高中立体几何题目整理.docx

1、高中立体几何题目整理如图，底面ABC为正三角形，EA平面ABC，DC平面ABC，EA=AB=2DC=2a，设F为EB的中点。 （1）求证：DF平面ABC；（2）求直线AD与平面AEB所成角的正弦值。解：（1）如图，过F作FHEA交AB于H，连接HC， EA平面ABC，DC平面ABC， EADC又FHEAFHDC而F是EB的中点，FH=AE=DC四边形CDFH是平行四边形DFHC又HC平面ABC，DF平面ABC， DF平面ABC；（2）ABC为正三角形，H为AB中点，CHABEA平面ABC，CH面ABC，CHEA又EAAB =A，EA、AB平面EAB， CH平面EABDFCH，DF平面EABAF

2、为DA在平面EAB上的射影，则DAF为直线AD与平面AEB所成角，在RtAFD中，所以直线AD与平面AEB所成角的正弦值为。如图甲，O的直径AB2，圆上两点C、D在直径AB的两侧，且CAB，DAB.沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙)，F为BC的中点，E为AO的中点根据图乙解答下列各题：(1)求三棱锥CBOD的体积；(2)求证：CBDE；(3)在上是否存在一点G，使得FG平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由（1）（2）见解析（3）G为的中点【解析】(1)C为圆周上一点，且AB为直径，C，CAB，ACBC，O为AB的中点，COAB，AB2，CO1.两个半圆

3、所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，CO平面ABD，CO平面BOD. CO就是点C到平面BOD的距离，SBODSABD1，VCBODSBODCO1.(2)证明：在AOD中，OAD，OAOD，AOD为正三角形，又E为OA的中点，DEAO，两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，DE平面ABC.又CB平面ABC，CBDE.(3)存在满足题意的点G，G为的中点证明如下：连接OG，OF，FG，易知OGBD，AB为O的直径，ADBD，OGAD，OG平面ACD，AD平面ACD，OG平面ACD.在ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，OFAC，OF平面ACD，OGOFO，平

4、面OFG平面ACD.又FG平面OFG，FG平面ACD.如右图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 试题分析：观察三视图可知，该几何体是一个斜四棱柱，底面为边长为3的正方形，高为，所以几何体体积为。考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算。点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。特别注意三视图中“虚线”是被遮住的棱。 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为梯形，ABDC，ABC=CAD=90，且PA=AB=BC，点E是棱PB上的动点（）当PD平面EAC时，确定点

5、E在棱PB上的位置；（）在（）的条件下，求二面角ACEP余弦值解：（）在梯形ABCD中，由ABBC，AB=BC，得BAC=，DCA=BAC=又ACAD，故DAC为等腰直角三角形DC=AC=（AB）=2AB连接BD，交AC于点M，则PD平面EAC，又平面EAC平面PDB=ME，PDEM在BPD中，即PE=2EB时，PD平面EAC（）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，如图1建立空间直角坐标系设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，）设，为平面EAC的一个法向量，则，解得x=，y=，=（，1）设=（，1）为平面PBC的一

6、个法向量，则，又=（a，0，0），=（0，a，a），解得x=0，y=1，=（0，1，1）cos，二面角ACEP的余弦值为如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,PCAD.底面ABCD为梯形,ABDC,ABBC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.(1)求证:平面PAB平面PCB;(2)求证:PD平面EAC;(3)求二面角A-EC-P的大小.(1)证明:PA底面ABCD,PABC.又ABBC,PAAB=A,BC平面PAB.又BC 平面PCB,平面PAB平面PCB.(2)证法一:PA底面ABCD,AC为PC在平面ABCD内的射影.又PCAD,ACAD.在梯形ABCD中,由ABBC

7、,AB=BC,得BAC=,DCA=BAC=.又ACAD,故DAC为等腰直角三角形.DC=2AC=2(2AB)=2AB.连结BD,交AC于点M,则=2.在BPD中,=2,PDEM.又PD平面EAC,EM平面EAC,PD平面EAC.证法二:建立空间直角坐标系Axyz,如图,设PA=AB=BC=a,则A(0,0,0),B(0,a,0),C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,).设D(a,y,0),则=(-a,-a,a),=(a,y,0).CPAD,=-a2-ay=0,解得y=-a.DC=2AB.连结BD,交AC于点M,则=2.在BPD中,=2,PDEM.又PD平面EAC,EM平面EAC,PD平

8、面EAC.(3)解法一:在等腰RtPAB中,取PB中点N,连结AN,则ANPB.平面PAB平面PCB,且平面PAB平面PCB=PB,AN平面PBC.在平面PBC内,过N作NH直线CE于H,连结AH,由于NH是AH在平面CEB内的射影,故AHCE.AHN就是二面角ACEP的平面角.在RtPBC中,设CB=a,则PB=a,BE=PB=a,NE=PB=a,CE=a.由NHCE,EBCB可知:NEHCEB,.代入解得NH=.在RtAHN中,AN=a,tanAHN=,即二面角ACEP的大小为arctan.解法二:设n1=(x,y,1)为平面EAC的一个法向量,则n1AC,n1AE,解得x=,y=,n1=(,1).设n2=(x,y,1)为平面EBC的一个法向量,则n2,n2.又=(a,0,0),=(0,),解得x=0,y=1.n2=(0,1,1).cosn1,n2=.二面角A-CE-P的大小为arccos.