必修二空间几何证明经典题型.docx

1、必修二空间几何证明经典题型必修二空间几何证明经典题型一.解答题(共25小题)1如图,在四棱锥P - ABCD中,ABCD, AB丄AD, CD=2AB,平面PAD丄底面ABCD, PAADE 和F分别是CD和PC的中点，求证：(0) BE平面 PAD； (0) PA丄BC； (0)平面 BEF丄平面 PCD.C【解答】解：(E) VPA丄AD,平面PAD丄平面ABCD,平面PADQ平面ABCD二AD, 山平面和平面垂直的性质定理可得PA丄平面ABCD.(回)VAB/7CD, AB丄AD, CD=2AB, E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD.乂 ADu平面P

2、AD, BE不在平面PAD内，故有BE平面PAD.(0)平行四边形ABED中，由AB丄AD可得，ABED为矩形，故有BE丄CD.山PA丄平面ABCD,可得PA丄AB,再由AB丄AD可得AB丄平面PAD,CD丄平面PAD,故有CD丄PD.再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EFPD,/.CD丄EF而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD丄平面BEF.由于CDc平面PCD, 平面BEF丄平面PCD.2.如图，在三棱锥VABC中，平面VAB丄平面ABC, AVAB为等边三角形，AC1BC且AC=BC=V, O, M分别为AB, VA的中点.(0)求证：VB平面M 0C： (0)求证：平面

3、M0C丄平面VAB；(0)求三棱锥AM0C的体积TVBQ平面 MOC, OMu 平面 MOC, VB平面 MOC；（0）证明：VAC=BC, O为AB的中点，OC丄AB,乂平面VAB丄平面ABC,平面ABCA平面VAB二AB,且OCu平面ABC,/OC丄平面VAB,TOCu平面MOC, 平面MOC丄平面VAB：（囹）解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=V2 .*.AB=2, OC=1,等边三角形VAB的边长为2, SaVab=V3TO, M分别为AB, VA的中点Sgo*呦b年.乂TOC丄平面VAB,三棱锥也。汽加赵碍X3.如图，在三棱锥PABC中，PA丄PC, AB=PB, E, F分

4、别是PA, AC的中点.求证:（1） EF平面PBC； （2）平面BEF丄平面PAB.【解答】证明：（1）在AAPC中，因为E、F分别是PA、AC的中点，所以 EF/7PC, . （3 分）乂 PCu 平面 PAC, EFG平面 PAC,所以 EF平面 PBC. . （6 分）（2）因为AB=PB,且点E是PA的中点，所以PA丄BE, . （9分）又 PA丄PC, EFPC,所以 PA丄EF, . （12 分）因为 BEu 平面 BEF, EFu 平面 BEF, BEOEF=E,所以PA丄平面BEF, 乂 PAu平面PAB,所以平面PAB丄平面BEF. . （14分）4.如图，在三棱锥A -

5、BCD中，ABAD, BC丄BD,平面ABD丄平面BCD,点E、F （E与A、D不重合)分别在棱AD, BD上，且EF丄AD.求证：(1) EF平面ABC； (2) AD1AC【解答】证明：(1)因为AB丄AD, EF丄AD,且A、B、E、F四点共面，所以ABEF,乂因为EFu平面ABC, ABu平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF平面ABC；(2)在线段CD取点G,连结FG、EG使得FGBC，则EGAC,因为BC丄BD, FG/7BC,所以FG丄BD,乂因为平面ABD丄平面BCD,所以FG丄平面ABD,所以FG丄AD,乂因为AD丄EF,且EFQFG=F,所以AD丄平面EFG,所以AD

6、丄EG,故AD丄AC5.已知四棱锥 A BCDE,其中 AB=BC=AC=BE=1, CD=2, CD丄面 ABC, BECD, F 为 AD 的中点. (S)求证：EF面ABC； (E)求证：平面ADE丄平面ACD； (0)求四棱锥ABCDE的体积.【解答】证明：（S）取AC中点G,连接FG、BG,VF, G 分别是 AD, AC 的中点 AFG/7CD,且 FG=DC=1.2V BE/CD A FG 与 BE 平行且相等 AEF/7BG.EFQ面 ABC, BGu 面 ABC 面 ABC.（4 分）（0） V AABC为等边三角形bg丄ACX V DC 丄面 ABC, BGu 面 ABC

7、A DC 丄 BGBG垂直于面ADC的两条相交直线AC, DC,BG丄面ADC. （6分）VEF/BG /丄面 ADCTEFu 面 ADE, 面 ADE丄面 ADC .（8 分）解：（0）方法一:连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥EABC和EADC.VA-BCDE=VE-ABC+VE-ACD 今 *半 X 1住 X 1 x爭斗|呼爭 .（12 分）方法二：取BC的中点为0,连接A0,则A0丄BC, 乂 CD丄平面ABC,/CD丄AO, BCDCD=C, A0丄平面 BCDE,.AO y. v 的户；V3 门 （1+2） XI 3 “ 晅晅.AO ；JVa bcdeHJ 冋，AOp，気册二2 *

8、* VA-BCDE=7 XB6.如图，四棱柱ABCD - AiBiCiDi中，平面AiABBi丄平面ABCD,且ZABC-2（1）求证：BC平ffiABiCi； （2）求证：平面AiABBi丄平面ABiCi【解答】证明:(1) VBC/7B1C1，且BiCiU平面ABiCi，BCG平面ABiS/.BC平面 ABiCi(2) 平面 AiABBi丄平面 ABCD,平面 ABCD平面 AiBiCiDi,平面 AiABBi丄平面 AiBiCiDi,平面 AiABBi Q 平面 AiBiCiDi=AiBi, AiBiC1B1，A CiBic 平面 ABiCi,平面AiABBi丄平面AB1C17.如图，三

9、角形ABC中，AC=BC=李人血ABED是边长为1的正方形，平面ABED丄底面ABC,若G、2F分别是EC、BD的中点.（）求证:GF底面ABC；（0）求证：AC丄平面EBC；（）求几何体ADEBC的体积V.【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H,连接HF、GH,（如图）TG、F分别是EC和BD的中点AHG/7BC, HFDE, （2 分）乂 VADEB为正方形A DE#AB,从而HFABHF平面 ABC, HG平面 ABC, HFQHG二H,平面HGF平面ABCGF平面ABC （5分）证法二：取BC的中点M, AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）TG、F分别是EC和BD的中点GM BE

10、,且GM今BE, 1 （2分）NF DA,且乂 VADEB 为正方形 A BE/AD, BE=ADA GM/NF 且 GM=NF/.MNFG为平行四边形GFMN, X MNu 平面 ABC,GF平面ABC （5分）证法三：连接AE,VADEB为正方形，aaeabd=f,且 F 是 AE 中点，（2 分）GFAC,乂 ACc 平面 ABC,.GF平面ABC （5分）（0） VADEB为正方形，.EB丄AB, .GF平面ABC （5分）乂平面ABED丄平面ABC,.BE丄平面ABC （7分）BE 丄 ACX V CA2+CB2=AB2AAC1BC,V BCABE=B.AC丄平面BCE （9分）（S

11、）连接 CN,因为 AC=BC, CN丄AB,（20 分）乂平面ABED丄平面ABC, CNu平面ABC, /.CN丄平面ABED. （11分）三角形ABC是等腰直角三角形，口诗起=|，（12分）VC-ABED是四棱锥， Vc ABED* S個D CN# X 1 X （ 14 分）8.如图,在直三棱柱ABC - A1B1C1中，BC丄AC, D, E分别是AB, AC的中点.（1）求证：BiCi平面AiDE： （2）求证：平面AiDE丄平面ACCiAi.【解答】证明：（1）因为D, E分别是AB, AC的中点，所以DE/7BC, . （2分）又因为在三棱柱 ABC - AiBiCi 中，B1C

12、1/BC,所以 B1C1/ZDE. （4 分）乂 BiCiQ平面 AiDE, DEu 平面 A1DE,所以 B1C1 平面 AiDE. （6 分）（2）在直三棱柱ABC - AiBiCi中，CCi丄底面ABC,乂 DEu 底面 ABC,所以 CCi丄DE. （8 分）乂 BC丄AC, DEBC,所以DE丄AC,（10分）乂 CCi，ACu 平面 ACC1A1，且 CCiDAC=C,所以 DE丄平面 ACCiAi. （12 分）乂 DEu平面AiDE,所以平面AiDE丄平面ACCiAi（14分）9.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC, BD相交于点O, EFAB, EF吕A

13、B,平面BCF丄平面ABCD, BF=CF, G为BC的中点，求证：（1） OG平面 ABFE； （2） AC丄平面 BDE.【解答】证明：（1） V四边形ABCD是菱形，AC, BD相交于点60是AC中点，TG 为 BC 的中点，OGAB,TOGO平面 ABFE, ABu 平面 ABFE, AOG/平面 ABFE.（2） 四边形ABCD是菱形，AC, BD相交于点O,AC丄BD, O是AC中点，TG 为 BC 的中点，VEF/7AB, EF丄AB,平面 BCF丄平面 ABCD, BF=CF,2FG丄平面ABCD, EO丄平面ABCD,疋0丄AC,VEOABD=O, AC丄平面 BDE.10.

14、如图所示，四棱锥P - ABCD的底面为直角梯形，AB丄AD, CD丄AD, CD=2AB.点E是PC的中点.（0）求证：BE平面PAD；（S）已知平面PCD丄底面ABCD,且PC=DC.在棱PD上是否存在点F,使CF丄PA?请说明理山.【解答】（1）证明：取PD中点Q,连结AQ、EQ（1分）TE为PC的中点，EQCD且EQ=CD. .（2分）2乂 VAB/7CD 且 AB二丄CD,2A EQ/AB 且 EQ 二 AB.（3 分）四边形ABED是平行四边形，BEAQ（4 分）乂BEG平面 PAD. AQu 平面 PAD,.BE平面PAD. . （5分）（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使

15、CF丄PA,平面PCD丄底面ABCD,平面PCDQ底面ABCD=CD, AD丄CD,/AD丄平面PCD,ADP是PA在平面PCD中的射影，PC=DC, PF二DF,CF 丄 DP, 丄 PA11.如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD丄底面ABCD,且PA=PD=（1）求证：EF平面PAD：为PC中点.所以在ZXCPA中，EFPA,乂 PAu 平面 PAD, EFQ平面 PAD,所以EF平面PAD：(2)平面PAD丄平面ABCD平面 PADQ 面 ABCD=AD= CD丄平面 PAD= CD 丄PA正方形ABCD中CDlADPAc平面PADCDc平面ABC

16、D 乂P2PD二甞AD，所以 PA2+PD2=AD2所以APAD是等腰直角三角形，且ZAPD二卷，即PA丄PD.因为 CDQPD二D,且 CD、PDu 面 PDC所以PA丄面PDC乂 PAc 面 PAB,所以面PAB丄面PDC.【解答】解：(1)ABCD AiBiCiDi 是长方体，AB=BC=EC=yAir 可得平面ABCD和平面AiBiCiDi是正方形，E为CCi的中点. 连接AC与DB交于6连接0E, 可得：AC1/0E,OEc 平面 BDE./ ACi平面BDE(2)连接 OAi,根据三垂线定理，可得OAi丄DB. 0E丄DB, 0A1Q0E二0,平面 AiOEDB.可得AiE丄DBV

17、 E 为 CCi 的中点.设 AB=BC=EC=iAAi=a2/. BE-V2 a, AiE=V3 6 AiB=a/5 aVAiB2=AiE2+BE2 AAiE 丄 EB.TEBu 平面 BDE. BDu 平面 BDE EBABD=B, AiE丄平面 BDE13.如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC,若忆吨址，E, F分别 是PQ, CQ的中点.求证：(1)CE平面 PBD；(2)平面FBD丄平面PBD.【解答】证明：(1)设ACABD=O,连接P0,则TO是AC的中点，E是PQ的中点，/PE=OC, PE/OC,四边形POCE是平行四边形，ACE/7PO,CE

18、G平面 PBD, POu 平面 PBD,ICE平面 PBD；(2) T平面 ACQP丄平面 ABCD,平面 ACQPQ 平面 ABCD二AC, BD丄AC,BD丄平面 ACQP,V POc 平面 ACQP, ABD丄PO,连接AQ, OF,则由三角形相似可AQ丄P0,TF是CQ中点，0是AC的中点，OFAQ,OF 丄 P0,VBDnOF=O,P0丄平面FBD,VPOc 平面 PBD,平面FBD丄平面PBD.14.已知直四棱柱ABCD - AiBiCiDi的底面是菱形，F为棱BB】的中点，M为线段ACi的中点. 求证：（0）直线MF平面ABCD：（0）平面AFCi丄平面ACC1A1.【解答】（本

19、小题满分12分）证明：（0）延长CiF交CB的延长线于点N,连接AN.因为F是BBi的中点， 所以，F为CiN的中点，B为CN的中点.乂 M是线段ACi的中点， 故 MFAN. 乂 MF 不在平面 ABCD 内，ANu 平面 ABCD, A MF平面 ABCD.（国）连BD,山直四棱柱ABCD - AiBiCiDi ,可知AiA丄平面ABCD, 乂 VBDu平面ABCD, AiA丄BD四边形ABCD为菱形，.AC丄BD. 乂TACQA】A=A,AC, AiAu 平面 ACCiAi，ABD丄平面 ACCiAi.在四边形DANB中，DABN且DA=BN,所以四边形DANB为平行四边形，故 NABD

20、,NA丄平面 ACCiAi, 乂因为 NAu 平面 AFC1,平面 AFCi丄ACCiAi.15如图，四棱锥P - ABCD中，AD丄平面PAB, AP1AB（1）求证：CD丄AP； （2）若CD丄PD,求证：CD平面PAB.D C D C【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AD丄平面PAB, APu平面PAB,所以AD丄AP. . （2分）乂因为 API AB, ABAAD=A, ABu 平面 ABCD, ADu 平面 ABCD,所以AP丄平面ABCD. . （4分）因为CDu平面ABCD,所以CD丄AP. . （6分）（2）因为 CD丄AP, CDPD,且 PDDAP=P, PDu

21、 平面 PAD, APu 平面 PAD,所以CD丄平面PAD.（8分）因为AD丄平面PAB, ABu平面PAB,所以AB丄AD乂因为 AP丄AB, APAAD=A, APu 平面 PAD, ADu 平面 PAD,所以AB丄平面PAD.（10分）由 得 CD/7 AB, . （12 分）因为CDQ平面PAB, ABu平面PAB,所以CD平面PAB（14分）16如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA丄平面ABCD, E, F分别是AB, PD的中点，且PA二AD.2四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，AECD, AE=-CD.A FG=AE, FGAE, 四边形AEGF是平行四边形,（I） 求

22、证：EM丄AD；（II） 求证：MN平面ADE；（III） 求点A到平面BCE的距离【解答】证明：（） VEA=EB, M是AB的中点,A EM丄AB, （1分）平面ABE丄平面ABCD,平面ABE A平面ABCD二AB, EMu平面ABE,EM丄平面 ABCD,（4 分）VADu 平面 ABCD, A EM丄AD. （5 分）（0）取DE的中点F,连接AF, NF, TN 是 CE 的中点.，NFj_-i-CD, 乙TM是AB的中点，注CD，=2ANF/AM, A四边形AMNF是平行四边形，（7分）AMN/7AF, （8 分）TMNQ平面 ADE, AFu 平面 ADE,AMN平面 ADE.

23、 （10 分）解：（III）设点A到平面BCE的距离为d,曲（I）知 ME丄平面 ABC, BC=BE=2, MC=ME=V3，则 CE=V6，BN=Bg2_EN2=2/p-, （12 分）: sce 耳ebn誓，S佃c今BAX BC X sin6 刊怎，VVa bce=Ve ABC，（13 分）即寺 SCE X 好 Sgc XHE，解得d=兰匹，故点A到平面BCE的距离为兰匹.（14分）5 5 19.在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ZBAD=ZADC=90, DC=2AB二2AD, BC丄PD, E, F分别是PB, BC的中点.求证：(1) PC平面DEF；(2

24、)平面PBC丄平面PBD./ PC/EF,乂 PCQ平面 DEF, EFc 平面 DEF,PC平面 DEF.(2)取CD的中点连结BM, 贝lj AB=DM, 乂 AD丄AB, AB二AD, 四边形ABMD是正方形，BM丄CD, BM=CM=DM=1, BD二血 I BC二血abd2+bc2=cd2,/ BC1BD, 乂 BC丄PD, BDnPD=D,BC丄平面PBD,乂 BCc 平面 PBC,平面PBC丄平面PBD.20.如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,且平面ABCD丄平面BCE, FD丄平面ABCD,卩庄(I)求证：EF平面ABCD：(II)求证:平面ACF丄平面BDF.【

25、解答】证明：(回)如图，过点E作EH丄BC于H,连接HD, A EH-V3.T平面ABCD丄平面BCE, EHu平面BCE,平面ABCDA平面BCE=BC,EH丄平面 ABCD,乂TFD丄平面 ABCD,AFD/7EH, FD二EH.四边形EHDF为平行四边形.EFHDTEFQ平面 ABCD, HDc 平面 ABCD,EF平面ABCD.(7分)(0) TFD丄面 ABCD, AFD1AC,乂四边形ABCD是菱形，AC丄BD,X FDABD=D, A AC 丄面 FBD,乂 ACu面ACF,从而面ACF丄面BDF.(12分)21.如图，在直三棱柱ABC - AiBiCi中，AC丄BC, AiB与

26、ABi交于点D, AiC与ACi交于点E. 求证：(1) DE平面 BiBCCi；(2)平面AiBC丄平面AiACCi.【解答】证明：(1)III题意，D, E分别为AiB, AiC的中点，ADE/7BC,TDEQ平面 BiBCCi，BCu 平面 BiBCCi,ADE/平面 BiBCCi：(2) /AAi丄平面 ABC, BCu 平面 ABC,/ AAi 丄 BC,VACBC, ACGAAi二A,A BC 丄平面 AiACCi，V BCc 平面 AiBC,平面AiBC丄平面AiACCi.22.如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，ABDC, PEDC, AD丄DC

27、,PD丄平面 ABCD, AB=PD=DA=2PE, CD=3PE, F 是 CE 的中点.(1)求证：BF平面ADP(2)已知O是BD的中点，求证：BD丄平面AOF【解答】证明：(1)作FM丄CD，垂足为连接BM,则DM=2PE=AB, EMPDVDM/AB,A DM BA是平行四边形，TBMQ平面 ADP, ADu 平面 ADPABM平面 ADP同理EM/7平面ADPVBMDEM=M.平面BFM 平面ADPVBFc 平面 BFM,ABF/平面 ADP；(2)由(1)可知 FM=PE, DM=BM=2PE, A FD=FB=V5PE,TO是BD的中点,AFOBD,TAD二AB, O 是 BD

28、 的中点，.AOBD,VAODFO=O,BD丄平面AOF23如图，在儿何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EFCD, CD丄EA，CD=2EF=2, ED=VM为棱 FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N.（0）求证：EDCD；（0）求证：AD/MN；（0）若AD丄ED,试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出黑的值；若不能，说明理【解答】（回）证明：因为ABCD为矩形，所以VD丄AD. （1分） 又因为CD丄EA, （2分）所以CD丄平面EAD. （3分）所以ED丄CD. （4分）（回）证明：因为ABCD为矩形，所以ADBC, （5分）所以AD平面FBC. （7分）乂因为平面

29、ADMN Q平面FBC=MN,所以 AD/7MN. （8 分）（0）解：平面ADMN与平面BCF可以垂直.证明如下：（9分）连接DF因为AD丄ED, AD1CDEDQCD二D,所以AD丄平面CDEF. （10分）所以AD丄DM.因为AD/7MN,所以DM丄MN（11分）因为平面ADMNCI平面FBC=MN,若使平面ADMN丄平面BCF,则DM丄平面BCF，所以DM丄FC(12分)在梯形 CDEF 中，因为 EFCD, DE丄CD, CD=2EF=2, EDfjE所以 DF=DC=2.所以若使DM丄FC能成立，则M为FC的中点. 所以黒吕.(14分)FC 224.如图，在三棱锥ABCD中，E, F分别为BC, CD上的点，且B