高二数学 第六章 不等式63不等式的证明二优秀教案.docx

1、高二数学 第六章 不等式 63不等式的证明二优秀教案2019-2020年高二数学 第六章 不等式： 6.3不等式的证明(二)优秀教案教材：不等式证明二（综合法，分析法，反证法，变换法）目的：加强不等式证明的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。过程：1 综合法有时我们可以利用某些已经证明过的不等式(例如均值不等式)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种方法通常叫做综合法,也叫做公式法.例1.已知 是不全相等的正数,求证:2 分析法证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够

2、肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种证明方法通常叫做分析法.例2 求证:证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难,例如这道题,我们很难想到从21b0)，若再加m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖 后的糖水浓度为，只要证即可怎么证呢?引人课题二、讲解新课：1不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式说明：（1）不等号的种类：、（）、（）、（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R2判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在ab，a= b，ab三种关系中有

3、且仅有一种成立判断两个实数大小的充要条件是：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了三、讲解范例：例1比较(a3)（a）与（a2）（a4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小 把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项解：由题意可知：（a3）（a）（a2）（a4）（a2

4、2a1）（a22a）0（a3）（a）（a2）（a4）例2已知x0，比较（x21）2与x4x21的大小分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项 解：由题意可知：（x21）2（x4x21）（x42x21）（x4x21）x42x21x4x21x2x0 x20 （x21）2（x4x21）0 （x21）2x4x21例2引伸：在例2中，如果没有x0这个条件，那么两式的大小关系如何?在例2中，如果没有x0这个条件，那么意味着x可以全取实数，在解决问题时，应分x0

5、和x0两种情况进行讨论，即：当x0时，（x21）2x4x21当x0时，（x21）2x4x21此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差变形判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要 例3设且，比较与的大小解： 当时 当时 总有例4已知ab0，m0，试比较与的大小解： ab0，m0，a-b0，a+m0 从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵例5 比较a4-b4与4a3(a-b)的

6、大小 解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)(a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)=- (a-b)2 (当且仅当db时取等号)a4-b44a3(a-b)说明：“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法例6 已知xy，且y0，比较与1的大小解： xy，x-y0 当y0时，0，即0时，0，即1说明：变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论四、课堂练习：

7、1如果x0，比较（1）2与（1）2的大小解：（1）2（1）2（1）（1）（1）（1）或（x21）（x21）4x0 0 40（1）2（1）22已知a0，比较（a2a1）（a22a1）与（a2a1）（a2a1）的大小解：（a2a1）（a2a1）（a2a1）（a2a1）（a21）2（a）2（a21）2a2a2a0，a20 a20故（a2a1）（a2a1）（a2a1）（a2a1）3在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（）2 2；（2）（）2 （1）2；（3） ；(4)当ab0时，loga logb答案：(1) （2） （3） （4）4选择题若a0，1b0，则有( )Aaabab2 Bab2aba C

8、abaab2 Dabab2a分析：利用作差比较法判断a，ab，ab2的大小即可a0，1b0ab0，b10，1b0，0b21，1b20abaa（b1）0abaabab2ab（1b）0abab2aab2a（1b2）0aab2故abab2a答案：D5比较大小：(1)（x）（x）与（x）2；(2)log与log解：(1)（x）（x）（x)2（x212x3）（x212x3）10（x）（x）（x）2(2)解法一：(作差法)loglog0loglog解法二：(中介法，常以“1，0，1”作中介)函数ylogx和ylogx在（0，）上是减函数且loglog1，loglog1loglog五、小结 ：本节学习了实数

9、的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论第三步：得出结论在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系六、课后作业： 课本练习1已知，比较与的大小解： -= 2比较2sin与sin2的大小(02)解： 2sin-sin2=2sin(1-cos)当(0,)时2sin(1-cos)0 2sinsin2当(,2)时2sin(1-cos)0 2sinsin23设且，比较与的大小解： 当时；当时习题6.1 1-3七、板书设计（略）八、课后记：