高二数学 第六章 不等式63不等式的证明二优秀教案.docx

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高二数学第六章不等式63不等式的证明二优秀教案

2019-2020年高二数学第六章不等式：

6.3不等式的证明

（二）优秀教案

教材：

不等式证明二（综合法，分析法，反证法，变换法）

目的：

加强不等式证明的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。

过程：

1综合法

有时我们可以利用某些已经证明过的不等式（例如均值不等式）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种方法通常叫做综合法,也叫做公式法.

例1.已知是不全相等的正数,求证:

2分析法

证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种证明方法通常叫做分析法.

例2求证:

证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难,例如这道题,我们很难想到从21<25下手,因此,我们常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要方法

3反证法

反证法是一种间接证明方法,我们如果欲证明“若A则B”,可以通过否定B来达到肯定B的效果,步骤一般分为三步:

1.反设结论不成立;2.归谬,由假设作为条件推出矛盾;3.结论,肯定欲证结论的正确

已知都是小于1的正数,求证:

所以，矛盾！

4变换法

变换法就是利用拆项或者插项,换元（三角换元,增量换元,等价转化）等变换达到证明不等式的目的,其中,最为常用的就是三角换元法,把多个变量换成同一个角的三角函数值,再用三角公式进行证明.

三、小结：

各种证明方法

四、作业：

P15—16练习1，2

P18习题6.31，2，3

2019-2020年高二数学第六章不等式：

6.1不等式的性质

（一）优秀教案

教学目的：

1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；

2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．

教学重点：

比较两实数大小．

教学难点：

差值比较法：

作差→变形→判断差值的符号

授课类型：

新授课

课时安排：

1课时

教具：

多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、引入：

复习初中学过的不等式的性质

1正数的相反数是负数

2任意实数的平方不小于0。

3不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

4不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

5不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系

生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?

转化为数学问题：

a克糖水中含有b克糖（a>b>0），若再加m（m>0）克糖，则糖水更甜了，为什么?

分析：

起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?

引人课题

二、讲解新课：

1．不等式的定义：

用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．

说明：

（1）不等号的种类：

＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．

（2）解析式是指：

代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）

（3）不等式研究的范围是实数集R．

2．判断两个实数大小的充要条件

对于任意两个实数a、b，在a＞b，a=b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了．

三、讲解范例：

例1比较（a＋3）（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小

分析：

此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题

本题知识点：

整式乘法，去括号法则，合并同类项

解：

由题意可知：

（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）

＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）

＝－７＜0

∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）

例2已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小

分析：

此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略

本题知识点：

乘法公式，去括号法则，合并同类项

解：

由题意可知：

（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）

＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）

＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1

＝x2

∵x≠0∴x2＞0

∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0

∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1

例2引伸：

在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?

在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么意味着x可以全取实数，在解决问题时，应分x＝0和x≠0两种情况进行讨论，即：

当x＝0时，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1

当x≠0时，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1

此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写

得出结论：

例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：

作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要

例3．设且，比较与的大小

解：

当时∴>

当时∴>

∴总有>

例4已知a>b>0，m>0，试比较与的大小

解：

∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0

∴∴>

从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵

例5比较a4-b4与4a3（a-b）的大小．

解：

a4-b4-4a3（a-b）

=（a-b）（a+b）（a2+b2）-4a3（a-b）

=（a-b）（a3+a2b+ab2+b3-4a3）

＝（a-b）[（a2b-a3）+（ab3-a3）+（b3-a3）]

=-（a-b）2（3a3+2ab+b2）

=-（a-b）2

（当且仅当d＝b时取等号）

∴a4-b44a3（a-b）

说明：

“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法

例6已知x>y，且y≠0，比较与1的大小

解：

∵x>y，∴x-y>0

当y<0时，<0，即<1

当y>0时，>0，即>1

说明：

变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论

四、课堂练习：

1如果x＞0，比较（－1）2与（＋1）2的大小

解：

（－1）2－（＋1）2

＝［（－1）＋（＋1）］［（－1）－（＋1）

或［（x－2＋1）－（x＋2＋1）］＝－4

∵x＞0∴＞0∴－4＜0

∴（－1）2＜（＋1）2

2已知a≠0，比较（a2＋a＋1）（a2－2a＋1）与（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小

解：

（a2＋a＋1）（a2－a＋1）－（a2＋a＋1）（a2－a＋1）

＝［（a2＋1）2－（a）2］－［（a2＋1）2－a2］＝－a2

∵a≠0，∴a2＞0∴－a2＜0

故（a2＋a＋1）（a2－a＋1）＜（a2＋a＋1）（a2－a＋1）

3在以下各题的横线处适当的不等号：

（1）（＋）2６＋2；

（2）（－）2（－1）2；

（3）；

（4）当a＞b＞0时，logalogb

答案：

（1）＜

（2）＜（3）＜（4）＜

4选择题

若a＜0，－1＜b＜0，则有（）

Aa＞ab＞ab2Bab2＞ab＞aCab＞a＞ab2Dab＞ab2＞a

分析：

利用作差比较法判断a，ab，ab2的大小即可

∵a＜0，－1＜b＜0

∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0

∴ab－a＝a（b－1）＞0ab＞a

ab－ab2＝ab（1－b）＞0ab＞ab2

a－ab2＝a（1－b2）＜0a＜ab2

故ab＞ab2＞a

答案：

D

5比较大小：

（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2；

（2）log与log

解：

（1）（x＋５）（x＋７）－（x＋６）2

＝（x2＋12x＋3５）－（x2＋12x＋3６）

＝－1＜0

∴（x＋５）（x＋７）＜（x＋６）2

（2）解法一：

（作差法）

log－log＝

＝＞0

∴log＞log

解法二：

（中介法，常以“－1，0，1”作中介）

∵函数y＝logx和y＝logx在（0，＋∞）上是减函数且＞

∴log＞log＝1，log＜log＝1

∴log＞log

五、小结：

本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：

作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式

第二步：

判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论

第三步：

得出结论

在某些特殊情况下（如两数均为正，且作商后易于化简）还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系

六、课后作业：

课本练习

1．已知，比较与的大小

解：

-=……=∴≥

2．比较2sinθ与sin2θ的大小（0<θ<2π）

解：

2sinθ-sin2θ=2sinθ（1-cosθ）

当θ∈（0,π）时2sinθ（1-cosθ）≥02sinθ≥sin2θ

当θ∈（π,2π）时2sinθ（1-cosθ）<02sinθ

3．设且，，比较与的大小

解：

∴

当时≤；当时≥

习题6.11--3

七、板书设计（略）

八、课后记：