必修二空间几何证明经典题型.docx
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必修二空间几何证明经典题型
必修二空间几何证明经典题型
一.解答题（共25小题）
1・如图,在四棱锥P-ABCD中,AB〃CD,AB丄AD,CD=2AB,平面PAD丄底面ABCD,PA±AD・E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（0）BE〃平面PAD；（0）PA丄BC；（0）平面BEF丄平面PCD.
C
【解答】解：
（E）VPA丄AD,平面PAD丄平面ABCD,平面PADQ平面ABCD二AD,山平面和平面垂直的性质定理可得PA丄平面ABCD.
（回）VAB/7CD,AB丄AD,CD=2AB,E和F分别是CD和PC的中点，
故四边形ABED为平行四边形，故有BE〃AD.
乂ADu平面PAD,BE不在平面PAD内，故有BE〃平面PAD.
（0）平行四边形ABED中，由AB丄AD可得，ABED为矩形，故有BE丄CD.
山PA丄平面ABCD,可得PA丄AB,再由AB丄AD可得AB丄平面PAD,
•'•CD丄平面PAD,故有CD丄PD.
再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF〃PD,
/.CD丄EF・
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD丄平面BEF.
由于CDc平面PCD,•••平面BEF丄平面PCD.
2.如图，在三棱锥V・ABC中，平面VAB丄平面ABC,AVAB为等边三角形，AC1BC且AC=BC=V^,O,M分别为AB,VA的中点.
（0）求证：
VB〃平面M0C：
（0）求证：
平面M0C丄平面VAB；
（0）求三棱锥A・M0C的体积•
TVBQ平面MOC,OMu平面MOC,•'•VB〃平面MOC；
（0）证明：
VAC=BC,O为AB的中点，・・・OC丄AB,
乂・••平面VAB丄平面ABC,平面ABCA平面VAB二AB,且OCu平面ABC,
/•OC丄平面VAB,
TOCu平面MOC,•••平面MOC丄平面VAB：
（囹）解:
在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=V2».*.AB=2,OC=1,
・•・等边三角形VAB的边长为2,SaVab=V3»
TO,M分别为AB,VA的中点・・・・Sgo*呦b年.
乂TOC丄平面VAB,・••三棱锥也。
汽加赵碍X
3.如图，在三棱锥P・ABC中，PA丄PC,AB=PB,E,F分别是PA,AC的中点.求证:
（1）EF〃平面PBC；
（2）平面BEF丄平面PAB.
【解答】证明：
（1）在AAPC中，因为E、F分别是PA、AC的中点，
所以EF/7PC,...（3分）
乂PCu平面PAC,EFG平面PAC,所以EF〃平面PBC....（6分）
（2）因为AB=PB,且点E是PA的中点，所以PA丄BE,...（9分）
又PA丄PC,EF〃PC,所以PA丄EF,...（12分）
因为BEu平面BEF,EFu平面BEF,BEOEF=E,
所以PA丄平面BEF,乂PAu平面PAB,所以平面PAB丄平面BEF....（14分）
4.如图，在三棱锥A-BCD中，AB±AD,BC丄BD,平面ABD丄平面BCD,点E、F（E与A、D不重
合）分别在棱AD,BD上，且EF丄AD.
求证：
（1）EF〃平面ABC；
（2）AD1AC・
【解答】证明：
（1）因为AB丄AD,EF丄AD,且A、B、E、F四点共面，
所以AB〃EF,
乂因为EFu平面ABC,ABu平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：
EF〃平面ABC；
（2）在线段CD±取点G,连结FG、EG使得FG〃BC，则EG〃AC,
因为BC丄BD,FG/7BC,所以FG丄BD,
乂因为平面ABD丄平面BCD,所以FG丄平面ABD,所以FG丄AD,
乂因为AD丄EF,且EFQFG=F,所以AD丄平面EFG,所以AD丄EG,
故AD丄AC・
5.已知四棱锥A・BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD丄面ABC,BE〃CD,F为AD的中点.
（S）求证：
EF〃面ABC；（E）求证：
平面ADE丄平面ACD；（0）求四棱锥A・BCDE的体积.
【解答】证明：
（S）取AC中点G,连接FG、BG,
VF,G分别是AD,AC的中点AFG/7CD,且FG=—DC=1.
2
VBE//CDAFG与BE平行且相等AEF/7BG.
EFQ面ABC,BGu面ABC〃面ABC...（4分）
（0）VAABC为等边三角形・・・bg丄AC
XVDC丄面ABC,BGu面ABCADC丄BG
•••BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC,
•••BG丄面ADC.・・・（6分）
VEF//BG•••£/丄面ADC
TEFu面ADE,•••面ADE丄面ADC・・..（8分）
解：
（0）
方法一:
连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E・ABC和E・ADC.
VA-BCDE=VE-ABC+VE-ACD今*半X1住X1x爭斗|呼爭•...（12分）
方法二：
取BC的中点为0,连接A0,则A0丄BC,乂CD丄平面ABC,
/•CD丄AO,BCDCD=C,•••A0丄平面BCDE,
.AOy.v的户；V3门（1+2）XI3•“—晅晅
..AO；JVabcdeHJ冋，AOp，気册二—2**VA-BCDE=7X
B
6.如图，四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，平面AiABBi丄平面ABCD,且ZABC』-・
2
（1）求证：
BC〃平ffiABiCi；
（2）求证：
平面AiABBi丄平面ABiCi・
【解答】证明:
（1）VBC/7B1C1，且BiCiU平面ABiCi，BCG平面ABiS
/.BC〃平面ABiCi・
（2）•••平面AiABBi丄平面ABCD,平面ABCD〃平面AiBiCiDi,
平面AiABBi丄平面AiBiCiDi,
•••平面AiABBiQ平面AiBiCiDi=AiBi,AiBi±C1B1，
ACiBic平面ABiCi,
•平面AiABBi丄平面AB1C1・
7.如图，三角形ABC中，AC=BC=李人血ABED是边长为1的正方形，平面ABED丄底面ABC,若G、
2
F分别是EC、BD的中点.
（□）求证:
GF〃底面ABC；
（0）求证：
AC丄平面EBC；
（□）求几何体ADEBC的体积V.
【解答】解：
（I）证法一：
取BE的中点H,连接HF、GH,（如图）
TG、F分别是EC和BD的中点
AHG/7BC,HF〃DE,（2分）
乂VADEB为正方形ADE#AB,从而HF〃AB
•'•HF〃平面ABC,HG〃平面ABC,HFQHG二H,
•••平面HGF〃平面ABC
・・・GF〃平面ABC（5分）
证法二：
取BC的中点M,AB的中点N连接GM、FN、MN
（如图）
TG、F分别是EC和BD的中点
GM"BE,且GM今BE,
・•・1（2分）
NF"DA,且
乂VADEB为正方形ABE//AD,BE=AD
AGM//NF且GM=NF
/.MNFG为平行四边形
•••GF〃MN,XMNu平面ABC,
・・・GF〃平面ABC（5分）
证法三：
连接AE,
VADEB为正方形，
aaeabd=f,且F是AE中点，（2分）
•••GF〃AC,
乂ACc平面ABC,
・・.GF〃平面ABC（5分）
（0）VADEB为正方形，・・.EB丄AB,.'.GF〃平面ABC（5分）
乂•・•平面ABED丄平面ABC,「.BE丄平面ABC（7分）
•••BE丄AC
XVCA2+CB2=AB2
AAC1BC,
VBCABE=B>
・・.AC丄平面BCE（9分）
（S）连接CN,因为AC=BC,•••CN丄AB,（20分）
乂平面ABED丄平面ABC,CNu平面ABC,/.CN丄平面ABED.（11分）
•・•三角形ABC是等腰直角三角形，・・・口诗起=|，（12分）
VC-ABED是四棱锥，
・•・VcABED*S個D・CN#X1X（14分）
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC丄AC,D,E分别是AB,AC的中点.
（1）求证：
BiCi〃平面AiDE：
（2）求证：
平面AiDE丄平面ACCiAi.
【解答】证明：
（1）因为D,E分别是AB,AC的中点，所以DE/7BC,...（2分）
又因为在三棱柱ABC-AiBiCi中，B1C1//BC,所以B1C1/ZDE...（4分）
乂BiCiQ平面AiDE,DEu平面A1DE,所以B1C1〃平面AiDE...（6分）
（2）在直三棱柱ABC-AiBiCi中，CCi丄底面ABC,
乂DEu底面ABC,所以CCi丄DE...（8分）
乂BC丄AC,DE〃BC,所以DE丄AC,・・・（10分）
乂CCi，ACu平面ACC1A1，且CCiDAC=C,所以DE丄平面ACCiAi...（12分）
乂DEu平面AiDE,所以平面AiDE丄平面ACCiAi…（14分）
9.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC,BD相交于点O,EF〃AB,EF吕AB,平
面BCF丄平面ABCD,BF=CF,G为BC的中点，求证：
（1）OG〃平面ABFE；
（2）AC丄平面BDE.
【解答】证明：
（1）V四边形ABCD是菱形，AC,BD相交于点6
・・・0是AC中点，
TG为BC的中点，•••OG〃AB,
TOGO平面ABFE,ABu平面ABFE,AOG//平面ABFE.
（2）•・・四边形ABCD是菱形，AC,BD相交于点O,
•••AC丄BD,O是AC中点，
TG为BC的中点，VEF/7AB,EF丄AB,平面BCF丄平面ABCD,BF=CF,
2
•••FG丄平面ABCD,•••EO丄平面ABCD,・・疋0丄AC,
VEOABD=O,•'•AC丄平面BDE.
10.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB丄AD,CD丄AD,CD=2AB.点E是PC的中点.
（0）求证：
BE〃平面PAD；
（S）已知平面PCD丄底面ABCD,且PC=DC.在棱PD上是否存在点F,使CF丄PA?
请说明理山.
【解答】
（1）证明：
取PD中点Q,连结AQ、EQ•…（1分）
TE为PC的中点，・・・EQ〃CD且EQ=^CD....（2分）
2
乂VAB/7CD且AB二丄CD,
2
AEQ//AB且EQ二AB.・..（3分）
・•・四边形ABED是平行四边形，
•••BE〃AQ・…（4分）
乂•••BEG平面PAD.AQu平面PAD,
・・.BE〃平面PAD....（5分）
（2）解：
棱PD上存在点F为PD的中点，使CF丄PA,
•••平面PCD丄底面ABCD,平面PCDQ底面ABCD=CD,AD丄CD,
/•AD丄平面PCD,
ADP是PA在平面PCD中的射影，
•••PC=DC,PF二DF,
•'•CF丄DP,丄PA・
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD丄底面ABCD,且PA=PD=
（1）求证：
EF〃平面PAD：
为PC中点.
所以在ZXCPA中，EF〃PA,
乂PAu平面PAD,EFQ平面PAD,
所以EF〃平面PAD：
（2）平面PAD丄平面ABCD
平面PADQ面ABCD=AD=>CD丄平面PAD=>CD丄PA
正方形ABCD中CDlADPAc平面PADCDc平面ABCD乂P2PD二甞AD，所以PA2+PD2=AD2
所以APAD是等腰直角三角形，且ZAPD二卷，即PA丄PD.
£
因为CDQPD二D,且CD、PDu面PDC
所以PA丄面PDC
乂PAc面PAB,
所以面PAB丄面PDC.
【解答】解：
（1）ABCD・AiBiCiDi是长方体，AB=BC=EC=yAi^r可得平面ABCD和平面AiBiCiDi是正方形，E为CCi的中点.连接AC与DB交于6连接0E,可得：
AC1//0E,
OEc平面BDE.
/•ACi〃平面BDE・
（2）连接OAi,
根据三垂线定理，可得OAi丄DB.0E丄DB,0A1Q0E二0,
•••平面AiOE±DB.
可得AiE丄DB・
VE为CCi的中点.设AB=BC=EC=iAAi=a
2
/.BE-V2a,AiE=V36AiB=a/5a
VAiB2=AiE2+BE2・AAiE丄EB.
TEBu平面BDE.BDu平面BDE・EBABD=B,•'•AiE丄平面BDE
13.如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC,若忆吨址，E,F分别是PQ,CQ的中点.求证：
（1）CE〃平面PBD；
（2）平面FBD丄平面PBD.
【解答】证明：
（1）设ACABD=O,连接P0,则
TO是AC的中点，E是PQ的中点，
/•PE=OC,PE//OC,
・・・四边形POCE是平行四边形，
ACE/7PO,
•••CEG平面PBD,POu平面PBD,
•ICE〃平面PBD；
（2）T平面ACQP丄平面ABCD,平面ACQPQ平面ABCD二AC,BD丄AC,
•••BD丄平面ACQP,
VPOc平面ACQP,ABD丄PO,
连接AQ,OF,则由三角形相似可AQ丄P0,
TF是CQ中点，0是AC的中点，
•••OF〃AQ,
•••OF丄P0,
VBDnOF=O,
•••P0丄平面FBD,
VPOc平面PBD,
•••平面FBD丄平面PBD.
14.已知直四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面是菱形，F为棱BB】的中点，M为线段ACi的中点.求证：
（0）直线MF〃平面ABCD：
（0）平面AFCi丄平面ACC1A1.
【解答】（本小题满分12分）
证明：
（0）延长CiF交CB的延长线于点N,连接AN.因为F是BBi的中点，所以，F为CiN的中点，B为CN的中点.乂M是线段ACi的中点，故MF〃AN.乂MF不在平面ABCD内，ANu平面ABCD,AMF〃平面ABCD.
（国）连BD,山直四棱柱ABCD-AiBiCiDi,
可知AiA丄平面ABCD,乂VBDu平面ABCD,AiA丄BD・
•・•四边形ABCD为菱形，.'.AC丄BD.乂TACQA】A=A,
AC,AiAu平面ACCiAi，ABD丄平面ACCiAi.
在四边形DANB中，DA〃BN且DA=BN,所以四边形DANB为平行四边形，
故NA〃BD,「•NA丄平面ACCiAi,乂因为NAu平面AFC1,
•••平面AFCi丄ACCiAi.
15・如图，四棱锥P-ABCD中，AD丄平面PAB,AP1AB・
（1）求证：
CD丄AP；
（2）若CD丄PD,求证：
CD〃平面PAB.
DCDC
【解答】（本小题满分14分）
证明：
（1）因为AD丄平面PAB,APu平面PAB,所以AD丄AP....（2分）
乂因为APIAB,ABAAD=A,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD,
所以AP丄平面ABCD....（4分）
因为CDu平面ABCD,所以CD丄AP....（6分）
（2）因为CD丄AP,CD±PD,且PDDAP=P,PDu平面PAD,APu平面PAD,
所以CD丄平面PAD.①…（8分）
因为AD丄平面PAB,ABu平面PAB,所以AB丄AD・
乂因为AP丄AB,APAAD=A,APu平面PAD,ADu平面PAD,
所以AB丄平面PAD.②…（10分）
由①®得CD/7AB,...（12分）
因为CDQ平面PAB,ABu平面PAB,所以CD〃平面PAB•…（14分）
16•如图，四棱锥P・ABCD的底面是矩形，PA丄平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点，且PA二AD.
2
•・•四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，・・・AE〃CD,AE=^-CD.
AFG=AE,FG〃AE,•••四边形AEGF是平行四边形,
（I）求证：
EM丄AD；
（II）求证：
MN〃平面ADE；
（III）求点A到平面BCE的距离・
【解答】证明：
（□）VEA=EB,M是AB的中点,AEM丄AB,（1分）
•••平面ABE丄平面ABCD,平面ABEA平面ABCD二AB,EMu平面ABE,
•••EM丄平面ABCD,（4分）
VADu平面ABCD,AEM丄AD.（5分）
（0）取DE的中点F,连接AF,NF,TN是CE的中点.，・\NFj_-i-CD,
・■乙
TM是AB的中点，注CD，
=2
ANF//AM,A四边形AMNF是平行四边形，（7分）
AMN/7AF,（8分）
TMNQ平面ADE,AFu平面ADE,
AMN〃平面ADE.（10分）
解：
（III）设点A到平面BCE的距离为d,
曲（I）知ME丄平面ABC,BC=BE=2,MC=ME=V3，
则CE=V6，BN=^Bg2_EN2=2/p-,（12分）
•:
s^ce耳e・bn誓，
S△佃c今BAXBCXsin6『刊怎，
VVabce=VeABC，（13分）即寺S^CEX好SgcXHE，
解得d=兰匹，故点A到平面BCE的距离为兰匹.（14分）
5519.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ZBAD=ZADC=90°,DC=2AB二2AD,BC丄PD,E,F分别是PB,BC的中点.
求证：
（1）PC〃平面DEF；
（2）平面PBC丄平面PBD.
/•PC//EF,
乂PCQ平面DEF,EFc平面DEF,
•'•PC〃平面DEF.
（2）取CD的中点连结BM,贝ljAB=^=DM,乂AD丄AB,AB二AD,・•・四边形ABMD是正方形，
•••BM丄CD,BM=CM=DM=1,BD二血•IBC二血
abd2+bc2=cd2,
/•BC1BD,乂BC丄PD,BDnPD=D,
•••BC丄平面PBD,
乂BCc平面PBC,
•••平面PBC丄平面PBD.
20.如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,且平面ABCD丄平面BCE,FD丄平面ABCD,卩庄£・
（I）求证：
EF〃平面ABCD：
（II）
求证:
平面ACF丄平面BDF.
【解答】证明：
（回）如图，过点E作EH丄BC于H,连接HD,AEH-V3.
T平面ABCD丄平面BCE,EHu平面BCE,
平面ABCDA平面BCE=BC,
•'•EH丄平面ABCD,
乂TFD丄平面ABCD,
AFD/7EH,FD二EH.
・・・四边形EHDF为平行四边形.
•••EF〃HD・
TEFQ平面ABCD,HDc平面ABCD,
•'•EF〃平面ABCD.・・・（7分）
（0）TFD丄面ABCD,AFD1AC,
乂四边形ABCD是菱形，・・・AC丄BD,
XFDABD=D,AAC丄面FBD,
乂ACu面ACF,从而面ACF丄面BDF.・・•（12分）
21.如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AC丄BC,AiB与ABi交于点D,AiC与ACi交于点E.求证：
（1）DE〃平面BiBCCi；
（2）平面AiBC丄平面AiACCi.
【解答】证明：
（1）III题意，D,E分别为AiB,AiC的中点，
ADE/7BC,
TDEQ平面BiBCCi，BCu平面BiBCCi,
ADE//平面BiBCCi：
（2）•/AAi丄平面ABC,BCu平面ABC,
/•AAi丄BC,
VAC±BC,ACGAAi二A,
ABC丄平面AiACCi，
VBCc平面AiBC,
平面AiBC丄平面AiACCi.
22.如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB〃DC,PE〃DC,AD丄DC,
PD丄平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点.
（1）求证：
BF〃平面ADP
（2）
已知O是BD的中点，求证：
BD丄平面AOF・
【解答】证明：
（1）作FM丄CD，垂足为连接BM,则DM=2PE=AB,EM〃PD
VDM//AB,
ADMBA是平行四边形，
TBMQ平面ADP,ADu平面ADP
ABM〃平面ADP
同理EM/7平面ADP
VBMDEM=M.
平面BFM〃平面ADP
VBFc平面BFM,
ABF//平面ADP；
（2）由
（1）可知FM=PE,DM=BM=2PE,AFD=FB=V5PE,
TO是BD的中点,AFO±BD,
TAD二AB,O是BD的中点，.\AO±BD,
VAODFO=O,
•••BD丄平面AOF・
23・如图，在儿何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF〃CD,CD丄EA，CD=2EF=2,ED=V^・M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N.
（0）求证：
ED±CD；
（0）求证：
AD//MN；
（0）若AD丄ED,试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？
若能，求出黑的值；若不能，说明理
【解答】（回）证明：
因为ABCD为矩形，所以VD丄AD.［（1分）］又因为CD丄EA,［（2分）］
所以CD丄平面EAD.［（3分）］
所以ED丄CD.［（4分）］
（回）证明：
因为ABCD为矩形，所以AD〃BC,［（5分）］
所以AD〃平面FBC.［（7分）］
乂因为平面ADMNQ平面FBC=MN,
所以AD/7MN.［（8分）］
（0）解：
平面ADMN与平面BCF可以垂直.证明如下：
［（9分）］
连接DF・因为AD丄ED,AD1CD・EDQCD二D,
所以AD丄平面CDEF.［（10分）］
所以AD丄DM.
因为AD/7MN,所以DM丄MN・［（11分）］
因为平面ADMNCI平面FBC=MN,
若使平面ADMN丄平面BCF,
则DM丄平面BCF，所以DM丄FC・[（12分）]
在梯形CDEF中，因为EF〃CD,DE丄CD,CD=2EF=2,EDfjE
所以DF=DC=2.
所以若使DM丄FC能成立，则M为FC的中点.所以黒■吕.[（14分）]
FC2
24.如图，在三棱锥A・BCD中，E,F分别为BC,CD上的点，且B
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