导数在实际生活中的应用 一次函数的生活实例.docx

1、导数在实际生活中的应用 一次函数的生活实例导数在实际生活中的应用 一次函数的生活实例 1.4课 题：导数在实际生活中的应用 教学目的： 1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1. 极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)f(x0) ，就说f(x0) 是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x0) ，x

2、0是极大值点 2. 极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)f(x0). 就说f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x0) ，x 0是极小值点 3. 极大值与极小值统称为极值 4. 判别f (x 0) 是极大、极小值的方法: 若x 0满足f (x 0) =0，且在x 0的两侧f (x ) 的导数异号，则x 0是f (x ) 的极值点，则x 0是f (x ) 的极大值点，f (x 0) 是极值，并且如果f (x ) 在x 0两侧满足“左正右负” 如果f (x ) 在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x ) 的极小值

3、点，f (x 0) f (x 0) 是极大值； 是极小值 5. 求可导函数f (x ) 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f (x ) (2)求方程f (x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f (x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x ) 在这个根处无极值 6. 函数的最大值和最小值:在闭区间a , b 上连续的函数f (x ) 在a , b 上必有最大值与最小值在开区

4、间(a , b ) 内连续的函数f (x ) 不一定有最大值与最小值 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数f (x ) 在闭区间a , b 上连续，是f (x ) 在闭区间a , b 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 7. 利用导数求函数的最值步骤:求f (x ) 在(a , b ) 内的极值；将f (x ) 的各极值与f (a ) 、 f (b ) 比较得出函数f (x ) 在a , b 上的最值 二、讲解范例： 例1在边长为60 cm 的正

5、方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图) ，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为 x cm ，则箱高 _60 h = 60-x cm ，得箱子2 容积 60x 2-x 3 V (x ) =x h = (0 2 2 3x 2 V (x ) =60x - (0 2 3x 2 令 V (x ) =60x -0，解得 x=0（舍去），x=40， 2 并求得 V(40)=16 000 由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积

6、是16 000cm 解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 （后面同解法V (x ) =(60-2x ) 2x (0 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处 3 60x 2-x 32 事实上，可导函数V (x ) =x h =、V (x ) =(60-2x ) x 在各自的定义域中 2 2 都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 2

7、S=2Rh+2R V ，则 R 2V 22V 2 S(R)= 2R + 2R =+2R 2 R R 2V 令 s (R ) =-2+4R=0 R 由V=R h ，得h = 2 解得， V h=2 R 即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ S -2R 2 提示：S =2Rh +2R ?h = 2R 2 11S -2R 2 R 2=(S -2R 2) R =SR -R 3 ?V (R )= 222R V (R ) )=0?S =6R 2 ?6R

8、 2=2Rh +2R 2?h =2R 例3在经济学中，生产x 的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)C(x)称为利润函数，记为P(x)。 （1）、如果C(x)10x -0. 003x +5x +1000，那么生产多少单位产品时，边际 -6 3 2 C (x ) 最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x10000，产品的单价P 1000.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？ 变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数 关系式为p =25-

9、1 q 求产量q 为何值时，利润L 最大？ 8 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润 解：收入R =q ?p =q 25-q ?=25q -q 2， ?1?8? 18 利润L =R -C = 25q -q 2?-(100-4q ) =-q 221q -100(0 ? 1818 1 L =-q +21 4 1 令L =0，即-q +21=0，求得唯一的极值点q =84 4 答：产量为84时，利润L 最大 三、课堂练习： 1. 函数y =2x 33x 212x +5在0，3上的最小值是_. 2. 函数f (x

10、)=sin2x x 在 , 上的最大值为_；最小值为_. 22 3. 将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_和_. x 2y 2 4. 使内接椭圆2+2=1的矩形面积最大，矩形的长为_，宽为_. a b 5. 在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时，它的面积最大 ：1. 15 2. 四、小结 ： 解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义 根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较 相当多有

11、关最值的实际问题用导数解决较简单 五、课后作业： 1. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 解：（1）正方形边长为x , 则V =（82x ) (52x ) x =2(2x 313x 2+20x )(0 a a 3. 4. 2a 22223 2b 5. R 2 5) 2 5 ), V =0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的， 2 b 当x =1时，容积V 取最大值为18. 2. 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿 面尺周

12、 l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b . 解：由梯形面积公式，得S = 13 (AD +BC ) h , 其中AD =2DE +BC ，DE =h , BC =b 23 AD = 122h +b , S =(h +2b ) h =(h +b ) h 2333 h 22=h , AB =CD . l =h 2+b cos 30?3 CD = 由得b = 43S S S h , 代入, l =h +-h =3h + - 3h 3h h 3S S S S =0,h =, 当h 时，l 0. h 233l =- 23S h =时，l 取最小值，此时b =S 4 3 内容仅供参考