1、第五章投资组合理论与应用第五章 投资组合理论与应用第一节 投资组合的收益与风险一、 投资组合的收益1、 举例:a.(1)证券(2)数量(股)(3)单价(4)总价(5)预期期末价格(6)预期期末总值A100404,000424,200B200357,000408,000C100626,200707,000合计17,20019,200投资组合的预期收益率=19200/17200-1=11.63%b.(1)证券(2)总价(3)占总价比例(2)/17200(4)单价(5)预期期末价格(6)预期持有收益率%(7)对组合预期持有收益率的贡献%A4,0000.2325404251.16B7,0000.407
2、0354014.295.82C6,2000.3605627012.94.65合计17,2001.000011.632、 结论一个组合的预期收益率是单个证券预期收益率的加权平均数,所用权数是市场价值份额。即 二、 投资组合的风险。1、 举例。假设两种证券A和B。XA=0.6,XB=0.4a.收益(1)事件(2)概率(3)A证券收益率(4)B证券收益率%(5)组合收益0.6(3)+ 0.4(4)a0.105%-1%2.6%b0.407%6%6.6%c0.30-4%2%-1.6%d0.2015%20%17%b.方差AB组合预期收益率收益率方差标准差5.1%45.896.7742%6.9%48.096
3、.9247%5.82%42.79566.5418%很明显,组合的方差不等于各证券方差的加权平均。本题中,组合的方差小于A和B两个证券中的任何一个。为什么会这样呢?因为组合的风险不仅依赖于单个证券的风险,也依赖单个证券间受某一共同因素的影响程度。例如,两个证券正相关时,如XA=60% XB=40%(1)事件(2)概率(3)A证券收益率(4)B证券收益率%(5)组合收益0.6(3)+ 0.4(4)a0.105%5%5%b0.407%7%7%c0.306%6%6%d0.20-2%-2%-2%预期收益率4.7%4.7%4.7%方差11.6111.6111.61标准差3.413.413.41又比如XA=
4、60% XB=40%(1)事件(2)概率(3)A证券收益率(4)B证券收益率%(5)组合收益0.6(3)+ 0.4(4)a0.105%2.5%4.0%b0.407%-0.5%4.0%c0.306%1.0%4.0%d0.20-2%13%4.0%预期收益率4.7%2.95%4.0%方差11.6126.120标准差3.415.1102、 结论两种证券的组合的风险多种证券的组合的风险第二节 证券相关程度与投资组合风险一、 收益完全正相关假设有两种股票A和B,其相关系数为1,并且SA=2%,SB=4%,XA=50%,XB=50%,则组合方差为因此,有下图 Ep EP=a+bSP Sp结论:如果两种证券收
5、益完全正相关,那么组合的收益与风险都是加权平均数,权数都是投资份额。因此,无法通过组合使得组合投资的风险比最小的那个证券还低。二、 完全不相关对于两种证券而言,结论是可以降低风险。例如,假设有两种股票A和B,其相关系数为0,并且SA=2%,SB=4%,XA=50%,XB=50%,则组合方差为但2.24%大于2%,即组合风险还高于单个证券风险最低的那个证券风险。但如果将第一种证券的投资比例增加到90%时,此时组合的风险比任何单个证券的风险都低。三、 完全负相关对于两种证券而言,结论是可以降低风险,并且可以完全回避风险。例如,假设有两种股票A和B,其相关系数为-1,并且SA=2%,SB=4%,XA
6、=50%,XB=50%,则组合方差为四、 总结1、 投资组合收益与单个资产收益间的相关性无关,而风险与单个证券收益间的相关性有非常大的关系;2、 单个证券间的收益完全正相关时,投资组合的收益无法低于单个证券风险最低的那个;3、 单个证券间的收益完全无关时,投资组合可以降低风险。通常随着风险低的资产的投资比例增加,投资组合的风险不断下降。4、 单个证券间的收益完全负相关时,投资组合的风险可以大大降低风险,甚至可以完全回避风险。 第三节 有效边界一、马克威茨模型(Markowitz Model)。(一) 假定马克威茨模型有七个假定,分别是:(1)投资者遵循效用最大化原则;(2)投资期为一个,即投资
7、者考虑的是单期投资而不是多期投资;(3)投资者都是风险回避者,即在收益相等的条件下,投资者选择风险最低的那个投资机会;(4)投资者根据均值、方差以及斜方差来选择最佳投资组合;(5)证券市场是完善的,无交易成本,而且证券可以无限细分;(6)资金全部用于投资,但不允许卖空;(7)证券间的相关系数都不是1,不存在无风险证券,而且至少有两个证券的预期收益是不同的。(二)图形将每个证券的预期收益、标准差以及由单个证券所能构成的全部组合的预期收益、标准差画在以标准差为横轴、以预期收益为纵轴的坐标中,就会生成投资机会集,其基本形状如图1所示 F D C T E B 图 1投资机会集与效率边界在图1中,在图形
8、BECF范围内,包括了全部单个证券与全部组合的风险与收益的坐标点。投资集左边界BF一段,为最小方差边界。所谓最小方差边界,就是在相同预期收益的条件下,由投资风险(方差或标准差)最低的投资机会所组成的曲线。BF 一段的下半部BE一段,为无效率边界,因为在这一段,预期收益越高,风险越低,投资者只会选择这一段的最高点,因为在最高点E上,投资的预期收益最高,而风险却是最低的。BF的上半部即EF一段为效率边界,它包括全部有效的投资组合。有效的投资组合的定义为,在相同风险情况下预期收益最大的组合,或者在相同收益的情况下风险最低的组合。(三)图形的解释与斜方差效应效率边界是凸向纵轴的,与效用无差异曲线的形状
9、正好相反。为什么效率边界凸向纵轴呢?这是由于斜方差效应(covariance effect),即组合收益与风险曲线是向左弯曲的。斜方差效应的产生是因为在增加组合收益时,会有越来越多的证券被排斥在组合之外,因为这些证券所提供的预期收益无法满足组合收益的要求,而组合的风险因组合证券越来越少而增加得更快。 为了解释斜方差效应, 我们举一个简单的例子。假设有两个证券A和B。A的预期收益率为=5%,B的预期收益率为=15%;A的标准差=20%,B的标准差=40%。当一个投资组合由证券A、B来构成,并且A占2/3,B占1/3。那么,该投资组合的预期收益为8.3%,即该组合的风险为由于所以将A和B证券的风险
10、与投资比例代入上式,则 尽管该投资组合的预期收益率是固定的8.3%,但组合的风险却是不确定的,因为组合收益的标准差与A、B两个证券的相关系数有很大的关系。当A和B是完全正相关时,即=+1时,组合的标准差=26.7%;当A和B是完全独立时,即=0时,组合的标准差=18.7%;当A和B是完全负相关时,即=-1时,组合的标准差=0。相关系数与组合收益标准差之间的关系可以用图2来描述。从图2中可以看出,组合收益与风险的坐标点不会超出直线AB的右边。 = -1 15% B 10% = 0 8.3% = +1 5% A 0 20% 40% 图2 斜方差效应的阐释现在我们再回过头来分析效率边界。效率边界是凹
11、性的。效率边界之所以是凹性的,是因为凸性不存在。在图1中,可以假设在效率边界上的任意两点D和T,由于这两点在效率边界上,因此这两点都是有效组合。D和T两个组合又可以构成第三个组合。D和T两个组合的收益将决定第三个组合的收益,而D和T两个组合的风险以及二者的斜方差决定了第三个组合的风险。由于存在着斜方差效应,因此凸性是不存在的,最差的情况是D和T两个组合的相关系数为1,此时第三个组合将落在DT线上,因此在凸性范围内的组合都不是有效组合,因为在收益一定时,新组合的风险不是最低的。如果D和T两个组合的相关系数小于1,第三个组合将位于一条弯向左方的曲线上。在图1中,E点为BF线的顶点,为全球最低方差组
12、合(the global minimum variance portfolio),因为没有别的组合的方差比E点组合的方差更低。F点被称为最大收益组合(the maximum return portfolio),因为没有别的组合的收益比F点组合的收益还高。F点的组合通常只包含一种证券,该证券在全部证券中预期收益最高。有时,F组合也会包含多个证券,此时这些证券都有最高的预期收益。B点与F点相反,为最低收益组合。B组合也通常包含一种证券,该证券的预期收益最低。当有多种证券的预期收益同时最低时,B组合也就包括这些证券。极端组合(corner portfolio)为在收益相同的条件下,风险最低的那个组合
13、。理解了极端组合,也就可以构建全部的效率边界。(四)无差异曲线与效率边界对于风险回避的投资者而言,其效用的无差异曲线是凸性的。而前面已经论证了效率边界是凹性的。基于这些特点,产生了效率边界定理。效率边界定理是指,风险回避者的最佳组合一定位于效率边界上。由于无差异曲线代表了投资者获得效用的情况,而给投资者带来最大效用的就是最左上方的效用曲线;而效率边界是凸向纵轴的,即凸向左上方,因此能够与最左上方效用曲线相切的效率边界的点,一定是给投资者带来最大效用的组合。见图3 F O E 图3 效率边界与效用曲线 在上图中,优于。投资者为获得的效用,他可以有多种投资机会。但投资给投资者带来的效用比投资高。与效率边界相切于O点,O组合就成为给投资者带来最大效用的投资机会。第四节 托宾的资产组合理论托宾在1958年发表了“投资组合选择原理”(The Theory of Portfolio Selection)一文,并在同年发表了“风险条件下的流动偏好行为”(Liquidity Preference as Behavior towards Risk),从而建立了资产组合的“托宾模型”。前面已经阐述了马克威茨模型,该模型的假设条件之一就是全部证券都存在风险,而托宾模型取消了这一假设,从而发展了资产组合理论。托宾模型继承了马克威茨的非负投资假设,即风险资产不允许卖空,但无风险资产可以按一定的
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