等差数列与等比数列类比总结全面知识点+100道练习题附解析精编材料word版.docx
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等差数列与等比数列类比总结全面知识点+100道练习题附解析精编材料word版
等比数列
1．等比数列的定义
等差数列与等比数列知识点总结及经典题目100道
等差数列
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等
等于同一个常数，
那么这个数列就叫作等差数列，
于同一个常数，
那么这个数列就叫作等比数列，这个
个常数叫作等差数列的公差，
通常用字母d表示．
常数叫作等比数列的公比，通常用字
推式表示为an1and或anan1d（n2）．
q0）．递推式表示为
an1
an
an
q或nq（n2）．an1
2．等比中项
2．等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的若三个数a，G，b成等比数列，则G叫作a与b的
ab
此时ab2A，A．
此时G2ab，Gab．
2
3．等差数列的通项公式
3．等比数列的通项公式
等比中项．
等差中项．
等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
n1
等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则ana1q
ana1（n1）d．
4．等差数列的性质
1）等差数列{an}的第m项为am
anam
（nm）d．★
4．等比数列的性质
1）等比数列{an}的第m项为am，则
nm
anamq
．★
2）若mnpq，则amanapaq
2）若mnpq，则amanapaq，
n2p，则aman2ap．★
np
2
aman
a2p
．★
若mn2p，则
3）下标成等差数列且公差为
m的项akak
3）下标成等差数列且公差为m的项ak
akmak2m
ak2m
L组成公差为md的等差数列．
L组成公比为qm的等比数列．
4）{an}是公差为d的等差数列，则{kanb}也是
4）{an}是公比为q的等比数列，则{kan}也是等比
等差数列，公差为kd．
（5）{an}{bn}都是等差数列，则{anbn}{panqbn}也是等差数列．
数列，公比为q．
（5）{an}{bn}都是等比数列，则{kan}，{|an|}，{an2}，{1}，{anbn}，{an}也是等比数列．
anbn
5．判断一个数列是等差数列的方法
5．判断一个数列是等比数列的方法
1）定义法：
an1and（常数）．
2）等差中项法：
2an+1=an+an+2或2an=an-1+an+1．★
3）通项公式法：
an=knb（公差为k）．
4）前n项和公式法：
SnAn2Bn（不含常数项
1）定义法：
an1
an
q（常数）．★
2）等比中项法：
an21=anan+2或an2=an-1an+1．★
3）通项公式法：
an=a1qn1（公比为q）．
的二次函数）．★
4）前n项和公式法：
SnAqnA（A0,q0）
6．等差数列前n项和公式
6．等比数列前n项和公式
na1（q1）
Sna1（1qn）a1anq（q1）
1q
注意：
应用求和公式时，要先看q是否等于1，必要
SnAn2Bn（简化写法，不含常数项的二次函数）
7．等差数列和的有关性质
等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，那么：
7．等比数列和的有关性质
等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，那么：
1）数列Sk,S2kSk,S3kS2k,L是等比数列，公
比为qk．★
1）{Sn}也成等差数列，其首项与{an}首项相同，
1
公差是{an}公差的2．
2）等差数列{bn}，前n项和Tn，则有
anS2n1
bn
2）Smn
SmqmSnSn
n
qSm．
（S2n1（2n1）an）．★
（3）数列Sk,S2kSk,S3kS2k,L是等差数列，公差为k2d．★
（4）S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，则有：
（3）S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，则有：
①当项数为偶数2n时，S偶q；
S奇
Sa
②当项数为奇数2n1时，S奇S偶a1q．
①当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，S奇an；
；
S偶an1
②当项数为奇数2n1时，S奇S偶an，S奇n．
S偶n1
8.等差数列和与函数的关系及和的最值
Sn2n（a12）n简写为S
2*
nAn2Bn（nN*），可以把（n,Sn）看作是二次函数图像上孤立的点，
因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．
Sn
最大值
最小值
最值条件
a10,d0
a10,d0
an0且an10
an0且an10
通项法
练习题：
等差数列
等比数列
下列数列是等比数列的是（
）
1
数列an3
3n，
证明{an}是
等差数列．
1
A．1,1,1,1,1B．
0,0,0,L
111C．0,,,,LD．
1,1,1,1,L
248
等差数列{a}中，
若a2
3，
a47，则a6
已知{an}是递增的等比数列，a22，
2
（）
2
a4a34，则数列公比q
．
A．11
B．
7
C
．3D．2
数列{an}中，
a1
2，
an1
an2，则a8
在等比数列{an}中，a2010
8a2007，则公比q的
3
（）
3
值为（）
A．16
B．
12
C．
12D．16
A．2B．3
C．4D．8
数列{an}中，
a3
2，
71，
若{1}为等差
an
等比数列{an}，an0，a2
2，2a3a416，
4
数列，则a5
（
）
4
求an．
2
．3
4
3
A．B
C．
D．
3
2
3
4
等差数列{an
}中，
a2
2，a
3a516，则
递增的等比数列{an}各项均为正数，3a5，5a6，
5
5
an．
3a7成等差数列，求公比q
在等比数列{an}中，a1
1，公比q1，若
递增的等差数列{an}满足a1
1，a3a224，
6
6
ama1a2a3a4a5，则m（
）
则an
A．9B．10C
．11D．12
等差数列{an}中
，a1
3，
a2a414，
在等比数列{an}中，a2a3
4，a4a516，
7
7
an2019，
则n
__．
求公比q和a7a8的值．
首项为24的等差数列，
从第
10项开始为正，
{an}是各项均为正数的等比数列，a1a2a35，
8
8
则公差d的取值范围是
．
a7a8a910，则a4a5a6（
）
A．63B．73C．52D．9
9
在等差数列{an}中，a4，a12是方程x23x10的两根，则a8（）
333
A．B．C．D．不能确定
222
9
公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且
a3a1116，则a5（）
A．1B．2C．4D．8
10
{an}为等差数列，若a1a5a98，则
cos（a2a8）（）
A．1B．3C．1D．3
2222
10
若等比数列{an}的各项均为正数，且
a10a11a9a122e，
则lna1lna2Llna20．
11
{an}是等差数列，且a1a4a745，a2a5a839，则a3a6a9（）A．24B．27C．30D．33
11
等比数列{an}，a4a82，则
a6（a22a6a10）（）
A．6B．4C．8D．9
12
等差数列{an}中，若a3a4a5a6a745，则a2a8
12
等差数列{an}，公差d0，a2,a4,a7成等比
数列，则a1．
d
13
等差数列{an}中，a3a4a512，那么a1a2a3La7（）
A．35B．28C．21D．14
13
等差数列{an}，若a11,a33,a55构成公比为q的等比数列，则q．
14
等差数列{an}中，a1a3a53，a67，则
{an}的通项公式为．
14
等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2,a3成等差数列，若a11，则S4（）
A．7B．8C．15D．16
15
设{an}是公差为正数的等差数列，若a1a2a318，a1a2a3120，则a3．
15
四个正数2,a,b,9中，若前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求a和b的值．
16
在等差数列{an}中，已知a2a95，则
16
有四个数，前三个数成等比数列，其积为216，
后三个数成等差数列，其和为36，则这四个数
3a5a7的值为．
分别为．
17
等差数列{an}中，若
1
a4a6a8a10a12120，则a92a10的值为（）
A．10B．11C．12D．14
17
各项为正的等比数列{an}，a3a564，a2a634，求公比q．
18
等差数列{an}前17项和S1751，则
a5a7a9a11a13（）
A．3B．6C．17D．51
18
递增的等比数列{an}，a1a2a313，a1a2a327，求an．
19
等差数列{an}前n项和为Sn，且S5a5，若
a40，则a7．
a4
19
{an}为等比数列，a4a72，a5a68，则
a1a10（）
A．7B．5C．5D．7
20
《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：
把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份面包数之和恰好是较少的两份面包数之和的7倍，则最少的那份面包数是
20
等比数列{an}，a1和a5是方程
22
x（m3）xm0的两根，a2a44，求m．
21
成等差数列的三个数的和为24，第二个数与第三个数之积为40，求这三个数．
21
在等比数列{an}中，a2，a14是方程x28x60的根，则a3a13（）
a8
A．410B．6
C．6D．6或6
22
《九章算术》“竹九节”问题：
现有一根9节
22
方程（x2mx8）（x2nx8）0的四根组成
首项为1的等比数列，求mn．
的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上
面4节的容积共3升，下面3节的容积共4
升，则第五节的容积为（）升．
67
A．1B．
66
C．
47
44
D．
37
33
已知数列{an}满足a1
1，
an1
an
2an
，则
1
23
a100（）
23
等比数列{an}，a12，公比q
3，
求S10．
11
A．1B．1
100299
C．
1
200
D．
1
199
已知数列{an}满足2anan1
an1
an
0，且
24
a11，则{an}的通项公式为（
）
24
求22325L22n122n1．
A．nB．2n1
C．
1
D．n2
．
2n1
2n1
已知数列{an}中，a3
2，
a71
，若{
an11}
各项为正的等比数列{an}，a2
8，
1a5a7，
4
25
为等差数列，则a19
（
）
25
求S8．
A．0B．1
2
C．
2
3
D．
2
已知数列{an}满足3an1an0
，a2
4，则
3
已知数列{an}满足
a1
0，
{an}的前10项和等于（）
26
an1an2an1
1，则a13
（
）
26
A．6（1310）B．1（13
9
10）
A．143B．156
C
．168
D
．195
C．3（1310）D．3（13
10）
等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}
的前n项
设Sn是等差数列{an}的前
n项和，
且
a11，
27
27
和，若a1，a3是方程x25x4
0的两个根，
a47，则S9
．
则S6．
在等差数列{an}中，a3a7
16，
a4a
60，
数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
28
求前n项和Sn．
28
则a1|a2|a3|a4|．
等差数列{an}的前n
项和为Sn，
若a1
2，
1
在等比数列{an}中，a11，
2
a4
4，则
29
29
S312，则a6（
）
|a1||a2|L|an|（）
A．8B．10
C．
12
D．
14
A．2n11B．2n
2
1
C．2n1D．2n
2
21
4
11
4
已知{an}是等比数列，
1
a22，a5，则
设Sn为等差数列{an}
的前n
项和，S8
4a
3，
a1a2a2a3Lanan1
（）
30
a72，则a9（
）
30
A．16（14n）B．16（12n）
A．6B．4
C．
2
D．2
32n
32n
C．（14n）D．
（12n）
3
3
设Sn为等差数列{an}
的前n
项和，S
100
且Sn5恒成立，则此等差数列公差
d的取
31
值范围是（）
31
等比数列{an}，公比q
2，S642，求a3．
2
2
A．（,]
B．[0,
]
5
5
5
5
C．[,0）
D．[0,
]
2
2
设{an}为等差数列，
Sn为数列{an}的前n
项
已知各项为正的等比数列
{an}，前n项和为Sn，
32
和，已知S77，S15
75，
Tn为数列
{Snn}
的
32
n
a11，a2a312，若
Sk121，求k的值．
前n项和，求Tn．
等比数列{an}的前n
项和为Sn，已知
数列{an}中，an4n
5，
Snan2
bn，
则
33
2
33
S3a210a1，a59，
则a1（）
ab．
11
11
A．B．
C．D．
33
99
设{an}是等差数列，若
a2
3，a7
13，
则
34
{an}的前8项和为（
）
34
已知等比数列{an}，a2
4a40，求S4．
S2
A．128B．80
C．
64
D．
56
等差数列{an}中，
若a1
a4a7
39
各项为正的等比数列{an}
，a32，S69S3，
35
35
a3a6a927，则
S9（
）
求a1．
A．66B．99C．144D．297
36
等差数列{an}中，a62，S530，则S8
（）
A．31B．32C．33D．34
36
已知等比数列{an}的前n项和Sn2na，求a．
37
等差数列{an}的前n项和Sn满足：
S132184，则3（a3a5）2（a7a10a13）（）
A．2013B．2014C．2016D．不确定
37
n1
已知等比数列{an}的前n项和Sn23n1a，求a．
38
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知
13a3S1352，则S9（）
A．9B．18C．27D．36
38
等比数列{an}首项为2，公比为4，bnlog2an，求{bn}前n项和Tn．
39
设等差数列{an}中，Sn是前n项和，a12013，S10S82，则S2013（）
108
A．2012B．2013C．2012D．2013
39
等差数列{an}首项为1，公差为3，bn2n，求{bn}前n项和Sn．
40
设等差数列的前n项和为Sn，若S936，则
a2a4a9（）
A．36B．24C．18D．12
40
数列{bn}是递增的等比数列，且b1b35，
b1b34，
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）若anlog2bn3，求证：
数列{an}是等差数列．
41
在等差数列{an}中，a3a927a6，Sn是前
n项和，则S11（）
A．18B．99C．198D．297
41
等比数列{an}，a1a2a32，a4a5a64，求a10a11a12．
42
已知两个等差数列an，bn的前n项和分别为
42
等比数列{an}的前n项和为Sn，S510，
S1040，求S15．
An和Bn，若An7n45，则使an为整数的nnBnn3bn
正整数的个数是．
43
设等差数列的前n项和为Sn，若S39，
S636，则a7a8a9（）
A．63B．45C．36D．27
43
各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为
Sn，若S102，S3014，求S40．
44
在等差数列{an}中，Sn为前n项和，a11，Sk2Sk2Sk12对任意的整数k成立，求公差d和Sn．
44
{an}是前n项和为Sn的等比数列，若S69，
S3
则S12（）
S6
A．9B．18C．64D．65
45
等差数列{an}前n项和为Sn，Sm12，
Sm0，Sm13，求公差d和m．
等差数列
46
等差数列{an}共有3m项，若前2m项的和为
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