最新港澳台联考数学模拟试题卷.docx
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最新港澳台联考数学模拟试题卷
最新港澳台地区入学考试模拟试卷
这份试卷共三个大题,共27小题.满分150分.考试时间为120分钟.
只有一项是符合题目要求的.
第一部分选择题(共60分)
、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,
1.设全集U{0,1,2,3,4},集合A{0,1,2},集合B{2,3},则(eUA)B()
A.B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4}D.{2,3,4}
2.复数z13i,z21i,则复数z1在复平面内对应的点位于()
z2
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)2x3,则f
(2)()
111
A.1B.C.1D.
44
5.已知等差数列{an}的公差d0,它的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是()
1
A.4B.3C.2D.
2
2
6.
函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是()x
7.
已知命题“若p则q”为真,则下列命题中一定为真的是
8.
D.10安
kk
10若函数h(x)2x在(1,)上是增函数,则实数k的取值范围是()x3
A.[2,)B.[2,)C.(,2]D.(,2]
点数分别为x、y,则满足复数xyi的实部大于虚部的概率是
示线段OPn上除端点外的整点个数,则g(2008)()
二,填空题:
本大题共8小题,每小题4分,共32分.
13.在ABC中,a、b分别为角A、B的对边,若B60,C75,a8,则边b的长等于.
14.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时间相同,因此该
学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是.(用数字作答)
111
15.在RtABC中,两直角边分别为a、b,设h为斜边上的高,则222,由此类比:
三棱锥SABC中的三ha2b2
条侧棱SA、SB、SC两两垂直,且长度分别为a、b、c,设棱锥底面ABC上的高为h,则
16.已知定义在区间[0,1]上的函数yf(x)的图像如图所示,对于满足0x1x21的任意x1、x2,给出下列结论:
①f(x2)f(x1)x2x1;
②x2f(x1)x1f(x2);
③f(x1)f(x2)fx1x2.
③2f2.
其中正确结论的序号是.(把所有正确结论的序号都填上)
17.在极坐标系中,圆2cos的圆心的极坐标是
π
,它与方程(0)所表示的图形的交点的极坐标
4
20.通过点(2,-1,3)做平面x-2y-2z+11=0的垂线,则平面上的垂足为,
三、解答题:
在第三题(21、22、23)题中任选两题;理工考生做24、25题;文史考生做26、27题。
解答应写出
文字说明、演算步骤或推证过程.
21.已知向量a(1sin2x,sinxcosx),b(1,sinxcosx),函数f(x)ab.
(Ⅰ)求f(x)的最大值及相应的x的值;(本小题满分14分)
8
Ⅱ)若f(),求cos2
5
22.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在
落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下
1
落的概率都是1.(本小题满分14分)
Ⅰ)求小球落入A袋中的概率P(A);
Ⅱ)在容器入口处依次放入4个小球,记为落入A袋中的小球个数,试求3的概率和的数学期望E.
23.如图所示的几何体ABCDE中,DA平面EAB,CB∥DA,EADAAB2CB,
EAAB,M是EC的中点.(本小题满分14分)
(Ⅰ)求证:
DMEB;
(Ⅱ)求二面角MBDA的余弦值.
C
24.(本小题满分15分,文史类考生不做)
在平面直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(2,0),P是平面内一动点,直线PA、
3
PB的斜率之积为.求动点P的轨迹C的方程;
4
25.已知f(x)lnx,g(x)1x2mx7(m0),直线l与函数f(x)、g(x)的图像都22
相切,且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1.(本小题满分15分,文史类考生不做)
(1)求直线l的方程及m的值;
(2)若h(x)f(x1)g(x)(其中g(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的最大值;
26.在平面直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(2,0),P是平面内一动点,直线PA、PB的斜率之积为3.求动点P的轨迹C的方程;(本小题满分15分,理工类考生不做)4
27.已知f(x)lnx,g(x)1x2mx7(m0),直线l与函数f(x)、g(x)的图像都
相切,且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1.(本小题满分15分,理工类考生不做)
(1)求直线l的方程及m的值;
(2)若h(x)f(x1)g(x)(其中g(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的最大值;
.数学(理科)参考答案
选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是符合要
求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
C
B
B
C
A
B
A
B
C
13.46
填空题:
本大题共8小题,每小题4分,共32分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.解:
(Ⅰ)因为a(1sin2x,sinxcosx),b(1,sinxcosx),所以
22
f(x)1sin2xsinxcosx1sin2xcos2x
sin2xπ1
4
ππ3
因此,当2x2kπ,即xkππ(kZ)时,f(x)取得最大值21;
428
83
(Ⅱ)由f()1sin2cos2及f()得sin2cos2,两边平方得
55
1sin49,即sin416.
2525
因此,cos2π2cosπ4sin416.
4225
22.解:
(Ⅰ)记“小球落入A袋中”为事件A,“小球落入B袋中”为事件B,则事件A的对立事件为B,而小球落入B袋中
当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故
P(B)1131,
P(B)224,
13
从而P(A)1P(B)1;
44
P(3)C43344
27,
64,
23.
解:
建立如图所示的空间直角坐标系,
DM1,1,2,DB(0,2,2)
这就是动点P的轨迹C的方程;
所以直线l的方程为yx1.
又因为直线l与g(x)的图像相切,所以由
yx1129
127x2(m1)x0,
yx2mx22
22
得(m1)90m2(m4不合题意,舍去);
(Ⅱ)因为h(x)f(x1)g(x)ln(x1)x2(x1),所以
1xh(x)1.
x1x1
当1x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.
因此,h(x)在(1,0)上单调递增,在(0,)上单调递减.
因此,当x0时,h(x)取得最大值h(0)2;
l是函数f(x)lnx在点(1,0)处的切线,故其斜率
1
kf
(1)1,
1