深圳大学 徐希《数学分析》课程教学大纲.docx
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深圳大学徐希《数学分析》课程教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号22123010C
课程名称数学分析
课程类别专业必修
教材名称数学分析
制订人徐希
审核人刘则毅
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：
专业必修课
2．适应专业：
数学与应用数学
3．开设学期：
第一至第三学期
4．学时安排：
周学时6，总学时282
5．学分分配：
6学分
（二）开设目的
本课程是数学与应用数学专业（本科）一门必修的重要基础课。
它一方面为后继课程，如微分方程、概率论、经济数学等基础课及专业课和有关的其他选修课提供所需基础，同时还为培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力提供必要的训练。
学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习研究和应用，对自己本身素质的提高，都会起着关键性的作用。
（三）基本要求
通过教学，要求学生掌握微积分（含无穷级数）内容的基本概念、基本理论和基本运算；并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。
（四）主要内容
一元及多元微分、积分的基本理论、方法及应用，无穷级数理论及其应用等。
（五）先修课程
无
（六）后继课程
微分方程、复变函数、微分几何、实变函数与泛函分析等及有关研究生课程
（七）考核方式
闭卷考试
（八）使用教材
华东师大编，《数学分析》，北京：
高等教育出版社，2001年第三版.
（九）参考书目
（1）刘玉琏等编《数学分析讲义》，北京：
高等教育出版社，2003年第四版.
（2）《微积分学教程》，格.米.菲赫金哥尔茨，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社，1954年
二、教学内容
第一章实数集与函数
教学目的
弄清数集及确界原理，理解变量与函数、反函数、基本初等函数、复合函数。
主要内容
第一节实数
第二节数集、确界原理
第三节函数概念
第四节具有某些特性的函数
教学要求
了解：
数集及确界原理
理解：
变量与函数、反函数、基本初等函数、复合函数。
掌握：
函数运算法则、特性函数的性质与应用。
第二章数列极限
教学目的
引入数列极限概念及性质，介绍证明数列极限存在及求极限的基本方法。
主要内容
第一节数列极限概念
第二节收敛数列的性质
第三节数列极限存在的条件
教学要求
理解：
数列极限概念及性质。
掌握：
证明数列极限存在及求极限的基本方法。
第三章函数极限
教学目的
引入数列极限概念及性质，介绍证明数列极限存在及求极限的基本方法。
介绍两个
重要的极限及无穷大量与无穷小量
主要内容
第一节函数极限概念
第二节函数极限的性质
第三节函数极限存在的条件
第四节两个重要的极限
第五节无穷大量与无穷小量
教学要求
理解：
函数极限的概念，单侧极限
掌握：
熟练掌握函数极限的性质及运算，两个重要极限，无穷小量与无穷大量的阶．
第四章函数的连续性
教学目的
引入连续性概念，介绍连续函数的性质、一致连续及初等函数的连续性。
主要内容
第一节连续性概念
第二节连续函数的性质
第三节初等函数的连续性
教学要求
理解：
函数连续概念
掌握：
熟练掌握函数极限的性质及运算，两个重要极限，无穷小量与无穷大量的阶．
（1）掌握幂级数、收敛半径、收敛域的概念；
（2）熟悉基本初等函数的Taylor展式，会据此把一些解析函数展为Taylor级数，掌握解析函数的幂级数刻画；
（3）掌握解析函数的零点孤立性、唯一性定理、最大模原理与最小模原理。
第五章导数和微分
教学目的
理解导数的概念和微分的定义，熟练掌握求导法则，微分法则，掌握参数方程所表
示的函数的微分法，高阶导数和高阶微分法，理解无穷小量与无穷大量。
主要内容
第一节导数的概念
第二节求导法则
第三节参变量函数的导数
第四节高阶导数
第五节无穷小量与无穷大量
教学要求
理解：
理解导数的概念和微分的定义，无穷小量与无穷大量。
掌握：
求导法则，微分法则，掌握参数方程所表示的函数的微分法，高阶导数和高阶微分法
第六章微分中值定理及其应用
教学目的
理解并熟练掌握中值定理和泰勒公式及不定式极限的求法。
掌握函数的单调、极值、
最大最小值、凸性、拐点、渐近线、函数作图。
主要内容
第一节拉格朗日定理和函数的的单调性
第二节柯西中值定理和不定式极限
第三节泰勒公式
第四节函数的极值与最大（小）值
第五节函数的凸性与拐点
第六节函数图象的讨论
第七节方程的近似解
教学要求
理解：
理解并熟练掌握中值定理和泰勒公式。
掌握：
掌握中值定理和泰勒公式及不定式极限的求法。
掌握函数的单调、极值、最大最小值、凸性、拐点、渐近线、函数作图。
第七章实数的完备性
教学目的
了解确界原理、单调有界原理、区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理、聚点定
理、柯西准则等定理的证明方法、等价性及其应用。
主要内容
第一节关于实数集完备性的基本定理
第二节闭区间上连续函数性质的证明
第三节上极限和下极限
教学要求
了解：
了解确界原理、单调有界原理、区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理、聚点定理、柯西准则等定理的证明方法、等价性及其应用。
第八章不定积分
教学目的
理解不定积分的概念，熟练掌握不定积分基本公式及运算技巧，掌握换元法、分部
积分法，了解有理函数积分法。
主要内容
第一节不定积分概念与基本积分公式
第二节换元积分法与分部积分法
第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分
教学要求
了解：
有理函数积分法。
理解：
不定积分的概念，熟练掌握不定积分基本公式及运算技巧
掌握：
不定积分基本公式及运算技巧，掌握换元法、分部积分法
第九章定积分
教学目的
理解定积分的概念及其基本性质，了解定积分可积条件，掌握定积分基本定理，熟
练掌握定积分的分部积分法和换元法。
主要内容
第一节定积分概念
第二节牛顿-莱布尼茨公式
第三节可积条件
第四节定积分的性质
第五节微积分学基本定理，定积分的计算（续）
第六节可积性理论补叙
基本要求
了解：
了解定积分可积条件。
理解：
理解定积分的概念及其基本性质。
掌握：
定积分基本定理，熟练掌握定积分的分部积分法和换元法。
第十章定积分的应用
教学目的
重点掌握定积分的几何应用，包括平面图形面积、体积、曲线弧长。
掌握定积分的
物理应用，包括力矩和重心等。
主要内容
第一节平面图形的面积
第二节由平等截面面积求体积
第三节平面曲线的弧长与曲率
第四节旋转曲面的面积
第五节定积分在物理中的某些应用
第六节定积分的近似计算
基本要求
掌握：
定积分的几何应用，包括平面图形面积、体积、曲线弧长。
掌握定积分的物理应用，包括力矩和重心等。
第十一章反常积分
教学目的
理解各种反常积分的概念，掌握反常积分的性质、敛散性的各种判别方法及计算反
常积分的方法。
主要内容
第一节反常积分概念
第二节牛顿-莱布尼茨公式无穷积分的性质与收敛判别
第三节瑕积分的性质与收敛判别
基本要求
理解：
各种反常积分的概念
掌握：
反常积分的性质、敛散性的各种判别方法及计算反常积分的方法。
第十二章数项级数
教学目的
理解无穷级数的概念及其性质，熟练掌握正项级数敛散性判别法，包括比较判别法、
柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法。
理解级数的绝对收敛和条件收敛，掌
握任意项级数的敛散性判别法，包括莱布尼兹判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判
别法，以及绝对收敛级数的性质。
主要内容
第一节级数的收敛性
第二节正项级数
第三节一般项级数
基本要求
了解：
任意项级数的阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。
理解：
理解无穷级数的概念及其性质，级数的绝对收敛和条件收敛，绝对收敛级数的性质。
掌握：
正项级数敛散性判别法，包括比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法。
第十三章函数列与函数项级数
教学目的
理解一致收敛的概念。
了解一致收敛的性质，掌握一致收敛的判别法，包括Ｍ－判
别法，阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。
主要内容
第一节一致收敛性
第二节一致收敛函数列与函数项级数的性质
基本要求
了解：
一致收敛的性质。
理解：
一致收敛的概念。
掌握：
一致收敛的判别法，包括Ｍ－判别法，阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。
第十四章幂级数
教学目的
掌握幂级数的收敛半径，柯西阿达马定理，阿贝尔定理及幂级数的性质、级数求和
法、函数的幂级数展开。
主要内容
第一节幂级数
第二节函数的幂级数展开
第三节复变量的指数函数，欧拉公式
基本要求
掌握：
掌握幂级数的收敛半径，柯西阿达马定理，阿贝尔定理及幂级数的性质、级数求和法、函数的幂级数展开。
第十五章傅里叶级数
教学目的
了解三角函数的正交性，傅里叶系数，傅里叶级数，傅里叶级数的性质，包括收敛性定理等。
掌握函数的傅里叶展开法。
主要内容
第一节傅里叶级数
第二节以
为周期的函数的展开式
第三节收敛定理的证明
基本要求
了解：
三角函数的正交性。
理解：
傅里叶系数，傅里叶级数，傅里叶级数的性质，包括收敛性定理。
掌握：
函数的傅里叶展开法。
第十六章多元函数的极限与连续
教学目的
理解平面点集、聚点原理，多元函数极限，累次极限，连续函数及知道闭区间上连
续函数的性质。
主要内容
第一节平面点集与多元函数
第二节二元函数的极限
第三节二元函数的连续
基本要求
了解：
闭区间上连续函数的性质。
理解：
理解平面点集、聚点原理，多元函数极限，累次极限。
掌握：
简单二元函数极限的计算。
第十七章多元函数微分学
教学目的
理解偏导数与全微分的定义，可微与可导及可微与连续的关系，高阶偏导数。
熟练
掌握链式法则。
掌握中值定理，方向导数，梯度，极值和泰勒公式。
主要内容
第一节可微性
第二节复合函数微分法
第三节方向导数与梯度
第四节泰勒公式与极值问题
基本要求
了解：
可微与可导及可微与连续的关系。
理解：
偏导数与全微分的定义。
掌握：
掌握链式法则。
掌握中值定理，方向导数，梯度，极值和泰勒公式。
第十八章隐函数定理及其应用
教学目的
理解隐函数的概念与存在性，反函数及雅可比行列式的性质，掌握隐函数的求导法
及条件极值。
掌握多元函数微分学的几何应用。
主要内容
第一节隐函数
第二节隐函数组
第三节几何应用
基本要求
理解：
理解隐函数的概念与存在性，反函数及雅可比行列式的性质，掌握隐函数的求导法及条件极值。
掌握：
多元函数微分学的几何应用。
第十九章含参量积分
教学目的
理解含参量积分（包括正常与反常积分）的概念与性质，一致收敛及其判别方法，
了解欧拉积分的概念与性质。
主要内容
第一节含参量正常积分
第二节含参量反常积分
第三节欧拉积分
基本要求
了解：
欧拉积分的概念与性质。
理解：
含参量积分（包括正常与反常积分）的概念与性质。
掌握：
一致收敛判别方法。
第二十章曲线积分
教学目的
理解两类曲线积分的概念与性质，掌握两类积分的计算方法。
了解两类积分之间的
关系。
主要内容
第一节第一型曲线积分
第二节第二型曲线积分
基本要求
了解：
两类积分之间的关系。
。
理解：
两类曲线积分的概念与性质。
掌握：
两类积分的计算方法。
第二十一章重积分
教学目的
理解二重积分的定义及性质，了解可积的充要条件和可积函数类，熟练掌握二重积分的计算，了解二重积分的换元法。
熟悉并掌握格林公式及其应用。
熟悉三重积分的概念及其计算。
了解三重积分的换元法。
了解重积分的应用。
主要内容
第一节二重积分概念
第二节直角坐标系下二重积分的计算
第三节格林公式，曲线积分与路线的无关性
第四节二重积分的变量变换
第五节三重积分
第六节重积分的应用
基本要求
了解：
了解二重积分可积的充要条件和可积函数类，三重积分的换元法。
了解重积分的应用。
理解：
理解理解二重积分及三重积分的定义及性质。
掌握：
二重、三重积分的计算，包括换元积分法。
掌握格林公式及其应用，曲线积分与路线的无关性。
第二十二章曲面积分
教学目的
理解两类曲面积分的概念与性质，掌握两类积分的计算方法。
了解两类积分之间的关系。
熟悉高斯公式与斯托克斯公式及其应用。
了解场论的有关概念。
主要内容
第一节第一型曲面积分
第二节第二型曲面积分
第三节高斯公式与斯托克斯公式
第四节场论初步
基本要求
了解：
两类积分之间的关系。
场论的有关概念。
理解：
两类曲面积分的概念与性质，高斯公式与斯托克斯公式及其应用。
掌握：
两类积分的计算方法
第二十三章流形上微积分学初阶（不讲）
注：
根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为282学时，安排在第一、二、三学期，每周6学时，上课18周。
具体分配如下
第一章实数集与函数12学时
第二章数列极限10学时
第三章函数极限12学时
第四章函数的连续性10学时
第五章导数和微分16学时
第六章微分中值定理及其应用18学时
第七章实数的完备性10学时
第八章不定积分16学时
第九章定积分16学时
第十章定积分的应用10学时
第十一章反常积分12学时
第十二章数项级数10学时
第十三章函数列与函数项级数12学时
第十四章幂级数10学时
第十五章傅里叶级数8学时
第十六章多元函数的极限与连续16学时
第十七章多元函数微分学16学时
第十八章隐函数定理及其应用12学时
第十九章含参量积分12学时
第二十章曲线积分12学时
第二十一章重积分20学时
第二十二章曲面积分12学时
第二十三章流形上微积分学初阶（不讲）
（二）考核要求
1.成绩评价
平时成绩（含考勤、作业与测验）占30%，期末（卷面）成绩占70%。
2．命题说明
题型应多样化，设计适当的开放性问题。
基本题（
主要考查学生对数学分析基本概念、理论与方法的一般理解）、计算题（主要考查学生对数学分析基本方法的具体、灵活应用）、证明题（主要考查学生对数学分析基本理论、基本方法的综合运用能力）各占约1/3。
难易比例控制在15％难、50％适中、35％易之间。
涉及教材章的100％，节的85％，知识点的70％左右。
试卷末设置难度系数在0.7～0.9、分值为30分的附加题，目的在于筛选基础知识扎实、探索精神强烈、创新意识浓厚的同学。
试卷采用A、B卷。
注：
写明各学期教学总时数及各周学时数。
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