初中数学平面几何题 学习辅助线的添加专题.docx

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初中数学平面几何题学习辅助线的添加专题

1、三角形ABC中,AD为中线,P为AD上任意一点,过p的直线交AB于M.交ac于N,若AN=AM，求证PM/PN=AC/AB

证明：

过P点作BC的平行线交AB,AC分别于M',N'点；再分别过M,M'两点分别作AC的平行线分别交AD（或延长线）于P',A'两点。

由M'N'平行BC得：

AC/AN'=AB/AM',即AC/AB=AN'/AM'.且M'P=N'P

由三角形AN'P全等三角形A'M'P得：

M'A'=AN'.所以，AC/AB=A'M'/AM'

由三角形AM'A'相似三角形AMP'得：

AM/AM'=MP'/A'M',即A'M'/AM'=MP'/AM

所以：

AC/AB=MP'/AM

由三角形MP'P相似三角形ANP得：

MP'/AN=MP/PN

而AN=AM

所以：

MP'/AM=MP/PN

所以：

AC/AB=MP/PN

1题图

2题图

2、在三角形BCD中,BC=BD,延长BC至A,延长BD至E,使AC=BE,连接AD,AE,AD=AE,求BCD为等边

证明：

过点A作CD的平行线交BE的延长线于F点。

则∠BDC=∠F=∠BCD=∠A，即∠A=∠F.

又因为：

四边形AFDC是梯形

所以：

AC=DF=FE+DE

而AC=BD+DE

所以：

BD=FE

又因为：

AD=AE,∠BDA=∠FEA

所以：

三角形ABD和三角形AFE全等

所以：

∠B=∠F

所以：

∠B=∠BCD=∠BDC=60°

所以：

三角形BCD是等边三角形。

3、三角形ABC中若圆O在变化过程中都落在三角形ABC内（含相切）,A为60度,AC为8,AB为10,X为未知数,是AE的长.圆O与AB,AC相切,圆O与AB的切点为E,X的范围是？

解：

如图，当元O与三角形ABC三条边都相切时，x的值最大。

此时：

过B作BD垂直AC,则可求得BD=5（√3）,DC=3

根据勾股定理求得BC=2（√21）

设元O与边AB,BC,CA的切点分别为E,F,G,且AE=x,BE=y,CF=z,则有方程组：

x+y=10,x+z=8,y+z=2（√21）,

解这个方程组得：

x=9-（√21）

因此：

x的范围是（0，9-√21]

4、已知三角形ABE中C、D分别为AB、BE上的点，且AD=AE，三角形BCD为等边三角形，求证BC+DE=AC

证明:

过D点作BE的垂线DF,交AB于F点，过A点作BE的垂线AH,H是垂足，再过F点作AH的垂线FG,G是垂足。

则：

四边形DHGF是矩形，有FG=DH.

而由△ADE是等腰三角形得知DH=HE,

所以：

FG=（1/2）DE.

又由于角B=60°，

所以：

∠BAH=30°

所以：

FG=（1/2）AF

所以：

AF=DE

而在直角△BDF中，由于∠B=∠BDC=60°

所以：

∠CDF=∠CFD=30°

所以：

CF=CD=BC

所以：

BC+DE=CF+AF

即：

BC+DE=AC

5、已知在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC与F,求证AF=EF

证明：

如图，连接EC,取EC的中点G,AE的中点H，连接DG,HG

则：

GH=DG

所以：

角1=∠2，

而∠1=∠4，∠2=∠3=∠5

所以；∠4=∠5

所以：

AF=EF.

6、在△ABC中，D是BC边中点，O是AD上一点，BO,CO的延长线分别交AC,AB于E,F

求证：

EF平行BC。

证明：

分别过B,C两点作AD的平行线分别交CF,BE的延长线于M,N两点。

则：

四边形MBCN是平行四边形。

由MB‖AO‖CN,得：

OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.（相似三角形对应边成比例）

而BM=CN

所以：

OF/FM=OE/EN

所以：

MN‖EF

而MN‖BC

所以：

EF‖BC.

7、已知：

在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B',AC=A'C'.AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，且AD=A'D'.

求证：

△ABC≌△A'B'C'

证明：

分别过B,B'点作BE‖AC,B'E'‖A'C'.交AD,A'D'的延长线于E,E'点。

则：

△ADC≌△EDB,△A'D'C'≌△E'D'B'

所以：

AC=EB,A'C'=E'B'；AD=DE,A'D'=D'E'.

所以：

BE=B'E',AE=A'E'

所以：

△ABE≌△A'B'E'

所以：

角E=∠E'角BAD=角B'A'D'

所以：

角BAC=角B'A'C'

所以：

△ABC≌△A'B'C'

8、四边形ABCD为菱形，E,F为AB,BC的中点，EP⊥CD，∠BAD＝110º，求∠FPC的度数

解：

连接BD,交AC于O点，过A作CD的垂线，垂足为G,过O作BC的平行线交CD于H.

因为：

角DAB=110°，∠GAB=90°

所以：

∠DAG=20°。

由∠AOD=∠AGD=90°知AOGD四点共元，所以∠DOG=∠DAG=20°

由OH‖BC‖AD知：

∠HOC=∠DAC=（1/2）∠BAD=55°

所以：

∠GOH=90°-20°-55°=15°

而：

∠OHG=∠BCD=110°

所以：

∠OGH=180°-15°-110°=55°

由于：

不难证明∠FPC=∠OGH（过程略）

所以：

∠FPC=55°

9、已知：

E是正方形ABCD内的一点，且∠DAE=∠ADE=15°，

求证：

△EBC是等边三角形

证明：

过E点作AB的平行线EP,交BC于P点，交AD于Q点，以D为角顶点，DA为角的一边，向正方形ABCD内作∠ADF=30°，角的一边交EP于F点。

设DQ=√3，则：

FQ=1,DF=2,AD=2√3，PC=PB=AQ=√3,

由角平分线定理得：

QE/EF=QD/DF,

即：

QE/（1-QE）=（√3）/2

解得：

QE=2（√3）-3

所以：

PE=PQ-QE=2（√3）-[2（√3）-3]=3

在△EPC中由勾股定理得：

EC=√（PE²+PC²）=2√3

而：

BE=CE

所以:

BC=BE=CE=2√3

即：

△EBC是等边三角形。

10、在三角形ABC中,经过BC的中点M,有垂直相交于M的两条直线,它们与AB,AC分别交于D、E，求证，BD+CE＞DE

证明：

如图，延长EM到E',使E'M=ME,则：

DE=DE',

由△BE'M≌△CEM得：

CE=BE'

在△BE'D中，有BD+BE'>DE'

等量代换得：

BD+CE>DE

11、AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN把△MCN翻折，使点C落在AB上设其落点

（1）.如图一，当是AB的中点时，求证：

PA/PB=CM/CN

（2）.如图二当P不是AB中点时，结论PA/PB=CM/CN是否成立？

若成立，请给出证明

（1）、证明：

因为P是AB中点，

所以：

AP/PB=1,

因为：

P点是C点沿直线MN折叠的落点，

所以：

MN垂直平分PC,

所以：

CM=MP,

由AP=BP得∠ACP=∠BCP=45°

所以：

CM=MN

所以：

CM/CN=1

所以：

PA/PB=CM/CN

（2）、结论仍然成立。

证明：

过P点分别作AC,BC的垂线PE,PD.E,D是垂足。

过C作CF垂直AB,F是垂足。

则：

S△APC=（1/2）AC*PE=（1/2）AP*CF

S△BPC=（1/2）BC*PD=（1/2）BP*CF

而AC=BC

所以：

PE/PD=AP/BP

由∠MCN=∠MPN=90°知MCNP四点共元

所以：

∠PME=∠PND

所以：

RT△PEM∽RT△PDN

所以：

PE/PD=PM/PN

而PM=MC,PN=NC

所以：

PE/PD=MC/NC

所以：

AP/BP=MC/NC

12、三角形ABC中，BC=5，M和I分别是三角形ABC的重心和内心，若MI平行于BC,则AB+AC的值是多少？

解：

设内心到三边的距离为r，BC边上的高为AE=h,

如图。

因为MI‖BC,AM=2MD

所以：

h=3r

而：

S△ABC=（1/2）BC*h=（5/2）h=（15/2）r

S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACE=（1/2））r（AB+AC+5）

所以：

（15/2）r=（1/2））r（AB+AC+5）

解得：

AB+AC=10

13、已知圆O是三角形ABC的外接圆CD是AB边上的高，AE是圆O的直径。

求证：

AC*BC=AE*CD

证明：

以E为圆心，以BC长为半径画弧交元O于F点。

连接EF,FA.则：

EF=BC,∠AFE=90°

所以：

∠EAF=∠DAC（弦相等，弦所对的圆周角相等）

所以：

RT△ADC∽RT△EFA

所以：

AC/AE=CD/EF即AC*EF=AE*CD

而：

EF=BC

所以：

AC*BC=AE*CD

14、已知：

D.E位△ABC内的两点

求证：

AB+AC>BD+DE+EC

证明：

设直线DE交AB于F,交AC于G,则：

在△AFG中，有AF+AG>FD+DE+EG

在△BFD中，有BF+FD>BD

在△EGC中，有EG+GC>EC

所以：

三个不等式两边相加得AF+AG+BF+FD+EG+GC>FD+DE+EG+BD+EC

即：

AB+AC>DE+BD+EC

15、在三角形ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点O,BO与OD的长度有什么关系?

BC边上的中线是否一定过点O？

为什么？

答：

BO=2DO,BC边上的中线过O点。

证明：

连接AO,设M,N分别是BO,CO的中点，连接EM,DN,则：

EM平行并等于AO的一半，DN平行并等于AO的一半

所以：

EM平行并等于DN

所以：

四边形EMND是平行四边形

所以：

MO=OD

所以：

BM=MO=OD

所以：

BO=2DO

延长AO交BC于G,延长DN交BC于H,延长EM交BC于Q,则：

由AG‖EQ‖DH,BM=MO=OD得知BQ=QG=GH=HC

所以；BG=GC

所以；BC边上的中线过O点。

16、在△ABC中，AB,BE是△ABC的高，交于点H，边BC,AC的垂直平分线FO,GO相交于点O

求证：

OF=1/2AH,OG=1/2BH

证明：

连接CO并延长交△ABC的外接圆于M点。

则：

OC是元的直径。

OF=（1/2）BM,

∠MBC=∠MAC=∠ADB=∠BEA=90°

所以：

BM‖AD,AM‖BE

所以：

四边形MBHA是平行四边形

所以：

BM=AH

所以：

OF=（1/2）AH.

同理可证：

OG=（1/2）BH.

17、三角形中线分别为91215求三角形面积

解：

过F点作AE的平行线，交DC于H点，

则：

FH=（1/2）AM=5,MH=3,（三角形中位线定理，三中线交点分中线性质）

而：

MF=4

所以：

三角形FMH是直角三角形，即BM⊥DC.

所以：

S△BCD=（1/2）*9*8=36,

所以：

S△ADC=S△BCD=36（同高等底的两个三角形面积相等）

所以：

S△ABC=72

18、在△ABC中∠A=90°，AD⊥BC于D，M是AD的中点，延长BM交AC于E，过E作EF⊥BC于F。

求证：

EF²=AE*CE

证明：

如图，延长BA,FE交于N.

因为：

AD‖FN

所以：

AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE

所以：

AM/NE=MD/EF

而：

AM=DM

所以：

NE=EF

由于：

角NAC=∠NFC=90°

所以：

AFCN四点共圆

所以：

AE*EC=EF*EN

所以：

EF^2=AE*EC

19、已知E为平行四边形ABCD的边BC上的任一点，DE延长线交AB延长线与F，求证S△ABE=S△CEF。

证明:

分别过C,E两点作AB的垂线CH,EG,H,G是垂足。

设BE=m,EC=n

由△BFE∽△CDE得：

BF/CD=m/n.即BF/（BF+CD）=m/（m+n）

也就是BF/AF=m/（m+n）（因为AB=CD，有AF=BF+CD）

由RT△BEG∽RT△BCH得：

HC/GE=（m+n）/m

所以：

（BF/CD）*（HC/GE）=1

而：

S△AFE=（1/2）AF*GE

S△BFC=（1/2）BF*CH

所以：

S△BFC/S△AFE=BF*HC/AF*GE=1

所以：

S△BFC=S△AFE

两边同时减去S△BFE得：

S△ABE=S△CEF。

20、等腰直角三角形，角A为90°，D，E两点为斜边上的动点，角DAE=45°，当D合B重合或E和C重合时，线段DE的长度等于BD+EC

当不重合时，DE

证明：

不重合时。

以A点为顶点，AC为一边向△ABC的外侧作∠CAB'，使∠CAB'=∠DAB.截取AB'=AD.

又因为：

AC=AB.

所以：

△CAB'≌△BAD

所以：

B'C=DB

因为:

∠BAC=90°，∠DAE=45°。

所以：

∠BAD+∠CAE=45°。

所以：

∠B'AE=∠B'AC+∠CAE=45°=∠EAD.

又AD=AB',AE=AE

所以：

△B'AE≌△DAE

所以:

DE=EB'

在△ECB'中，有EB'

而EB'=DE,CB'=BD

所以：

DE

重合时，证明（略）

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