/18；

（2）a=4/9

b=1/9；（3）a=1/3,b=2/9。

2：

c=6,X与Y相互独立。

第4章随机变量的数字特征

§4.1数学期望

1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是：

（A）1；（B）1.2；（C）1.5；（D）2.

3x

2

x4

1

2.设X有密度函数：

f（x）8

2

求E（X）,E（2X1）,E（

其

他

X

2）,并求X

0

大于数学期望

E（X）的概率。

-8-

3.设二维随机变量

（X,Y）的联合分布律为：

XY

0

1

2

已知E（XY）

0.65，

0

0.1

0.2

a

则a和b的值是：

1

0.1

b

0.2

（A）a=0.1,b=0.3；（B）a=0.3,b=0.1；（C）a=0.2,b=0.2；（D）a=0.15,b=0.25。

4．设随机变量（X,Y）的联合密度函数如下：

求

EX,EY,E（XY1）。

xy

0x1,0

y2

f（x,y）

其

他

0

§4.2数学期望的性质

1．设X有分布律：

X

0

1

2

3则E（X2

2X

3）是：

p

0.1

0.2

0.3

0.4

（A）1；

（B）2；

（C）3；

（D）4.

5

y

x

2

y1，试验证