8.1向量的坐标表示及其运算.ppt

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8.1向量的坐标表示及其运算,一、基本概念,*实数与向量的乘积的意义:

*实数与非零向量的乘积是一个向量,记作:

*对向量的模和方向规定如下:

（2）当时,与的方向相同;,当时,与的方向相反;,（3）当时,;,（4）任何实数与零向量的乘积为零向量.,*两个非零向量平行的充要条件:

*单位向量的定义及其计算公式:

*把模为1的向量叫做单位向量.,*对于任意的非零向量,与它同方向的单位向量叫做向量的单位向量.记作:

*单位向量的计算公式:

向量作为一种常见的数学概念.它是即有大小又有方向的.前面已学习了其“形”的相关知识,本节开始就要研究其“数”的相关知识-向量的坐标.,引入:

1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示?

2.平面向量是否也有类似的表示呢?

A,（a,b）,a,b,1，在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,A,1,1,1）平面内每一点都有对应的位置向量。

调用几何画板,M,N,（x,y）,A,在上式中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j分别乘以实数x、y后组成的和式，该和式称为i、j的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。

3，向量的坐标表示：

A,在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯一一个与它相等的位置向量.即平面内任一向量都可以用基本单位来表示.,（x,y）,总结:

有序实数对（x,y）,记作:

任意向量,位置向量,向量的坐标.,由此可得,相等的向量具有相同的坐标。

二、向量的坐标运算（有了向量的坐标表示之后,向量的运算就可以转化为其坐标的相应运算）,向量模的计算公式:

上述法则实现了由向量的作图法运算（形）转化为向量的坐标法运算（数）,化繁为简.,例1.如图，写出向量的坐标.,结论：

任意向量坐标=终点坐标-起点坐标,x,y,O,P（x1,y1）,Q（x2,y2）,即,如图，设P（x1,y1）、Q（x2,y2）是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量PQ？

4，平面内任意两点间的向量的坐标：

x,y,O,A（2,1）,B（-3,2）,C（-1,3）,D（x,y）,第八章平面向量的坐标表示,8.1.1向量的坐标表示及其运算,8.1.2向量的坐标表示及其运算,观察平行量,它们的坐标有怎样的关系？

满足这一关系的两个向量必定平行吗？

必要性：

，由平行向量基本定理知：

存在唯一实数，使,，则,因此,证：

当时，充要条件显然成立，现考虑,的情形，,此时不全为零，不妨设,平面向量平行条件的坐标表示,定理：

已知任意向量,的充要条件是,证：

当时，充要条件显然成立，现考虑,的情形，,此时不全为零，不妨设,充分性：

则,令，则,，因此,证毕,平面向量平行条件的坐标表示,定理：

已知任意向量,的充要条件是,特别地，若不平行于坐标轴，,，则上式可化为,两个向量平行的充分条件是相应坐标成比例.,即,平面向量平行条件的坐标表示,定理：

已知任意向量,的充要条件是,三、向量平行的充要条件的坐标表示,例2.是坐标原点，,，当为何值时，三点共线？

分析：

三点共线的充要条件是,解：

化简得：

解得：

或,因此时，三点共线.,或,思考取何值时，能够构成三角形？

四、定比分点定义及公式,例：

已知的坐标分别为,求点P的坐标。

2,已知A（3,2），B（8,3）,求线段AB的中点G坐标,求点A关于点B的对称点H的坐标,若,求点E的坐标,