1、最新港澳台联考数学模拟试题卷最新港澳台地区入学考试模拟试卷这份试卷共三个大题,共 27 小题. 满分 150 分.考试时间为 120 分钟.只有一项是符合题目要求的第一部分 选择题 (共 60 分 )、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,1. 设全集 U 0 ,1, 2, 3 , 4 ,集合 A 0,1, 2,集合 B 2 , 3 ,则 (eU A) B ( )A B1, 2,3,4 C0 ,1, 2,3, 4 D2 ,3, 42. 复数 z1 3 i , z2 1 i ,则复数 z1 在复平面内对应的点位于 ( )z2A第一象限 B第二象限 C
2、第三象限 D 第四象限4.设 f ( x)是定义在 R上的奇函数,且当 x 0时, f (x) 2x 3,则 f( 2) ( )1 11A 1 B C 1 D445.已知等差数列 an 的公差 d 0,它的第 1、5、17 项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是( )1A 4 B3 C 2 D226.函数 f(x) ln(x 1) 的零点所在的大致区间是 ( ) x7.已知命题“若 p则 q ”为真,则下列命题中一定为真的是8.D10安kk10 若函数 h(x) 2x 在 (1, )上是增函数,则实数 k 的取值范围是 ( ) x3A 2, ) B2 , ) C( , 2 D( ,2点数分别
3、为 x、 y ,则满足复数 x yi 的实部大于虚部的概率是示线段 OPn 上除端点外的整点个数,则 g(2008) ( )二,填空题:本大题共 8 小题,每小题 4分,共 32 分13.在 ABC中, a 、 b分别为角 A 、 B的对边,若 B 60 ,C 75 ,a 8,则边 b的长等于 14.某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校该学生不同的报考方法种数是 (用数字作答)11115.在Rt ABC中,两直角边分别为 a、b,设 h为斜边上的高,则 2 2 2 ,由此类比:三棱锥 S ABC中的
4、三 h a2 b2条侧棱 SA、SB 、SC两两垂直,且长度分别为 a 、b、c ,设棱锥底面 ABC 上的高为 h,则16.已知定义在区间 0 ,1上的函数 y f ( x)的图像如图所示,对于满足 0 x1 x2 1的任意 x1、 x2 ,给出下列结论: f (x2) f (x1) x2 x1 ; x2f(x1) x1f(x2) ; f (x1) f (x2) f x1 x2 2 f 2 其中正确结论的序号是 (把所有正确结论的序号都填上)17.在极坐标系中,圆 2cos 的圆心的极坐标是,它与方程 ( 0 )所表示的图形的交点的极坐标420.通过点( 2, -1,3)做平面 x-2y-2
5、z+11=0 的垂线,则平面上的垂足为 ,三、解答题:在第三题( 21、22、23)题中任选两题;理工考生做 24、25 题;文史考生做 26 、27 题。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程21已知向量 a (1 sin 2x , sin x cosx) , b (1, sin x cos x) ,函数 f (x) a b ()求f (x)的最大值及相应的 x的值;(本小题满分 14 分)8)若 f ( ) ,求 cos2522.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落小球在落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A袋或 B 袋中已知小球每次遇到黑色障碍
6、物时,向左、右两边下1落的概率都是 1 (本小题满分 14 分)求小球落入 A袋中的概率 P(A) ;)在容器入口处依次放入 4 个小球,记 为落入 A袋中的小球个数,试求 3 的概率和 的数学期望 E 23.如图所示的几何体 ABCDE 中, DA 平面 EAB, CB DA , EA DA AB 2CB ,EA AB, M 是 EC 的中点(本小题满分 14 分)()求证: DM EB ;()求二面角 M BD A 的余弦值C24 (本小题满分 15 分,文史类考生不做)在平面直角坐标系中,已知点 A(2 , 0)、 B( 2 , 0) , P 是平面内一动点,直线 PA、3PB 的斜率之
7、积为 求动点 P的轨迹 C 的方程;425已知 f(x) ln x, g(x) 1 x2 mx 7 ( m 0),直线 l 与函数 f (x)、 g (x)的图像都 22相切,且与函数 f ( x)的图像的切点的横坐标为 1(本小题满分 15 分,文史类考生不做)(1)求直线 l 的方程及 m 的值;(2)若 h(x) f(x 1) g (x) (其中 g (x) 是 g(x) 的导函数),求函数 h(x)的最大值;26 在平面直角坐标系中,已知点 A(2 ,0) 、 B( 2,0) , P是平面内一动点,直线 PA、 PB的斜率之积为 3 求动点 P的轨迹 C 的方程;(本小题满分 15 分
8、,理工类考生不做) 427已知 f(x) ln x, g(x) 1 x2 mx 7 ( m 0),直线 l 与函数 f (x)、 g (x)的图像都相切,且与函数 f ( x)的图像的切点的横坐标为 1(本小题满分 15 分,理工类考生不做)(1)求直线 l 的方程及 m 的值;(2)若 h(x) f(x 1) g (x) (其中 g (x) 是 g(x) 的导函数),求函数 h(x)的最大值;数学(理科)参考答案选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是符合要求的题号123456789101112答案DBACBBCABABC13 4
9、6填空题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤21.解:()因为a (1 sin2x,sinx cosx) ,b (1, sin x cosx) ,所以22f (x) 1 sin2x sin x cos x 1 sin2x cos2xsin 2x 14 3因此,当 2x 2k ,即 x k (k Z )时, f ( x)取得最大值 2 1;4 2 883()由 f ( ) 1 sin2 cos2 及 f ( ) 得 sin2 cos2 ,两边平方得551 sin4 9 ,即 sin4 16 25 25
10、因此, cos2 2 cos 4 sin4 16 4 2 2522.解:()记“小球落入A袋中”为事件 A ,“小球落入B袋中”为事件B ,则事件 A的对立事件为 B ,而小球落入 B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故P(B) 1 1 3 1 ,P(B) 2 2 4 ,13从而 P(A) 1 P(B) 1 ;44P( 3) C43 34 427 ,64 ,23.解: 建立如图所示的空间直角坐标系,DM 1,1, 2 , DB (0,2, 2)这就是动点 P 的轨迹 C 的方程;所以直线 l 的方程为 y x 1 又因为直线 l 与 g(x) 的图像相切,所以由y x 1 1 2 91 2 7 x2 (m 1)x 0 ,y x 2 mx 2 222得 (m 1) 9 0 m 2 ( m 4 不合题意,舍去) ; ()因为 h(x) f(x 1) g(x) ln(x 1) x 2( x 1),所以1x h ( x) 1 x 1 x 1当 1 x 0时, h(x) 0;当 x 0时, h(x) 0因此, h(x) 在( 1,0) 上单调递增,在 (0, )上单调递减因此,当 x 0 时, h( x)取得最大值 h(0) 2 ;l 是函数 f (x) ln x在点 (1,0) 处的切线,故其斜率1k f (1) 1 ,1
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