初中数学平面几何题 学习辅助线的添加专题.docx

1、初中数学平面几何题 学习辅助线的添加专题1、三角形ABC中,AD为中线,P为AD上任意一点,过p的直线交AB于M.交ac于N,若AN=AM，求证PM/PN=AC/AB 证明：过P点作BC的平行线交AB,AC分别于M,N点；再分别过M,M两点分别作AC的平行线分别交AD(或延长线）于P,A两点。由MN平行BC得：AC/AN=AB/AM,即AC/AB=AN/AM.且MP=NP由三角形ANP全等三角形AMP得：MA=AN.所以，AC/AB=AM/AM由三角形AMA相似三角形AMP得：AM/AM=MP/AM,即AM/AM=MP/AM所以：AC/AB=MP/AM由三角形MPP相似三角形ANP得：MP/A

2、N=MP/PN而AN=AM所以：MP/AM=MP/PN所以：AC/AB=MP/PN 1题图 2题图2、在三角形BCD中,BC=BD,延长BC至A,延长BD至E,使AC=BE,连接AD,AE,AD=AE,求BCD为等边 证明：过点A作CD的平行线交BE的延长线于F点。则BDC=F=BCD=A，即A=F.又因为：四边形AFDC是梯形所以：AC=DF=FE+DE而AC=BD+DE所以：BD=FE又因为：AD=AE,BDA=FEA所以：三角形ABD和三角形AFE全等所以：B=F所以：B=BCD=BDC=60所以：三角形BCD是等边三角形。3、三角形ABC中若圆O在变化过程中都落在三角形ABC内(含相切

3、), A为60度,AC为8,AB为10,X为未知数,是AE的长.圆O与AB,AC相切,圆O与AB的切点为E, X的范围是？解：如图，当元O与三角形ABC三条边都相切时，x的值最大。此时：过B作BD垂直AC,则可求得BD=5(3),DC=3根据勾股定理求得BC=2(21)设元O与边AB,BC,CA的切点分别为E,F,G,且AE=x,BE=y,CF=z,则有方程组：x+y=10,x+z=8,y+z=2(21),解这个方程组得：x=9-(21)因此：x的范围是（0，9-21 4、已知三角形ABE中 C 、D分别为AB、BE上的点，且AD=AE，三角形BCD为等边三角形，求证BC+DE=AC 证明:过

4、D点作BE的垂线DF,交AB于F点，过A点作BE的垂线AH,H是垂足，再过F点作AH的垂线FG,G是垂足。则：四边形DHGF是矩形，有FG=DH.而由ADE是等腰三角形得知DH=HE,所以：FG=(1/2)DE.又由于角B=60，所以：BAH=30所以：FG=(1/2)AF所以：AF=DE而在直角BDF中，由于B=BDC=60所以：CDF=CFD=30所以：CF=CD=BC所以：BC+DE=CF+AF即：BC+DE=AC5、已知在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC与F,求证AF=EF 证明：如图，连接EC,取EC的中点G,AE的中点H，连接DG

5、,HG则：GH=DG所以：角1=2，而1=4，2=3=5所以；4=5所以：AF=EF.6、在ABC中，D是BC边中点，O是AD上一点，BO,CO的延长线分别交AC,AB于E,F 求证：EF平行BC。证明：分别过B,C两点作AD的平行线分别交CF,BE的延长线于M,N两点。则：四边形MBCN是平行四边形。由MBAOCN,得：OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.（相似三角形对应边成比例）而BM=CN所以：OF/FM=OE/EN所以：MNEF而MNBC所以：EFBC.7、已知：在ABC和ABC中，AB=AB, AC=AC.AD，AD分别是ABC和ABC的中线，且AD=AD.求证：ABCA

6、BC证明：分别过B,B点作BEAC,BEAC.交AD,AD的延长线于E,E点。则：ADCEDB, ADCEDB所以：AC=EB,AC=EB； AD=DE, AD=DE.所以：BE=BE, AE=AE所以：ABEABE所以：角E=E 角BAD=角BAD所以：角BAC=角BAC所以：ABCABC8、四边形ABCD为菱形，E,F为AB,BC的中点，EPCD，BAD110，求FPC的度数 解：连接BD,交AC于O点，过A作CD的垂线，垂足为G,过O作BC的平行线交CD于H.因为：角DAB=110，GAB=90所以：DAG=20。由AOD=AGD=90知AOGD四点共元，所以DOG=DAG=20由OHB

7、CAD知：HOC=DAC=(1/2)BAD=55所以：GOH=90-20-55=15而：OHG=BCD=110所以：OGH=180-15-110=55由于：不难证明FPC=OGH (过程略）所以：FPC=559、已知：E是正方形ABCD内的一点，且DAE=ADE=15，求证：EBC是等边三角形证明：过E点作AB的平行线EP,交BC于P点，交AD于Q点，以D为角顶点，DA为角的一边，向正方形ABCD内作ADF=30，角的一边交EP于F点。设DQ=3，则：FQ=1, DF=2, AD=23， PC=PB=AQ=3, 由角平分线定理得：QE/EF=QD/DF,即：QE/(1-QE)=(3)/2解得：

8、QE=2(3)-3所以：PE=PQ-QE=2(3)-2(3)-3=3在EPC中由勾股定理得：EC=（PE+PC）=23而：BE=CE所以:BC=BE=CE=23即：EBC是等边三角形。10、在三角形ABC中,经过BC的中点M,有垂直相交于M的两条直线,它们与AB,AC分别交于D、E，求证，BD+CEDE证明：如图，延长EM到E,使EM=ME,则：DE=DE,由BEMCEM得：CE=BE在BED中，有BD+BEDE等量代换得：BD+CEDE11、AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN把MCN翻折，使点C落在AB上设其落点 （1）.如图一，当是AB的中点时，

9、求证：PA/PB=CM/CN（2）.如图二当P不是AB中点时，结论PA/PB=CM/CN是否成立？若成立，请给出证明（1）、证明：因为P是AB中点，所以：AP/PB=1,因为：P点是C点沿直线MN折叠的落点，所以：MN垂直平分PC,所以：CM=MP,由AP=BP得ACP=BCP=45所以：CM=MN所以：CM/CN=1所以：PA/PB=CM/CN（2）、结论仍然成立。证明：过P点分别作AC,BC的垂线PE,PD.E,D是垂足。过C作CF垂直AB,F是垂足。则：SAPC=(1/2)AC*PE=（1/2)AP*CFSBPC=(1/2)BC*PD=(1/2)BP*CF而AC=BC所以：PE/PD=A

10、P/BP由MCN=MPN=90知MCNP四点共元所以：PME=PND所以：RTPEMRTPDN所以：PE/PD=PM/PN而PM=MC,PN=NC所以：PE/PD=MC/NC所以：AP/BP=MC/NC12、三角形ABC中，BC=5，M和I分别是三角形ABC的重心和内心，若MI平行于BC,则AB+AC的值是多少？解：设内心到三边的距离为r，BC边上的高为AE=h,如图。因为MIBC,AM=2MD所以：h=3r而：SABC=(1/2)BC*h=(5/2)h=(15/2)rSABC=SABI+SBCI+SACE=(1/2)r(AB+AC+5)所以：(15/2)r=(1/2)r(AB+AC+5)解得

11、：AB+AC=1013、已知圆O是三角形ABC的外接圆 CD是AB边上的高，AE是圆O的直径。求证：AC*BC=AE*CD证明：以E为圆心，以BC长为半径画弧交元O于F点。连接EF,FA.则：EF=BC,AFE=90所以：EAF=DAC （弦相等，弦所对的圆周角相等）所以：RTADCRTEFA所以：AC/AE=CD/EF 即AC*EF=AE*CD而：EF=BC所以：AC*BC=AE*CD14、已知：D.E位ABC内的两点求证：AB+ACBD+DE+EC证明：设直线DE交AB于F,交AC于G,则：在AFG中，有AF+AGFD+DE+EG在BFD中，有BF+FDBD在EGC中，有EG+GCEC所以

12、：三个不等式两边相加得AF+AG+BF+FD+EG+GCFD+DE+EG+BD+EC即：AB+ACDE+BD+EC15、在三角形ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点O,BO与OD的长度有什么关系?BC边上的中线是否一定过点O？为什么？答：BO=2DO,BC边上的中线过O点。证明：连接AO,设M,N分别是BO,CO的中点，连接EM,DN,则：EM平行并等于AO的一半，DN平行并等于AO的一半所以：EM平行并等于DN所以：四边形EMND是平行四边形所以：MO=OD所以：BM=MO=OD所以：BO=2DO延长AO交BC于G,延长DN交BC于H,延长EM交BC于Q,则：由AG

13、EQDH,BM=MO=OD得知BQ=QG=GH=HC所以；BG=GC所以；BC边上的中线过O点。16、在ABC中，AB,BE是ABC的高，交于点H，边BC,AC的垂直平分线FO,GO相交于点O求证：OF=1/2AH,OG=1/2BH证明：连接CO并延长交ABC的外接圆于M点。则：OC是元的直径。OF=(1/2)BM,MBC=MAC=ADB=BEA=90所以：BMAD,AMBE所以：四边形MBHA是平行四边形所以：BM=AH所以：OF=(1/2）AH.同理可证：OG=(1/2)BH.17、三角形中线分别为9 12 15 求三角形面积解：过F点作AE的平行线，交DC于H点，则：FH=（1/2)AM

14、=5, MH=3,（三角形中位线定理，三中线交点分中线性质）而：MF=4所以：三角形FMH是直角三角形，即BMDC.所以：SBCD=(1/2)*9*8=36,所以：SADC=SBCD=36 (同高等底的两个三角形面积相等）所以：SABC=7218、在ABC中A=90，ADBC于D，M是AD的中点，延长BM交AC于E，过E作EFBC于F。求证：EF=AE*CE证明：如图，延长BA,FE交于N.因为：ADFN所以：AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE所以：AM/NE=MD/EF而：AM=DM所以：NE=EF由于：角NAC=NFC=90所以：AFCN四点共圆所以：AE*EC=EF*EN所以

15、：EF2=AE*EC19、已知E为平行四边形ABCD的边BC上的任一点，DE延长线交AB延长线与F，求证SABE=SCEF。 证明:分别过C,E两点作AB的垂线CH,EG,H,G是垂足。设BE=m,EC=n由BFECDE得：BF/CD=m/n.即BF/(BF+CD)=m/(m+n)也就是BF/AF=m/(m+n) (因为AB=CD，有AF=BF+CD)由RTBEGRTBCH得：HC/GE=(m+n)/m所以：(BF/CD)*(HC/GE)=1而：SAFE=(1/2)AF*GE SBFC=(1/2)BF*CH所以：SBFC/SAFE=BF*HC/AF*GE=1所以：SBFC=SAFE两边同时减去

16、SBFE得：SABE=SCEF。20、等腰直角三角形，角A为90，D，E两点为斜边上的动点，角DAE=45，当D合B重合或E和C重合时，线段DE的长度等于BD+EC当不重合时，DEBD+CE.证明：不重合时。以A点为顶点，AC为一边向ABC的外侧作CAB，使CAB=DAB.截取AB=AD.又因为：AC=AB.所以：CABBAD所以：BC=DB因为:BAC=90，DAE=45。所以：BAD+CAE=45。所以：BAE=BAC+CAE=45=EAD.又AD=AB,AE=AE所以：BAEDAE所以:DE=EB在ECB中，有EBEC+CB而EB=DE,CB=BD所以：DECE+BD重合时，证明（略）200首选上海丞贸!EP Shanghai上海国际电力电工展上海芯银实业专业代理销售日本KUZE不锈钢BA管和EP管x