高中立体几何题目整理.docx
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高中立体几何题目整理
如图,底面ABC为正三角形,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,EA=AB=2DC=2a,设F为EB的中点。
(1)求证:
DF∥平面ABC;
(2)求直线AD与平面AEB所成角的正弦值。
解:
(1)如图,过F作FH∥EA交AB于H,连接HC,
∵EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,
∴EA∥DC
又∵FH∥EA
∴FH∥DC
而F是EB的中点,
∴FH=
AE=DC
∴四边形CDFH是平行四边形
∴DF∥HC
又HC
平面ABC,DF
平面ABC,
∴DF∥平面ABC;
(2)△ABC为正三角形,H为AB中点,
∴CH⊥AB
∵EA⊥平面ABC,CH
面ABC,
∴CH⊥EA
又∵EA∩AB=A,EA、AB
平面EAB,
∴CH⊥平面EAB
∵DF∥CH,
∴DF⊥平面EAB
∴AF为DA在平面EAB上的射影,则∠DAF为直线AD与平面AEB所成角,
在Rt△AFD中,
,
所以直线AD与平面AEB所成角的正弦值为
。
如图甲,⊙O的直径AB=2,圆上两点C、D在直径AB的两侧,且∠CAB=
,∠DAB=
.沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E为AO的中点.根据图乙解答下列各题:
(1)求三棱锥C-BOD的体积;
(2)求证:
CB⊥DE;
(3)在
上是否存在一点G,使得FG∥平面ACD?
若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由.
(1)
(2)见解析(3)G为
的中点
【解析】
(1)∵C为圆周上一点,且AB为直径,∴∠C=
,
∵∠CAB=
,∴AC=BC,
∵O为AB的中点,∴CO⊥AB,
∵AB=2,∴CO=1.
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB,
∴CO⊥平面ABD,∴CO⊥平面BOD.
∴CO就是点C到平面BOD的距离,
S△BOD=
S△ABD=
×
×1×
=
,
∴VC-BOD=
S△BOD·CO=
×
×1=
.
(2)证明:
在△AOD中,∵∠OAD=
,OA=OD,
∴△AOD为正三角形,
又∵E为OA的中点,∴DE⊥AO,
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB,
∴DE⊥平面ABC.
又CB⊂平面ABC,∴CB⊥DE.
(3)存在满足题意的点G,G为
的中点.证明如下:
连接OG,OF,FG,
易知OG⊥BD,
∵AB为⊙O的直径,
∴AD⊥BD,
∴OG∥AD,
∵OG⊄平面ACD,AD⊂平面ACD,
∴OG∥平面ACD.
在△ABC中,O,F分别为AB,BC的中点,
∴OF∥AC,
∴OF∥平面ACD,
∵OG∩OF=O,
∴平面OFG∥平面ACD.
又FG⊂平面OFG,∴FG∥平面ACD.
如右图,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为
试题分析:
观察三视图可知,该几何体是一个斜四棱柱,底面为边长为3的正方形,高为,所以几何体体积为。
考点:
本题主要考查三视图,几何体的体积计算。
点评:
基础题,三视图是高考必考题目,因此,要明确三视图视图规则,准确地还原几何体,明确几何体的特征,以便进一步解题。
特别注意三视图中“虚线”是被遮住的棱。
如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,
且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.
(Ⅰ)当PD∥平面EAC时,确定点E在棱PB上的位置;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角A﹣CE﹣P余弦值.
解:
(Ⅰ)在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=,
∴∠DCA=∠BAC=.又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形.
∴DC=AC=(AB)=2AB.
连接BD,交AC于点M,则
∵PD∥平面EAC,又平面EAC∩平面PDB=ME,∴PD∥EM
在△BPD中,,
即PE=2EB时,PD∥平面EAC
(Ⅱ)以A为原点,AB,AP所在直线分别为y轴、z轴,
如图1建立空间直角坐标系.
设PA=AB=BC=a,
则A(0,0,0),B(0,a,0),C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,,).
设,为平面EAC的一个法向量,
则⊥,⊥,
∴,解得x=,y=﹣,
∴=(,﹣,1).
设=(,,1)为平面PBC的一个法向量,
则⊥,⊥,
又=(a,0,0),=(0,﹣a,a),
∴,解得x'=0,y'=1,
∴=(0,1,1).∴cos,>
∴二面角A﹣CE﹣P的余弦值为
.
如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD.底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.
(1)求证:
平面PAB⊥平面PCB;
(2)求证:
PD∥平面EAC;
(3)求二面角A-EC-P的大小.
(1)证明:
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.又BC平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.
(2)证法一:
∵PA⊥底面ABCD,∴AC为PC在平面ABCD内的射影.又∵PC⊥AD,∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=,∴∠DCA=∠BAC=.
又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形.∴DC=2AC=2(2AB)=2AB.
连结BD,交AC于点M,则=2.
在△BPD中,=2,∴PD∥EM.
又PD平面EAC,EM平面EAC,∴PD∥平面EAC.
证法二:
建立空间直角坐标系A—xyz,如图,
设PA=AB=BC=a,则A(0,0,0),B(0,a,0),C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,,).
设D(a,y,0),则=(-a,-a,a),=(a,y,0).∵CP⊥AD,∴·=-a2-ay=0,
解得y=-a.∴DC=2AB.连结BD,交AC于点M,则=2.
在△BPD中,=2,∴PD∥EM.
又PD平面EAC,EM平面EAC,∴PD∥平面EAC.
(3)解法一:
在等腰Rt△PAB中,取PB中点N,连结AN,
则AN⊥PB.∵平面PAB⊥平面PCB,且平面PAB∩平面PCB=PB,∴AN⊥平面PBC.
在平面PBC内,过N作NH⊥直线CE于H,连结AH,由于NH是AH在平面CEB内的射影,故AH⊥CE.
∴∠AHN就是二面角ACEP的平面角.
在Rt△PBC中,设CB=a,则PB==a,BE=PB=a,
NE=PB=a,CE==a.
由NH⊥CE,EB⊥CB可知:
△NEH∽△CEB,∴.代入解得NH=.
在Rt△AHN中,AN=a,∴tan∠AHN==,
即二面角ACEP的大小为arctan.
解法二:
设n1=(x,y,1)为平面EAC的一个法向量,则n1⊥AC,n1⊥AE,∴
解得x=,y=,∴n1=(,,1).
设n2=(x′,y′,1)为平面EBC的一个法向量,则n2⊥,n2⊥.
又=(a,0,0),=(0,,),∴
解得x′=0,y′=1.∴n2=(0,1,1).cos〈n1,n2〉==.
∴二面角A-CE-P的大小为arccos.