第13章等腰三角形华东师大版八年级数学上册复习讲义.docx

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第13章等腰三角形华东师大版八年级数学上册复习讲义

等腰三角形

【知识梳理】

一、等腰三角形

1．等腰三角形的有关概念及分类

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底的等腰三角形和______三角形．

2．等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）；

（3）等腰三角形是轴对称图形．

3．等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）．

二、等边三角形的性质与判定

1．等边三角形的性质

（1）等边三角形的内角相等，且都等于________；

（2）等边三角形的三条边都________．

2．等边三角形的判定

（1）________相等的三角形是等边三角形；

（2）________相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．

三、线段的垂直平分线

1．概念：

经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________．

2．性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．

3．判定：

到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．

四、角的平分线

1．性质：

角平分线上的点到角的两边的距离________．

2．判定：

角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．

五、含30°的直角三角形直角三角形中30°所对的边是斜边的一半

板块一、等腰三角形的性质与判定

例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（D）．

A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°

例2、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

解：

AB=AC=BD，

∴∠B=∠C，∠2=∠3．

设∠2=x°=∠BAD，

∠B=∠C=180°-2x，

由三角形外角的性质得∠2=∠1+∠C，

即x=30°+（180°-2x）

解得x=70°，

则∠2=70°．

例3、已知：

如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．求证：

（1）△ABD≌△CFD；

（2）BE⊥AC．

证明：

（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠FDB＝90°.

∵

，

∴

∴AD＝CD

∵

，

∴△ABD≌△CFD

（2）∵△ABD≌△CFD

∴BD＝FD.

∵∠FDB＝90°，

∴

.

∵

，

∴

.

∴BE⊥AC．

例4、如右图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.

求证：

（1）BC＝AD；

（2）△OAB是等腰三角形．

证明：

（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD      

∴ ∠D=∠C=90°   

在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB=BA，AC=BD，  

∴△ACB≌△BDA（HL）    

∴BC=AD；

（2）由△ACB≌ △BDA得∠CAB=∠DBA             

 ∴△OAB是等腰三角形

板块二、等边三角形的性质与判定

例1、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，

和

都是等边三角形，BE交AC于F，

AD交CE于H.

（1）求证：

△BCE≌△ACD；

（2）求证：

FH∥BD.

（1）证明：

和

都是等边三角形

　　　∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°

　　　∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD

在△BCE和△ACD中

∴△BCE≌△ACD（SAS）

（2）由

（1）知△BCE≌△ACD

则∠CBF=∠CAH，BC=AC

又∵

和

都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，

∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF，

在△BCF和△ACH中

∴△BCF≌△ACH（ASA）

∴CF=CH，

又∵∠FCH＝60°

∴△CHF是等边三角形

∴∠FHC＝∠HCD=60°，

∴FH∥BD

例2、已知：

如右图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边

三角形．求证：

（1）△AEF≌△CDE；

（2）△ABC为等边三角形．

证明：

（1）∵BF=AC，AB=AE，

∴FA=EC，

∵△DEF是等边三角形，

∴EF=DE，

又∵AE=CD（已知），

∴△AEF≌△CDE（SSS）；

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC，

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF，

△DEF是等边三角形，

∴∠DEF=60°，

∴∠BCA=60°，同理可得∠BAC=60°，

∴△ABC中，AB=BC，

∴△ABC是等边三角形。

板块三、线段的垂直平分线和角平分线

例1、如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为30°．

例2、如右图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是（　A　）

A．22cmB．20cmC．18cmD．15cm

例3、如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于

D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

解：

∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，

∴∠DAE=

 ∠CAB=

（90°-∠B），

∵DE垂直平分AB，

∴AD=BD，

∴∠DAE=∠B，

∴∠DAE=

 ∠CAB=

 （90°-∠B）=∠B，

∴3∠B=90°，

∴∠B=30°．

例4．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．

（1）求证：

∠3=∠B；

（2）连接OD，求证：

∠B+∠ODB=180°．

证明：

（1）∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2，

∵AD的中垂线交AB于点E、BC的延长线于点F，

∴AF=DF，

∴∠4=∠DAF=∠2+∠3，

∵∠4=∠1+∠B，

∴∠3=∠B；

（2）∵EF是AD的中垂线，

∴OA=OD，

∴∠2=∠ODA，

∵∠4=∠DAF，

∴∠3=∠ODF，

∵∠3=∠B，

∴∠ODF=∠B，

∴OD∥AB，

∴∠B+∠ODB=180°．

例5、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？

证明你的结论．

解：

DF＝EF．

理由如下：

∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，

∴PD＝PE，

由HL定理易证△OPD≌△OPE，

∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．

在△DPF与△EPF中，

，

∴△DPF≌△EPF，

∴DF＝EF.

板块四、含30°的直角三角形

例1、如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°．

（1）求证：

△OCD是等边三角形；

（2）若EF=5，求线段OE的长.

解：

（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，

∴DE=CE，

在Rt△ODE和Rt△OCE中，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE（LH）

∴OD=OC，

∵∠AOB=60°，

∴△OCD是等边三角形；

（2）∵△OCD是等边三角形，OF是角平分线，

∴OE⊥DC，

∵∠AOB=60°，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

∵∠ODF=60°，ED⊥OA，

∴∠EDF=30°，

∴DE=2EF=10，

∴OE=2DE=20.

例2、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．

解：

∵BD⊥AC于D，∠A＝60°，

∴∠ABD＝90°－60°＝30°，

在Rt△BEH中，∠HEB＝90°，∠EBH＝30°．

∴BH＝2EH＝4．

同理可得，CH＝2HD＝2，

∴BD＝BH＋HD＝4＋1＝5．

CE＝CH＋HE＝2＋2＝4．