导数在实际生活中的应用 一次函数的生活实例.docx

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导数在实际生活中的应用一次函数的生活实例

导数在实际生活中的应用一次函数的生活实例

1.4课题：

导数在实际生活中的应用

教学目的：

1.进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题教学重点：

解有关函数最大值、最小值的实际问题．教学难点：

解有关函数最大值、最小值的实际问题．授课类型：

新授课课时安排：

1课时

教具：

多媒体、实物投影仪教学过程：

一、复习引入：

1.极大值：

一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点

2.极小值：

一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0）.就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值

4.判别f（x0）是极大、极小值的方法:

若x0满足f"（x0）=0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极值，并且如果f"（x）在x0两侧满足“左正右负”

如果f"（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）f（x0）是极大值；

是极小值

5.求可导函数f（x）的极值的步骤:

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）

（2）求方程f′（x）=0的根

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f（x）在这个根处无极值

6.函数的最大值和最小值:

在闭区间[a,b]上连续的函数f（x）在[a,b]上必有最大值与最小值．⑴在开区间（a,b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，是f（x）在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

7.利用导数求函数的最值步骤:

⑴求f（x）在（a,b）内的极值；⑵将f（x）的各极值与f（a）、

f（b）比较得出函数f（x）在[a,b]上的最值

二、讲解范例：

例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？

最大容积是多少？

解法一：

设箱底边长为

xcm，则箱高

_60

h=

60-x

cm，得箱子2

容积

60x2-x3

V（x）=xh=（0

2

2

3x2

V"（x）=60x-（0

2

3x2

令V"（x）=60x-＝0，解得x=0（舍去），x=40，

2

并求得V（40）=16000

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值

答：

当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm解法二：

设箱高为xcm，则箱底长为（60-2x）cm，则得箱子容积

（后面同解法V（x）=（60-2x）2x（0

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．

3

60x2-x32

事实上，可导函数V（x）=xh=、V（x）=（60-2x）x在各自的定义域中

2

2

都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：

设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

2

S=2πRh+2πR

V

，则πR2V22V2

S（R）=2πR+2πR=+2πR2

πRR2V

令s"（R）=-2+4πR=0

R

由V=πRh，得h=

2

解得，

Vh=2

π

R

即h=2R

因为S（R）只有一个极值，所以它是最小值答：

当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：

当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

S-2πR2

提示：

S=2πRh+2πR?

h=

2πR

2

11S-2πR2

πR2=（S-2πR2）R=SR-πR3?

V（R）=

222πR

V"（R））=0?

S=6πR2?

6πR2=2πRh+2πR2?

h=2R．

例3在经济学中，生产x的成本称为成本函数同，记为C（x），出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R（x），R（x）－C（x）称为利润函数，记为P（x）。

（1）、如果C（x）＝10x-0.003x+5x+1000，那么生产多少单位产品时，边际

-6

3

2

C"（x）最低？

（边际成本：

生产规模增加一个单位时成本的增加量）

（2）、如果C（x）=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？

变式：

已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q

的函数

关系式为p=25-

1

q．求产量q为何值时，利润L最大？

8

分析：

利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：

收入R=q?

p=q25-q?

=25q-q2，

?

?

1?

8?

?

?

18

利润L=R-C=25q-q2?

-（100-4q）=-q221q-100（0

?

?

1818

1

L"=-q+21

4

1

令L"=0，即-q+21=0，求得唯一的极值点q=84

4

答：

产量为84时，利润L最大三、课堂练习：

1.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________.2.函数f（x）=sin2x－x在［－

ππ

］上的最大值为_____；最小值为_______.22

3.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.

x2y2

4.使内接椭圆2+2=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____.

ab

5.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大：

1.－152.四、小结：

⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．

⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．

⑶相当多有关最值的实际问题用导数解决较简单

五、课后作业：

1.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？

解：

（1）正方形边长为x,则V=（8－2x）·（5－2x）x=2（2x3－13x2+20x）（0

ππaa

－3.4.2a

22223

2b5.R

2

5）2

5

）,V′=0得x=1根据实际情况，小盒容积最大是存在的，2

b

∴当x=1时，容积V取最大值为18.

2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿

面尺周

l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.解：

由梯形面积公式，得S=

13（AD+BC）h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b23

∴AD=

122h+b,∴S=（h+2b）h=（h+b）h①

2333

h22=h,AB=CD.∴l=h×2+b

cos30?

3

②

∵CD=

由①得b=

43SSSh,代入②,∴l=h+-h=3h+-

3h3hh3SSSS

=0,∴h=,当h时，l′>0.

h233l′=-

23S

∴h=时，l取最小值，此时b=S4

3

内容仅供参考