等差数列与等比数列类比总结全面知识点+100道练习题附解析精编材料word版.docx

1、等差数列与等比数列类比总结全面知识点+100道练习题附解析精编材料word版等比数列1等比数列的定义等差数列与等比数列知识点总结及经典题目 100 道等差数列1等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比等等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列， 这个个常数叫作等差数列的公差，通常用字母 d 表示常数叫作等比数列的公比，通常用字推式表示为 an 1 an d 或 an an 1 d (n 2) q 0 ）递推式表示为an 1ananq 或 n q(n 2) an 12等比中项2等差

2、中项若三个数 a，A， b 成等差数列，则 A 叫作 a 与 b 的 若三个数 a，G ，b 成等比数列，则 G 叫作 a 与 b 的ab此时 a b 2A ， A 此时 G2 ab ， G ab 23等差数列的通项公式3等比数列的通项公式等比中项等差中项等 差 数 列 an 的 首 项 为 a1 ， 公 差 为 d ， 则n1等比数列 an 的首项为 a1 ，公比为 q，则 an a1qan a1 (n 1)d 4等差数列的性质1）等 差数 列 an 的第 m 项为 aman am(n m) d 4等比数列的性质1）等 比 数 列 an 的 第 m 项 为 am ， 则nman amq2)若

3、 m n p q ，则 am an ap aq2)若 m n p q，则 aman apaq ，n 2p ，则 am an 2ap np2amana2p若 m n 2p ，则3）下标成等差数列且公差为m 的项 ak ak3）下标成等差数列且公差为 m 的项 akak m ak 2mak 2mL 组成公差为 md 的等差数列L 组成公比为 qm 的等比数列4）an 是公差为 d的等差数列，则 kan b 也是4） an是公比为 q的等比数列， 则kan 也是等比等差数列，公差为 kd（5）an bn 都是等差数列， 则an bn pan qbn 也是等差数列数列，公比为 q（5）an bn都是等

4、比数列，则 kan ，| an|， an2 ， 1 ， anbn ， an 也是等比数列an bn5判断一个数列是等差数列的方法5判断一个数列是等比数列的方法1）定义法： an 1 an d （常数）2）等差中项法： 2an+1=an+an+2或 2an=an-1+an+13）通项公式法： an =kn b （公差为 k）4）前 n 项和公式法： Sn An2 Bn （不含常数项1）定义法：an 1anq （常数）2)等比中项法： an2 1=anan+2或 an2=an-1an+1 3）通项公式法： an=a1qn 1 （公比为 q）的二次函数） 4）前 n 项和公式法： Sn Aqn A（

5、A 0,q 0）6等差数列前 n 项和公式6等比数列前 n 项和公式na1 (q 1)Sn a1(1 qn) a1 anq (q 1)1q注意：应用求和公式时，要先看 q 是否等于 1，必要Sn An2 Bn （简化写法， 不含常数项的二次函数）7等差数列和的有关性质等差数列 an ，公差为 d，前 n 项和为 Sn ，那么：7等比数列和的有关性质等比数列 an ，公比为 q，前 n 项和为 Sn ，那么：1）数列 Sk ,S2k Sk ,S3k S2k ,L 是等比数列，公比为 qk 1）Sn 也成等差数列，其首项与 an 首项相同，1公差是 an 公差的 22）等差数列 bn，前 n项和T

6、n ，则有an S2n 1bn2)SmnSm qmSn Snnq Sm （ S2n 1 （2n 1）an ）（3）数列 Sk,S2k Sk , S3k S2k,L 是等差数列， 公 差为 k 2d （4） S奇 表示奇数项的和， S偶表示偶数项的和，则 有：（3） S奇表示奇数项的和， S偶表示偶数项的和，则 有：当项数为偶数 2n时， S偶 q ；S奇Sa当项数为奇数 2n 1时， S奇S偶a1 q当 项数 为偶数 2n 时， S偶 S奇 nd ， S奇 an ；S偶 an 1当项数为奇数 2n 1时， S奇 S偶 an ， S奇 n S偶 n 18.等差数列和与函数的关系及和的最值Sn 2

7、n (a1 2)n简写为 S2*n An2 Bn(n N*) ，可以把 (n, Sn )看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值Sn最大值最小值最值条件a1 0,d 0a1 0,d 0an 0 且 an 1 0an 0 且 an 1 0通项法练习题：等差数列等比数列下列数列是等比数列的是（）1数列 an 33n，证明 an 是等差数列1A 1,1,1,1,1 B 0,0,0,L111 C 0, , , ,L D 1, 1,1, 1,L248等差数列 a 中，若 a23，a4 7 ，则 a6已 知 an 是 递 增 的 等 比 数 列 ， a2 2

8、，2（）2a4 a3 4 ，则数列公比 q A11B7C3 D 2数列 an 中，a12，an 1an 2 ，则 a8在等比数列 an 中， a20108a2007 ，则公比 q 的3（）3值为（ ）A 16B12C12 D 16A2 B 3C4 D 8数列 an 中，a32，7 1 ，若 1 为等差an等比数列 an ，an 0，a22 ，2a3 a4 16 ，4数列，则 a5（）4求 an 2343A BCD3234等差数列 an 中，a22，a3 a5 16 ，则递增的等比数列 an 各项均为正数， 3a5 ，5a6 ，55an 3a7 成等差数列，求公比 q在等比数列 an 中， a1

9、1 ，公比 q 1 ，若递增的等差数列 an 满足 a11 ，a3 a22 4 ，66am a1a2a3a4a5 ，则 m (）则 an A9 B 10 C11 D 12等差数列an 中， a13，a2 a4 14 ，在等比数列 an 中， a2 a34 ，a4 a5 16 ，77an 2019 ，则n_求公比 q 和 a7 a8 的值首项为 24 的等差数列，从第10 项开始为正，an 是各项均为正数的等比数列， a1a2a3 5 ，88则公差 d 的取值范围是a7a8a9 10，则 a4a5a6 (）A 6 3 B 73 C 5 2 D 99在等 差数列 an 中， a4 ， a12 是方

10、 程 x2 3x 1 0 的两根，则 a8 （ ）333A B C D 不能确定2229公比为 2 的等比数列 an 的各项都是正数，且a3a11 16 ，则 a5 （ ）A 1 B 2 C 4 D 810an 为等差数列，若 a1 a5 a9 8 ，则cos（a2 a8） （ ）A 1 B 3 C 1 D 32 2 2 210若等 比数列 an 的各 项均 为正 数 ， 且a10a11 a9a12 2e ，则 lna1 lna2 L ln a20 11an 是 等 差 数 列 ， 且 a1 a4 a7 45 ， a2 a5 a8 39 ，则 a3 a6 a9 （ ） A 24 B 27 C

11、30 D 3311等 比 数 列 an ， a4 a8 2 ， 则a6（a2 2a6 a10 ） （ ）A 6 B 4 C8 D 912等 差 数 列 an 中 ， 若 a3 a4 a5 a6 a7 45 ， 则 a2 a812等差数列 an ，公差 d 0，a2 , a4 , a7成等比数列，则 a1 d13等差数列an 中，a3 a4 a5 12，那么 a1 a2 a3 L a7 （ ）A 35 B 28 C 21 D 1413等差数列 an ，若a1 1, a3 3,a5 5构成公比 为 q 的等比数列，则 q 14等差数列 an 中，a1 a3 a5 3，a6 7 ，则an 的通项公式

12、为 14等比数列 an的前 n项和为 Sn，且4a1,2a2 ,a3 成等差数列，若 a1 1 ，则 S4 （ ）A7 B8 C15 D 1615设 an 是公差为正数的 等差 数列， 若 a1 a2 a3 18 ，a1a2a3 120 ，则 a3 15四个正数 2,a,b,9 中，若前三个数成等差数 列，后三个数成等比数列，求 a 和 b 的值16在等差数列an 中，已知 a2 a9 5，则16有四个数，前三个数成等比数列，其积为 216，后三个数成等差数列，其和为 36，则这四个数3a5 a7 的值为 分别为 17等 差 数 列 an 中 ， 若1a4 a6 a8 a10 a12 120

13、，则 a9 2a10 的值 为（ ）A10 B11 C12 D 1417各项为正的等比数列 an ， a3 a5 64 ， a2 a6 34 ，求公比 q 18等差 数列 an 前 17 项 和 S17 51， 则a5 a7 a9 a11 a13 （ ）A3 B 6 C17 D5118递增的等比数 列an ， a1 a2 a3 13 ， a1a2a3 27 ，求 an 19等差数列 an前n项和为 Sn ，且S5 a5，若a4 0 ，则 a7 a419an 为等比数列， a4 a7 2 ， a5a6 8 ，则a1 a10 （ ）A7 B5 C 5 D 720莱因德纸草书 是世界上最古老的数学著

14、作 之一， 书中有这样一道题： 把 120 个面包分成 5 份， 使每份的面包数成等差数列，且较多的 三份面包数之和恰好是较少的两份面包数之 和的 7 倍， 则最 少的那 份 面 包数 是20等 比 数 列 an ， a1 和 a5 是 方 程22x (m 3)x m 0的两根， a2a4 4 ，求 m21成等差数列的三个数的和为 24，第二个数与 第三个数之积为 40，求这三个数21在 等 比 数 列 an 中 ， a2 ， a14 是 方 程 x2 8x 6 0 的根，则 a3a13 （ ）a8A 4 10 B 6C 6 D 6 或 622九章算术 “竹九节” 问题：现有一根 9 节22方

15、程 (x2 mx 8)(x2 nx 8) 0 的四 根组成首项为 1 的等比数列，求 m n 的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4升，则第五节的容积为( )升67A 1 B66C4744D3733已知数列 an 满足 a11，an 1an2an，则123a100 ( )23等比数列 an ， a1 2 ，公比 q3，求 S10 11A 1 B 1100 299C1200D1199已知数列 an 满足 2anan 1an 1an0 ，且24a1 1，则 an的通项公式为()24求 2 23 25 L 22n 1 22n 1 A n B

16、2n 1C1D n22n 12n 1已知数列 an 中，a32，a7 1，若an1 1各项为正的等比数列 an ， a28，1 a5a7 ，425为等差数列，则 a19()25求 S8 A 0 B 12C23D2已知数列 an满足 3an 1 an 0，a24 ，则3已 知 数 列 an 满 足a10，an 的前 10 项和等于( )26an 1 an 2 an 11 ，则 a13()26A 6(1 3 10) B 1(1 3910)A 143 B 156C168D195C 3(1 3 10) D 3(1 310)等比数列 an 是递增数列， Sn是an的前 n 项设 Sn是等差数列 an 的

17、前n 项和，且a1 1，2727和，若 a1， a3 是方程 x2 5x 40的两个根，a4 7 ，则 S9 则 S6 在等差数列 an 中，a3 a716，a4 a6 0 ，数列an 是首项为 1，公比为 2的等比数列，28求前 n 项和 Sn 28则a1 |a2 | a3 |a4 | 等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a12，1在等比数列an 中， a1 1 ，2a44，则2929S3 12，则 a6 ()|a1| |a2 | L |an| ( )A8 B 10C12D14A 2n 1 1 B 2n21C 2n 1 D 2n2214114已知 an 是等比数列，1a2 2 ， a

18、5 ，则设 Sn 为等差数列 an的前 n项和， S84a3，a1a2 a2a3 L anan 1（）30a7 2 ，则 a9 (）30A 16(1 4 n) B 16(1 2 n)A 6 B 4C2D232 n32 nC (1 4 n ) D(1 2 n )33设 Sn 为等差数列 an的前 n项和， S10 0且 Sn 5 恒成立，则此等差数列公差d 的取31值范围是（ ）31等比数列 an ，公比 q2 ，S6 42 ，求 a3 22A ( , B0,5555C ,0)D0,22设an 为等差数列，Sn 为数列 an 的前 n项已知各项为正的等比数列an ，前 n 项和为 Sn，32和，

19、已知 S7 7 ，S1575，Tn 为数列Snn的32na1 1 ， a2 a3 12 ，若Sk 121 ，求 k 的值前 n 项和，求 Tn 等比数列 an 的前 n项和 为 Sn ，已知数列 an中， an 4n5，Sn an2bn，则33233S3 a2 10a1 ， a5 9 ，则 a1 （ ）ab 1111A BC D 3399设an 是等差数列，若a23 ， a713，则34an 的前 8 项和为（）34已知等比数列 an ，a24a4 0 ，求 S4 S2A128 B 80C64D56等差 数列 an 中 ，若 a1a4 a739各项为正的等比数列 an， a3 2 ， S6 9

20、S3 ，3535a3 a6 a9 27 ，则S9 (）求 a1 A66 B99 C144 D 29736等差数列 an中， a6 2，S5 30，则 S8（）A31 B32 C33 D 3436已知等比数列 an 的前 n 项和 Sn 2n a ，求 a37等差 数列 an 的 前 n 项 和 Sn 满足 ：S13 2184 ，则 3(a3 a5 ) 2(a7 a10 a13) ()A2013 B2014 C2016 D 不确定37n1已知等比数列 an的前 n项和 Sn 2 3n 1 a， 求 a38设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知13a3 S13 52 ，则 S9 （ ）A

21、 9 B 18 C27 D 3638等比数列 an 首项为 2，公比为 4，bn log2 an ， 求bn 前 n 项和 Tn 39设等差数列 an 中， Sn是前 n 项和， a1 2013， S10 S8 2，则 S2013 ( )10 8A 2012 B2013 C2012 D 201339等差数列 an首项为 1，公差为 3， bn 2n， 求 bn 前 n 项和 Sn 40设等差数列的前 n 项和为 Sn ，若 S9 36 ，则a2 a4 a9 （ ）A36 B24 C18 D 1240数列 bn 是递增的等比数列，且 b1 b3 5 ，b1b3 4 ，（ 1）求数列 bn 的通项

22、公式；（2）若 an log 2 bn 3 ，求证：数列 an 是等 差数列41在等差数列 an 中，a3 a9 27 a6 ，Sn是前n 项和，则 S11 （ ）A18 B99 C198 D 29741等 比 数 列 an ， a1 a2 a3 2 ， a4 a5 a6 4 ，求 a10 a11 a12 42已知两个等差数列 an， bn的前 n 项和分别为42等比数列 an 的前 n 项和为 Sn， S5 10 ，S10 40 ，求 S15 An和 Bn ，若 An 7n 45 ，则使 an 为整数的 n n Bn n 3 bn正整数的个数是 43设等差数列的前 n 项和为 Sn ，若 S

23、3 9 ，S6 36 ，则 a7 a8 a9 （ ）A63 B45 C36 D 2743各项均为正数的等比数列 an 的前 n 项和为Sn ，若 S10 2 ， S30 14 ，求 S40 44在等差数列 an中， Sn为前 n项和， a1 1， Sk 2 Sk 2Sk 1 2对任意的整数 k 成立，求 公差 d和 Sn44an 是前 n 项和为 Sn的等比数列，若 S6 9，S3则 S12 （ ）S6A 9 B18 C64 D6545等差数列 an 前 n 项和为 Sn， Sm1 2，Sm 0， Sm 1 3，求公差 d 和 m等差数列46等差数列 an 共有 3m项，若前 2m 项的和为