第13章等腰三角形华东师大版八年级数学上册复习讲义.docx

1、第13章等腰三角形华东师大版八年级数学上册复习讲义等腰三角形【知识梳理】一、等腰三角形1等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底 的等腰三角形和_三角形2等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)； (3)等腰三角形是轴对称图形3等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)二、等边三角形的性质与判定1等边三角形的性质 (1)等边三角形的内角

2、相等，且都等于_；(2)等边三角形的三条边都_2等边三角形的判定 (1)_相等的三角形是等边三角形； (2)_相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为_的等腰三角形是等边三角形三、线段的垂直平分线1概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫_2性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_3判定：到一条线段的两个端点_的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合四、角的平分线1性质：角平分线上的点到角的两边的距离_2判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的_上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合五

3、、含30的直角三角形 直角三角形中30所对的边是斜边的一半板块一、等腰三角形的性质与判定例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为( D ) A60 B120 C60或150 D60或120例2、如图，在ABC中，D在BC上，且ABACBD，130，求2的度数.解：AB=AC=BD，B=C，2=3设2=x=BAD，B=C=180-2x，由三角形外角的性质得2=1+C，即x=30+（180-2x）解得x=70，则2=70例3、已知：如图，ABC中，ACB45，ADBC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，BADFCD求证：（1）ABDCFD；（2）BEAC证明：

4、(1) ADBC， ADCFDB90. ， ADCD ， ABDCFD (2)ABDCFD BDFD. FDB90， . ， . BEAC 例4、如右图，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于O，ACBD. 求证：(1)BCAD； (2)OAB是等腰三角形证明：（1）AC BC ，BD ADD= C=90在RtACB和Rt BDA中，AB= BA，AC=BD ，ACBBDA（HL）BC=AD；（2）由ACBBDA 得C AB=D BAOAB是等腰三角形板块二、等边三角形的性质与判定例1、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形，BE交AC于F，AD交CE于H.（1）求证：BCEA

5、CD；（2）求证：FHBD.（1）证明：和都是等边三角形BCAC，CECD，BCAECD60BCA+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD在BCE和ACD中 BCEACD（SAS）（2）由（1）知BCEACD则CBF=CAH，BC=AC又和都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，ACH=180-ACB-HCD=60=BCF，在BCF和ACH中 BCFACH（ASA）CF=CH，又FCH60CHF是等边三角形FHCHCD=60，FHBD例2、已知：如右图，延长ABC的各边，使得BFAC，AECDAB，顺次连接D，E，F，得到DEF为等边 三角形求证：(1)AEFCDE； (2)ABC为等

6、边三角形证明：（1）BF=AC，AB=AE，FA=EC，DEF是等边三角形，EF=DE，又AE=CD（已知），AEFCDE（SSS）；（2）由AEFCDE，得FEA=EDC，BCA=EDC+DEC=FEA+DEC=DEF，DEF是等边三角形，DEF=60，BCA=60，同理可得BAC=60，ABC中，AB=BC，ABC是等边三角形。板块三、线段的垂直平分线和角平分线例1、如图所示，BAC105，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC则PAQ的度数为 30 例2、如右图，ABC的周长为30 cm，把ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE4 cm，

7、则ABD的周长是(A) A22 cm B20 cm C18 cm D15 cm例3、如右图，在RtABC中，C90，CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求B的度数解：在直角ABC中，C=90，CAB的平分线AD交BC于D，DAE=CAB=（90-B），DE垂直平分AB，AD=BD，DAE=B，DAE=CAB=（90-B）=B，3B=90，B=30例4如图，AD为ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O（1）求证：3=B； （2）连接OD，求证：B+ODB=180证明：（1）AD为ABC的角平分线，1=2，AD的中垂线交AB于点E、BC的

8、延长线于点F，AF=DF，4=DAF=2+3，4=1+B，3=B；（2）EF是AD的中垂线，OA=OD，2=ODA，4=DAF，3=ODF，3=B，ODF=B，ODAB，B+ODB=180例5、如图，OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论解：DFEF理由如下：OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，PDPE，由HL定理易证OPDOPE，OPDOPE，DPFEPF在DPF与EPF中，DPFEPF，DFEF.板块四、含30的直角三角形例1、如图，

9、E是AOB的平分线上一点，ECOB，EDOA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若AOB=60（1）求证：OCD是等边三角形； （2）若EF=5，求线段OE的长.解：（1）点E是AOB的平分线上一点，ECOB，EDOA，C、D是垂足， DE=CE，在RtODE和RtOCE中， RtODERtOCE（LH）OD=OC，AOB=60，OCD是等边三角形； （2）OCD是等边三角形，OF是角平分线，OEDC，AOB=60，AOE=BOE=30，ODF=60，EDOA，EDF=30，DE=2EF=10，OE=2DE=20.例2、如图所示，A60，CEAB于E，BDAC于D，BD与CE相交于点H，HD1，HE2，试求BD和CE的长解：BDAC于D，A60，ABD906030，在RtBEH中，HEB90，EBH30BH2EH4同理可得，CH2HD2，BDBHHD415CECHHE224