深圳大学 徐希《数学分析》课程教学大纲.docx

1、深圳大学 徐希数学分析课程教学大纲深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲（2006年10月重印版）课程编号 22123010C 课程名称 数学分析 课程类别 专业必修 教材名称 数学分析 制 订 人 徐 希 审 核 人 刘则毅 2005年 4 月修订一、课程设计的指导思想（一）课程性质1课程类别：专业必修课2适应专业：数学与应用数学3开设学期：第一至第三学期4学时安排：周学时6，总学时2825学分分配：6学分 （二）开设目的本课程是数学与应用数学专业（本科）一门必修的重要基础课。它一方面为后继课程，如微分方程、概率论、经济数学等基础课及专业课和有关的其他选修课提供所需基础，同时还为培养学生的抽

2、象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习研究和应用，对自己本身素质的提高，都会起着关键性的作用。（三）基本要求通过教学，要求学生掌握微积分（含无穷级数）内容的基本概念、基本理论和基本运算；并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。（四）主要内容一元及多元微分、积分的基本理论、方法及应用，无穷级数理论及其应用等。（五）先修课程无（六）后继课程微分方程、复变函数、微分几何、实变函数与泛函分析等及有关研究生课程（七）考核方式闭卷考试（八）使用教材华东师大编

3、，数学分析，北京：高等教育出版社，2001年第三版.（九）参考书目（1）刘玉琏等编数学分析讲义，北京：高等教育出版社，2003年第四版.（2）微积分学教程，格.米.菲赫金哥尔茨，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社，1954年二、教学内容第一章 实数集与函数教学目的 弄清数集及确界原理，理解变量与函数、反函数、基本初等函数、复合函数。主要内容第一节 实数第二节 数集、确界原理第三节 函数概念第四节 具有某些特性的函数教学要求了解：数集及确界原理理解：变量与函数、反函数、基本初等函数、复合函数。掌握：函数运算法则、特性函数的性质与应用。第二章 数列极限教学目的 引入数列极限概念及性质，介绍证

4、明数列极限存在及求极限的基本方法。主要内容第一节 数列极限概念第二节 收敛数列的性质第三节 数列极限存在的条件教学要求理解：数列极限概念及性质。掌握：证明数列极限存在及求极限的基本方法。第三章 函数极限教学目的 引入数列极限概念及性质，介绍证明数列极限存在及求极限的基本方法。介绍两个重要的极限及无穷大量与无穷小量主要内容第一节 函数极限概念第二节 函数极限的性质第三节 函数极限存在的条件第四节 两个重要的极限第五节 无穷大量与无穷小量教学要求理解：函数极限的概念，单侧极限掌握：熟练掌握函数极限的性质及运算，两个重要极限，无穷小量与无穷大量的阶第四章 函数的连续性教学目的 引入连续性概念，介绍连

5、续函数的性质、一致连续及初等函数的连续性。主要内容第一节 连续性概念第二节 连续函数的性质第三节 初等函数的连续性教学要求理解：函数连续概念掌握：熟练掌握函数极限的性质及运算，两个重要极限，无穷小量与无穷大量的阶（1）掌握幂级数、收敛半径、收敛域的概念；（2）熟悉基本初等函数的Taylor展式，会据此把一些解析函数展为Taylor级数，掌握解析函数的幂级数刻画；（3）掌握解析函数的零点孤立性、唯一性定理、最大模原理与最小模原理。第五章 导数和微分教学目的 理解导数的概念和微分的定义，熟练掌握求导法则，微分法则，掌握参数方程所表示的函数的微分法，高阶导数和高阶微分法，理解无穷小量与无穷大量。主要

6、内容第一节 导数的概念第二节 求导法则第三节 参变量函数的导数第四节 高阶导数第五节 无穷小量与无穷大量教学要求理解：理解导数的概念和微分的定义，无穷小量与无穷大量。掌握：求导法则，微分法则，掌握参数方程所表示的函数的微分法，高阶导数和高阶微分法第六章 微分中值定理及其应用教学目的 理解并熟练掌握中值定理和泰勒公式及不定式极限的求法。掌握函数的单调、极值、最大最小值、凸性、拐点、渐近线、函数作图。主要内容第一节 拉格朗日定理和函数的的单调性第二节 柯西中值定理和不定式极限第三节 泰勒公式第四节 函数的极值与最大（小）值第五节 函数的凸性与拐点第六节 函数图象的讨论第七节 方程的近似解教学要求理

7、解：理解并熟练掌握中值定理和泰勒公式。掌握：掌握中值定理和泰勒公式及不定式极限的求法。掌握函数的单调、极值、最大最小值、凸性、拐点、渐近线、函数作图。第七章 实数的完备性教学目的 了解确界原理、单调有界原理、区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理、聚点定理、柯西准则等定理的证明方法、等价性及其应用。主要内容第一节 关于实数集完备性的基本定理第二节 闭区间上连续函数性质的证明第三节 上极限和下极限教学要求了解：了解确界原理、单调有界原理、区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理、聚点定理、柯西准则等定理的证明方法、等价性及其应用。第八章 不定积分教学目的 理解不定积分的概念，熟练掌握不定积分基本公式及

8、运算技巧，掌握换元法、分部积分法，了解有理函数积分法。主要内容第一节 不定积分概念与基本积分公式第二节 换元积分法与分部积分法第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分教学要求了解：有理函数积分法。理解：不定积分的概念，熟练掌握不定积分基本公式及运算技巧掌握：不定积分基本公式及运算技巧，掌握换元法、分部积分法第九章 定积分教学目的 理解定积分的概念及其基本性质，了解定积分可积条件，掌握定积分基本定理，熟练掌握定积分的分部积分法和换元法。主要内容第一节 定积分概念第二节 牛顿-莱布尼茨公式第三节 可积条件第四节 定积分的性质第五节 微积分学基本定理，定积分的计算（续）第六节 可积性理论补叙基本要

9、求了解：了解定积分可积条件。理解：理解定积分的概念及其基本性质。掌握：定积分基本定理，熟练掌握定积分的分部积分法和换元法。第十章 定积分的应用教学目的 重点掌握定积分的几何应用，包括平面图形面积、体积、曲线弧长。掌握定积分的物理应用，包括力矩和重心等。主要内容第一节 平面图形的面积第二节 由平等截面面积求体积第三节 平面曲线的弧长与曲率第四节 旋转曲面的面积第五节 定积分在物理中的某些应用第六节 定积分的近似计算基本要求掌握：定积分的几何应用，包括平面图形面积、体积、曲线弧长。掌握定积分的物理应用，包括力矩和重心等。第十一章 反常积分教学目的 理解各种反常积分的概念，掌握反常积分的性质、敛散性

10、的各种判别方法及计算反常积分的方法。主要内容第一节 反常积分概念第二节 牛顿-莱布尼茨公式无穷积分的性质与收敛判别第三节 瑕积分的性质与收敛判别基本要求理解：各种反常积分的概念掌握：反常积分的性质、敛散性的各种判别方法及计算反常积分的方法。第十二章 数项级数教学目的 理解无穷级数的概念及其性质，熟练掌握正项级数敛散性判别法，包括比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法。理解级数的绝对收敛和条件收敛，掌握任意项级数的敛散性判别法，包括莱布尼兹判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法，以及绝对收敛级数的性质。主要内容第一节 级数的收敛性第二节 正项级数第三节 一般项级数基本要求了解：任意项级

11、数的阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。理解：理解无穷级数的概念及其性质，级数的绝对收敛和条件收敛，绝对收敛级数的性质。掌握：正项级数敛散性判别法，包括比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法。第十三章 函数列与函数项级数教学目的 理解一致收敛的概念。了解一致收敛的性质，掌握一致收敛的判别法，包括判别法，阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。主要内容第一节 一致收敛性第二节 一致收敛函数列与函数项级数的性质基本要求了解：一致收敛的性质。理解：一致收敛的概念。掌握：一致收敛的判别法，包括判别法，阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。第十四章 幂级数教学目的 掌握幂级数的收敛半径，柯西阿达马定理，阿贝尔定理及

12、幂级数的性质、级数求和法、函数的幂级数展开。主要内容第一节 幂级数第二节 函数的幂级数展开第三节 复变量的指数函数，欧拉公式基本要求掌握：掌握幂级数的收敛半径，柯西阿达马定理，阿贝尔定理及幂级数的性质、级数求和法、函数的幂级数展开。第十五章 傅里叶级数教学目的 了解三角函数的正交性，傅里叶系数，傅里叶级数，傅里叶级数的性质，包括收敛性定理等。掌握函数的傅里叶展开法。主要内容第一节 傅里叶级数第二节 以为周期的函数的展开式第三节 收敛定理的证明基本要求了解：三角函数的正交性。理解：傅里叶系数，傅里叶级数，傅里叶级数的性质，包括收敛性定理。掌握：函数的傅里叶展开法。第十六章 多元函数的极限与连续教

13、学目的 理解平面点集、聚点原理，多元函数极限，累次极限，连续函数及知道闭区间上连续函数的性质。主要内容第一节 平面点集与多元函数第二节 二元函数的极限第三节 二元函数的连续基本要求了解：闭区间上连续函数的性质。理解：理解平面点集、聚点原理，多元函数极限，累次极限。掌握：简单二元函数极限的计算。第十七章 多元函数微分学教学目的 理解偏导数与全微分的定义，可微与可导及可微与连续的关系，高阶偏导数。熟练掌握链式法则。掌握中值定理，方向导数，梯度，极值和泰勒公式。主要内容第一节 可微性第二节 复合函数微分法第三节 方向导数与梯度第四节 泰勒公式与极值问题基本要求了解：可微与可导及可微与连续的关系。理解

14、：偏导数与全微分的定义。掌握：掌握链式法则。掌握中值定理，方向导数，梯度，极值和泰勒公式。第十八章 隐函数定理及其应用教学目的 理解隐函数的概念与存在性，反函数及雅可比行列式的性质，掌握隐函数的求导法及条件极值。掌握多元函数微分学的几何应用。主要内容第一节 隐函数第二节 隐函数组第三节 几何应用基本要求理解：理解隐函数的概念与存在性，反函数及雅可比行列式的性质，掌握隐函数的求导法及条件极值。掌握：多元函数微分学的几何应用。第十九章 含参量积分教学目的 理解含参量积分（包括正常与反常积分）的概念与性质，一致收敛及其判别方法，了解欧拉积分的概念与性质。主要内容第一节 含参量正常积分第二节 含参量反

15、常积分第三节 欧拉积分基本要求了解：欧拉积分的概念与性质。理解：含参量积分（包括正常与反常积分）的概念与性质。掌握：一致收敛判别方法。第二十章 曲线积分教学目的 理解两类曲线积分的概念与性质，掌握两类积分的计算方法。了解两类积分之间的关系。主要内容第一节 第一型曲线积分第二节 第二型曲线积分基本要求了解：两类积分之间的关系。理解：两类曲线积分的概念与性质。掌握：两类积分的计算方法。第二十一章 重积分教学目的 理解二重积分的定义及性质，了解可积的充要条件和可积函数类，熟练掌握二重积分的计算，了解二重积分的换元法。熟悉并掌握格林公式及其应用。熟悉三重积分的概念及其计算。了解三重积分的换元法。了解重

16、积分的应用。主要内容第一节 二重积分概念第二节 直角坐标系下二重积分的计算第三节 格林公式，曲线积分与路线的无关性第四节 二重积分的变量变换第五节 三重积分第六节 重积分的应用基本要求了解：了解二重积分可积的充要条件和可积函数类，三重积分的换元法。了解重积分的应用。理解：理解理解二重积分及三重积分的定义及性质。掌握：二重、三重积分的计算，包括换元积分法。掌握格林公式及其应用，曲线积分与路线的无关性。第二十二章 曲面积分教学目的 理解两类曲面积分的概念与性质，掌握两类积分的计算方法。了解两类积分之间的关系。熟悉高斯公式与斯托克斯公式及其应用。了解场论的有关概念。主要内容第一节 第一型曲面积分第二

17、节 第二型曲面积分第三节 高斯公式与斯托克斯公式第四节 场论初步基本要求了解：两类积分之间的关系。场论的有关概念。理解：两类曲面积分的概念与性质，高斯公式与斯托克斯公式及其应用。掌握：两类积分的计算方法第二十三章 流形上微积分学初阶（不讲） 注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。三、课时分配及其它（一）课时分配课程总教学时数为282学时，安排在第一、二、三学期，每周6学时，上课18周。具体分配如下第一章 实数集与函数 12学时第二章 数列极限 10学时第三章 函数极限 12学时第四章 函数的连续性 10学时第五章 导数和微分 16学时第六章 微分中值定理及其应用

18、 18学时第七章 实数的完备性 10学时第八章 不定积分 16学时第九章 定积分 16学时第十章 定积分的应用 10学时第十一章 反常积分 12学时第十二章 数项级数 10学时第十三章 函数列与函数项级数 12学时第十四章 幂级数 10学时第十五章 傅里叶级数 8学时第十六章 多元函数的极限与连续 16学时第十七章 多元函数微分学 16学时第十八章 隐函数定理及其应用 12学时第十九章 含参量积分 12学时第二十章 曲线积分 12学时第二十一章 重积分 20学时第二十二章 曲面积分 12学时第二十三章流形上微积分学初阶（不讲）（二）考核要求1. 成绩评价平时成绩（含考勤、作业与测验）占30%，期末（卷面）成绩占70%。2命题说明题型应多样化，设计适当的开放性问题。基本题(主要考查学生对数学分析基本概念、理论与方法的一般理解）、计算题(主要考查学生对数学分析基本方法的具体、灵活应用)、证明题(主要考查学生对数学分析基本理论、基本方法的综合运用能力)各占约1/3。难易比例控制在15难、50适中、35易之间。涉及教材章的100，节的85，知识点的70左右。试卷末设置难度系数在0.70.9、分值为30分的附加题，目的在于筛选基础知识扎实、探索精神强烈、创新意识浓厚的同学。试卷采用A、B卷。 注：写明各学期教学总时数及各周学时数。