高中数学 212空间中直线与直线之间的位置关系练习 新人教A版必修2.docx

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高中数学212空间中直线与直线之间的位置关系练习新人教A版必修2

2019-2020年高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系练习新人教A版必修2

1．空间两条直线的位置关系．

空间两条直线的位置关系有且只有三种．

（1）从是否有公共点的角度来分：

（2）从是否共面的角度来分：

三棱锥的六条棱可组成多少对异面直线？

答案：

三对

2．异面直线．

（1）定义：

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

（2）画法：

图形表示为如图所示（通常用一个或两个平面衬托）．

3．平行公理（公理4）．

文字表述：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．

符号表述：

⇒a∥c．

4．等角定理．

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

5．异面直线所成的角．

（1）定义：

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

（2）异面直线所成的角θ的取值范围：

（0°，90°]．

（3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．

两条直线在同一个平面上，它们的位置关系是什么？

答案：

平行或相交

►思考应用

1．分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？

解析：

从图中可以看出a，b虽然在两个平面内，但是它们相交或平行，是共面直线．

2．对于等角定理中在什么情况下相等、互补？

解析：

如图，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC与∠A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC与∠E1B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.

3．如下定义两条异面直线所成的角，是否合理？

对空间中的任一点O有无限制条件？

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角（或补角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

解析：

在这个定义中，空间中有一点是任意取的，若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：

有时，为了方便，可将点O取在a或b上．

1．下列说法中正确的是（B）

A．不在一个平面内的两条直线是异面直线

B．若两条直线不是异面直线，则这两条直线平行或相交

C．直线a与直线c异面，直线b与直线c异面，则直线a与直线b异面

D．两条直线垂直则这两条直线一定相交

解析：

A，C，D不正确，故选B.

2．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为（D）

A．60°B．120°C．30°D．60°或120°

解析：

α与β相等或互补，β为60°或120°，故选D.

3．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（C）

A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

解析：

c与b可以相交，也可以异面，故选C.

4．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（D）

A．异面

B．平行

C．相交

D．以上都有可能

解析：

∵两个平面的位置不确定，

∴两条直线的位置关系不确定，

1．如果两条直线a和b没有公共点，则a和b（D）

A．共面　　　　　　　B．平行

C．异面D．平行或异面

解析：

a和b无公共点，两直线的位置关系为平行或异面．

2．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（D）

A．90°B．45°

C．60°D．30°

3．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体的位置关系是（D）

A．平行

B．相交且垂直

C．异面

D．相交成60°角

解析：

把展开图还原到直观图，如图所示，连接AC，△ABC为等边三角形，AB与CD相交成60°角．

4．如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点．将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（B）

A．90°B．60°C．45°D．0°

解析：

将三角形折成三棱锥如图所示

B点、C点均与A点重合，HG与IJ为一对异面直线．在三棱锥ADEF中，IJ綊

AD，HG綊

DF，所以∠ADF即为所求，可知△ADF为等边三角形，所以HG与IJ所成角为60°.

5．对于平面α外的任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（D）

A．平行B．相交

C．垂直D．互为异面直线

6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________．

答案：

60°

7．如图，空间四边形SABC中各边及对角线长都相等，若E，F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（C）

A．90°B．60°

C．45°D．30°

解析：

求EF与SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上，为此取SB的中点G，连接GE，GF，AE.

如图，由三角形中位线定理，得GE＝

BC，GF＝

SA，且GE∥BC，GF∥SA，则∠GFE就是EF与SA所成的角（或补角）．若设此空间四边形边长为a，那么GF＝GE＝

a，EA＝

a，

EF＝

＝

a，

因此△EFG为等腰直角三角形，∠EFG＝45°，

所以EF与SA所成的角为45°.

8．如图，a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，E，F分别是线段AC和BD的中点，判断EF和a，EF和b的位置关系，并证明你的结论．

解析：

假设EF和a共面，设这个平面为α，

则EF⊂α，a⊂α，

∴A，B，E，F∈α，∴BF⊂α，AE⊂α.

又∵C∈AE，D∈BF，

∴C，D∈α.于是b⊂α.

从而a，b共面于α，这与题设条件a，b是异面直线相矛盾．

∴EF和a共面的假设不成立．

∴EF和a是异面直线．

同理可得EF和b也是异面直线．

9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．

（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；

（2）求直线AB1和EF所成的角的大小．

解析：

（1）连接DC1，

∵DC1∥AB1，

∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．

∵∠CC1D＝45°，∴AB1和CC1所成的角为45°.

（2）连接DA1，A1C1.

∵EF∥A1D，AB1∥DC1，

∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．

∵△A1DC1是等边三角形，

∴∠A1DC1＝60°.

即直线AB1和EF所成的角为60°.

1．异面直线的对数用分类的方式记数．

2．异面直线所成的角不可能为钝角．

3．求异面直线所成角一般先平移到两条直线相交后求夹角．

2019-2020年高中数学2.1.2空间直线与直线之间的位置关系全册精品教案新人教A版必修2

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

（3）理解并掌握公理4；

（4）理解并掌握等角公理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2．过程与方法

让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.

3．情感、态度与价值

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.

（二）教学重点、难点

重点：

1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理.

难点：

异面直线所成角的计算.

（三）教学方法

师生的共同讨论与讲授法相结合；

教学过程

教学内容

师生互动

设计意图

新课导入

问题：

在同一平面内，两条直线有几种位置关系？

空间的两条直线还有没有其他位置关系？

师投影问题，学生讨论回答

生1：

在同一平面内，两条直线的位置关系有：

平行与相交.

生2：

空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……

师（肯定）：

这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.

以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.

探索新知

1．空间的两条直线位置关系：

共面直线

异面直线：

不同在任何一个平面内，没有公共点.

师：

根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：

①相交直线—有且仅有一个公共点

②平行直线—在同一平面内，没有公共点.

③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.

随堂练习：

如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.

答案：

4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.

现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类

生：

按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：

一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.

师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”

学生讨论发现不能去掉“任何”

师：

“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”

培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解

（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行

（2）定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

例2如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：

四边形EFGH是平行四边形.

证明：

连接BD，

因为EH是△ABD的中位线，

所以EH∥BD，且.

同理FG∥BD，且.

因为EH∥FG，且EH=FG，

所以四边形EFGH为平行四边形.

师：

现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.

师：

我们把上述规律作为本章的第4个公理.

公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

师：

现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.

生：

推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.

师（肯定）下面我们来看一个例子

观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

生：

从图中可以看出，

∠ADC=∠A′D′C′，

∠ADC+∠A′B′C′=180°

师：

一般地，有以下定理：

……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.

师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.

师：

在图中EH、FG有怎样的特点？

它们有直接的联系吗？

引导学生找出证明思路.

培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.

通过分析和引导，培养学生解题能力.

探索新知

3．异面直线所成的角

（1）异面直线所成角的概念.

已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

（2）异面直线互相垂直

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.

例3如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.

（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？

（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？

解：

（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.

（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′=45°.

（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.

师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.

①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；

②两条异面直线所成的角

；

③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；

④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；

⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；

⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.

然后师生共同分析例题

加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.

随堂练习

1．填空题：

（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.

（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′.

答案：

（1）3条.分别是BB′，CC′，DD′；

（2）相等或互补.

2．如图，已知长方体ABCD–A′B′C′D′中，AB=，AD=，AA′=2.

（1）BC和A′C′所成的角是多少度？

（2）AA′和BC′所成的角是多少度？

学生独立完成

答案：

.

2．

（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′=45°.

（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′所成的角.

在Rt△BB′C′中，B′C′=AD=，BB′=AA′=2，

所以BC′=4，∠B′BC′=60°.

因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.

归纳总结

1．空间中两条直线的位置关系.

2．平行公理及等角定理.

3．异面直线所成的角.

学生归纳，教师点评并完善

培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.

作业

2.1第二课时习案

学生独立完成

固化知识

提升能力

附加例题

例1“a、b为异面直线”是指：

①a∩b=，且a∥b；

②a面，b面，且a∩b=；

③a面，b面，且∩=；

④a面，b面；

⑤不存在面，使a面，b面成立.

上述结论中，正确的是（）

A．①④⑤正确B．①③④正确

C．仅②④正确D．仅①⑤正确

【解析】①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D

例2如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有条.

【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线

a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有

∠A′PO=∠B′PO=25°.

∵∠APA′＞A′PO，

∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.

例3空间四边形ABCD，已知AD=1，BD=，且AD⊥BC，对角线BD=，AC=，求AC和BD所成的角。

【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.

则MG

EM

∵AD⊥BC∴EM⊥MG

在Rt△EMG中，有

在RFG中，∵EF=

∴EF2+FG2=EG2

∴EF⊥FG，即AC⊥BD

∴AC和BD所成角为90°.

【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.