高中数学 212空间中直线与直线之间的位置关系练习 新人教A版必修2.docx

1、高中数学 212空间中直线与直线之间的位置关系练习 新人教A版必修22019-2020年高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系练习 新人教A版必修21空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种(1)从是否有公共点的角度来分：(2)从是否共面的角度来分：三棱锥的六条棱可组成多少对异面直线？答案：三对2异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)3平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行的传递性符号表述： ac4等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，

2、那么这两个角相等或互补5异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)异面直线所成的角的取值范围：(0，90(3)当90时，a与b互相垂直，记作ab两条直线在同一个平面上，它们的位置关系是什么？答案：平行或相交思考应用1分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？解析：从图中可以看出a，b虽然在两个平面内，但是它们相交或平行，是共面直线2对于等角定理中在什么情况下相等、互补？解析：如图，ABA1B1，BCB1C1，对于ABC与A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于ABC与E1

3、B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即ABCE1B1C1180.3如下定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的角(或补角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)解析：在这个定义中，空间中有一点是任意取的，若在空间中，再取一点O，过点O作aa，bb，根据等角定理，a与b所成的锐角(或直角)和a与b所成的锐角(或直角)相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性注意

4、：有时，为了方便，可将点O取在a或b上1下列说法中正确的是(B)A不在一个平面内的两条直线是异面直线B若两条直线不是异面直线，则这两条直线平行或相交C直线a与直线c异面，直线b与直线c异面，则直线a与直线b异面D两条直线垂直则这两条直线一定相交解析：A，C，D不正确，故选B.2空间任意两个角，且与的两边对应平行，60，则为(D)A60 B120 C30 D60或120解析：与相等或互补，为60或120，故选D.3已知a，b是异面直线，直线c直线a，那么c与b(C)A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线解析：c与b可以相交，也可以异面，故选C.4分别在两个平面内的两

5、条直线的位置关系是(D)A异面B平行C相交D以上都有可能解析：两个平面的位置不确定，两条直线的位置关系不确定，1如果两条直线a和b没有公共点，则a和b(D)A共面B平行C异面 D平行或异面解析：a和b无公共点，两直线的位置关系为平行或异面2已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB2，CD4，EFAB，则EF与CD所成的角为(D)A90 B45C60 D303如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体的位置关系是(D) A平行B相交且垂直C异面D相交成60角解析：把展开图还原到直观图，如图所示，连接AC，ABC为等边三角形，AB与CD相交成60角 4如图所示，在正三

6、角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为(B) A90 B60 C45 D0解析：将三角形折成三棱锥如图所示 B点、C点均与A点重合，HG与IJ为一对异面直线在三棱锥ADEF中，IJ綊AD，HG綊DF，所以ADF即为所求，可知ADF为等边三角形，所以HG与IJ所成角为60.5对于平面外的任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l(D)A平行 B相交C垂直 D互为异面直线6在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为_答案：607如图，空间四边形S

7、ABC中各边及对角线长都相等，若E，F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(C) A90 B60C45 D30解析：求EF与SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上，为此取SB的中点G，连接GE，GF，AE.如图，由三角形中位线定理，得GEBC，GFSA，且GEBC，GFSA，则GFE就是EF与SA所成的角(或补角)若设此空间四边形边长为a，那么GFGEa，EAa，EFa，因此EFG为等腰直角三角形，EFG45，所以EF与SA所成的角为45.8如图，a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，E，F分别是线段AC和BD的中点，判断EF和a，EF和b的位置关系，并证明你的

8、结论 解析：假设EF和a共面，设这个平面为，则EF，a，A，B，E，F，BF，AE.又CAE，DBF，C，D.于是b.从而a，b共面于，这与题设条件a，b是异面直线相矛盾EF和a共面的假设不成立EF和a是异面直线同理可得EF和b也是异面直线9在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；(2)求直线AB1和EF所成的角的大小解析： (1)连接DC1，DC1AB1，DC1和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角CC1D45，AB1和CC1所成的角为45 .(2)连接DA1，A1C1.EFA1D，AB1DC1，A1DC1是直

9、线AB1和EF所成的角A1DC1是等边三角形，A1DC160.即直线AB1和EF所成的角为60. 1异面直线的对数用分类的方式记数2异面直线所成的角不可能为钝角3求异面直线所成角一般先平移到两条直线相交后求夹角2019-2020年高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系全册精品教案 新人教A版必修2（一）教学目标1知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。2过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3情感、态度与价值让学生感受到掌

10、握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.（三）教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极

11、性.探索新知1空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：相交直线有且仅有一个公共点平行直线在同一平面内，没有公共点.异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面

12、直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是ABD的中位线，所以E

13、HBD，且.同理FGBD，且.因为EHFG，且EH = FG，所以 四边形EFGH为平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD ABCD中，ADC与ADC，ADC 与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，ADC = ADC，ADC + ABC=180师：

14、一般地，有以下定理：这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.探索新知3异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直

15、线a、b，记作ab.例3 如图，已知正方体ABCD ABCD.（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？（2）直线BA和CC的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线AA垂直？解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与直线BA是异面直线.（2）由BBCC可知，BBA为异面直线BA与CC的夹角，BBA= 45.（3）直线AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA分别与直线AA垂直.师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；两条异面直线所成的

16、角；因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作ab；以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.随堂练习1填空题：（1）如图，AA是长方体的一条棱，长方体中与AA平

17、行的棱共有 条.（2）如果OAOA，OBOB，那么AOB和AOB .答案：（1）3条. 分别是BB，CC，DD；（2）相等或互补.2如图，已知长方体ABCD ABCD中，AB =，AD =，AA =2.（1）BC和AC所成的角是多少度？（2）AA 和BC 所成的角是多少度？学生独立完成答案：.2（1）因为BCBC，所以BCA是异面直线AC与BC所成的角. 在RtABC中，AB=，BC=，所以BCA = 45.（2）因为AABB，所以BBC是异面直线AA 和BB 所成的角.在RtBBC中，BC = AD =，BB= AA=2，所以BC= 4，BBC= 60.因此，异面直线AA与BC所成的角为60

18、.归纳总结1空间中两条直线的位置关系.2平行公理及等角定理.3异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.作业2.1 第二课时 习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题 例1 “a、b为异面直线”是指：ab =，且ab；a面，b面，且ab =；a面，b面，且=；a面，b面；不存在面，使a面，b面成立.上述结论中，正确的是（ ）A正确 B正确C仅正确 D仅正确【解析】 等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D例2 如果异面直线a与b所成角为50，P为空间一定点，则过点P

19、与a、b所成的角都是30的直线有且仅有 条. 【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线a、b，因a、b成50角，a与b也成50角.过P作APB的平分线，取较小的角有APO =BPO = 25.APAAPO，过P作直线l与a、b成30角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD，已知AD =1，BD =，且ADBC，对角线BD =，AC =，求AC和BD所成的角。【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.则 MG EM ADBC EMMG在R tEMG中，有在RFG中，EF =EF 2 +FG 2 = EG 2EFFG，即ACBDAC和BD所成角为90.【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.