高中立体几何题目整理.docx

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高中立体几何题目整理

如图，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA=AB=2DC=2a，设F为EB的中点。

（1）求证：

DF∥平面ABC；

（2）求直线AD与平面AEB所成角的正弦值。

解：

（1）如图，过F作FH∥EA交AB于H，连接HC，

∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，

∴EA∥DC

又∵FH∥EA

∴FH∥DC

而F是EB的中点，

∴FH=

AE=DC

∴四边形CDFH是平行四边形

∴DF∥HC

又HC

平面ABC，DF

平面ABC，

∴DF∥平面ABC；

（2）△ABC为正三角形，H为AB中点，

∴CH⊥AB

∵EA⊥平面ABC，CH

面ABC，

∴CH⊥EA

又∵EA∩AB=A，EA、AB

平面EAB，

∴CH⊥平面EAB

∵DF∥CH，

∴DF⊥平面EAB

∴AF为DA在平面EAB上的射影，则∠DAF为直线AD与平面AEB所成角，

在Rt△AFD中，

，

所以直线AD与平面AEB所成角的正弦值为

。

如图甲，⊙O的直径AB＝2，圆上两点C、D在直径AB的两侧，且∠CAB＝

，∠DAB＝

.沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求三棱锥C－BOD的体积；

（2）求证：

CB⊥DE；

（3）在

上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？

若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

（1）

（2）见解析（3）G为

的中点

【解析】

（1）∵C为圆周上一点，且AB为直径，∴∠C＝

，

∵∠CAB＝

，∴AC＝BC，

∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，

∵AB＝2，∴CO＝1.

∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，

∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD.

∴CO就是点C到平面BOD的距离，

S△BOD＝

S△ABD＝

×

×1×

＝

，

∴VC－BOD＝

S△BOD·CO＝

×

×1＝

.

（2）证明：

在△AOD中，∵∠OAD＝

，OA＝OD，

∴△AOD为正三角形，

又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO，

∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，

∴DE⊥平面ABC.

又CB⊂平面ABC，∴CB⊥DE.

（3）存在满足题意的点G，G为

的中点．证明如下：

连接OG，OF，FG，

易知OG⊥BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴AD⊥BD，

∴OG∥AD，

∵OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，

∴OG∥平面ACD.

在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，

∴OF∥AC，

∴OF∥平面ACD，

∵OG∩OF＝O，

∴平面OFG∥平面ACD.

又FG⊂平面OFG，∴FG∥平面ACD.

如右图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

试题分析：

观察三视图可知，该几何体是一个斜四棱柱，底面为边长为3的正方形，高为，所以几何体体积为。

考点：

本题主要考查三视图，几何体的体积计算。

点评：

基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。

特别注意三视图中“虚线”是被遮住的棱。

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=∠CAD=90°，

且PA=AB=BC，点E是棱PB上的动点．

（Ⅰ）当PD∥平面EAC时，确定点E在棱PB上的位置；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A﹣CE﹣P余弦值．

解：

（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，

∴∠DCA=∠BAC=．又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．

∴DC=AC=（AB）=2AB．

连接BD，交AC于点M，则

∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM

在△BPD中，，

即PE=2EB时，PD∥平面EAC

（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，

如图1建立空间直角坐标系．

设PA=AB=BC=a，

则A（0，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，，）．

设，为平面EAC的一个法向量，

则⊥，⊥，

∴，解得x=，y=﹣，

∴=（，﹣，1）．

设=（，，1）为平面PBC的一个法向量，

则⊥，⊥，

又=（a，0，0），=（0，﹣a，a），

∴，解得x'=0，y'=1，

∴=（0，1，1）．∴cos，＞

∴二面角A﹣CE﹣P的余弦值为

．

如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD.底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.

（1）求证:

平面PAB⊥平面PCB;

（2）求证:

PD∥平面EAC;

（3）求二面角A-EC-P的大小.

（1）证明:

∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.又BC平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.

（2）证法一:

∵PA⊥底面ABCD,∴AC为PC在平面ABCD内的射影.又∵PC⊥AD,∴AC⊥AD.

在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=,∴∠DCA=∠BAC=.

又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形.∴DC=2AC=2（2AB）=2AB.

连结BD,交AC于点M,则=2.

在△BPD中,=2,∴PD∥EM.

又PD平面EAC,EM平面EAC,∴PD∥平面EAC.

证法二:

建立空间直角坐标系A—xyz,如图,

设PA=AB=BC=a,则A（0,0,0）,B（0,a,0）,C（a,a,0）,P（0,0,a）,E（0,,）.

设D（a,y,0）,则=（-a,-a,a）,=（a,y,0）.∵CP⊥AD,∴·=-a2-ay=0,

解得y=-a.∴DC=2AB.连结BD,交AC于点M,则=2.

在△BPD中,=2,∴PD∥EM.

又PD平面EAC,EM平面EAC,∴PD∥平面EAC.

（3）解法一:

在等腰Rt△PAB中,取PB中点N,连结AN,

则AN⊥PB.∵平面PAB⊥平面PCB,且平面PAB∩平面PCB=PB,∴AN⊥平面PBC.

在平面PBC内,过N作NH⊥直线CE于H,连结AH,由于NH是AH在平面CEB内的射影,故AH⊥CE.

∴∠AHN就是二面角ACEP的平面角.

在Rt△PBC中,设CB=a,则PB==a,BE=PB=a,

NE=PB=a,CE==a.

由NH⊥CE,EB⊥CB可知:

△NEH∽△CEB,∴.代入解得NH=.

在Rt△AHN中,AN=a,∴tan∠AHN==,

即二面角ACEP的大小为arctan.

解法二:

设n1=（x,y,1）为平面EAC的一个法向量,则n1⊥AC,n1⊥AE,∴

解得x=,y=,∴n1=（,,1）.

设n2=（x′,y′,1）为平面EBC的一个法向量,则n2⊥,n2⊥.

又=（a,0,0）,=（0,,）,∴

解得x′=0,y′=1.∴n2=（0,1,1）.cos〈n1,n2〉==.

∴二面角A-CE-P的大小为arccos.