8.1向量的坐标表示及其运算.ppt

1、8.1向量的坐标表示及其运算,一、基本概念,*实数与向量的乘积的意义:,*实数与非零向量 的乘积是一个向量,记作:,*对向量 的模和方向规定如下:,(2)当 时,与 的方向相同;,当 时,与 的方向相反;,(3)当 时,;,(4)任何实数与零向量的乘积为 零向量.,*两个非零向量平行的充要条件:,*单位向量的定义及其计算公式:,*把模为1的向量叫做单位向量.,*对于任意的非零向量,与它同方向的单位向 量叫做向量 的单位向量.记作:,*单位向量的计算公式:,向量作为一种常见的数学概念.它是即有大小又有方向的.前面已学习了其“形”的相关知识,本节开始就要研究其“数”的相关知识-向量的坐标.,引入:

2、,1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 表示?,2.平面向量是否也有类似的表示呢?,A,(a,b),a,b,1，在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,A,1,1,1）平面内每一点都有对应的位置向量。,调用几何画板,M,N,(x,y),A,在上式中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j 分别乘以实数x、y后组成的和式，该和式称为i、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。,3，向量的坐标表示：,A,在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯一一个与它相等的位置向量.即平面内任一向量都可以用基本单位来表示.,(x,y),

3、总结:,有序实数对(x,y),记作:,任意向量,位置向量,向量 的坐标.,由此可得,相等的向量具有相同的坐标。,二、向量的坐标运算(有了向量的坐标表示之后,向量的运算就可以转化为其坐标的相应运算),向量模的计算公式:,上述法则实现了由向量的作图法运算(形)转化为向量的坐标法运算(数),化繁为简.,例1.如图，写出向量 的坐标.,结论：任意向量坐标=终点坐标-起点坐标,x,y,O,P(x1,y1),Q(x2,y2),即,如图，设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量PQ？,4，平面内任意两点间的向量的坐标：,x,y,O,A(2,1),B(-3

4、,2),C(-1,3),D(x,y),第八章平面向量的坐标表示,8.1.1 向量的坐标表示及其运算,8.1.2 向量的坐标表示及其运算,观察平行量,它们的坐标有怎样的关系？,满足这一关系的两个向量必定平行吗？,必要性：,，由平行向量基本定理知：,存在唯一实数，使,，则,因此,证：当 时，充要条件显然成立，现考虑,的情形，,此时 不全为零，不妨设,平面向量平行条件的坐标表示,定理：已知任意向量,的充要条件是,证：当 时，充要条件显然成立，现考虑,的情形，,此时 不全为零，不妨设,充分性：,则,令，则,，因此,证毕,平面向量平行条件的坐标表示,定理：已知任意向量,的充要条件是,特别地，若 不平行于坐标轴，,，则上式可化为,两个向量平行的充分条件是相应坐标成比例.,即,平面向量平行条件的坐标表示,定理：已知任意向量,的充要条件是,三、向量平行的充要条件的坐标表示,例2.是坐标原点，,，当 为何值时，三点共线？,分析：三点共线的充要条件是,解：,化简得：,解得：,或,因此 时，三点共线.,或,思考 取何值时，能够构成三角形？,四、定比分点定义及公式,例：已知 的坐标分别为,求点P的坐标。,2,已知A（3,2），B（8,3）,求线段AB的中点G坐标,求点A关于点B的对称点H的坐标,若,求点E的坐标,