1、高中数学平面解析几何初步经典例题高中数学平面解析几何初步经典例题 直线和圆的方程一、知识导学1两点间的距离公式:不论A(x1,y1),B(x2,y2)在坐标平面上什么位置,都有22d=|AB|=(x1 x2) (y1 y2),特别地,与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2x1|或|AB|=|y2-y1|.2定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)之间数量关系的一个公式,其中的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后的值也就随之确定了.若以 x A为起点,B为终点,P为分点,则定比分点公
2、式是 y x1 x2 x 2=1,此时中点坐标公式是 . y y2 y 1 2 x1 x21 .当P点为AB的中点时,y1 y21 3直线的倾斜角和斜率的关系(1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率.(2)斜率存在的直线,其斜率k与倾斜角之间的关系是k=tan.4确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多,但必须注意各种k2 -1时,5两条直线的夹角。当两直线的斜率k1,k2都存在且k1tan=k2 k1,1 k1k2当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.另外还应注意到:“到角”公式与“夹角”公式的1 区别.6怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的
3、斜率都存在,可以用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断.(1)斜率存在且不重合的两条直线l1y k1x b1, l2y k2x b2,有以下结论: l1l2 k1=k2,且12l1l2 k1k2= -1(2)对于直线l1A1x B1y C1 0,l2 A2x B2y C2 0,当A1,A2,B1,B2都不为零时,有以下结论:l1l2 A1B1C=1 A2B2C2l1l2 A1A2+B1B2 = 0l1与l2相交 A1B1 A2B2A1B1C1= A2B2C2l1与l2重合 7点到直线的距离公式.(1)已知一点P(x0,y0)及一条直线l:Ax By C 0,
4、则点P到直线l的距离d=|Ax0 By0 C|A B22;(2)两平行直线l1: Ax By C1 0, l2: Ax By C2 0之间的距离d=|C1 C2|A B22.8确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要知道两种形式之间的相互转化及相互联系(1)圆的标准方程:(x a)2 (y b)2 r2,其中(a,b)是圆心坐标,r是圆的半径;22(2)圆的一般方程:x2 y2 Dx Ey F 0(D E 4F0),圆心坐标DED2 E2 4F为(-,-),半径为r=. 2222 二、疑难知识导析1直线与圆的位置关系的判定方法.(1)方法一 直线:Ax By C 0;圆:x2
5、 y2 Dx Ey F 0. Ax By C 0判别式消元 一元二次方程 222 b 4ac x y Dx Ey F 0 0 相交 0 相切 0 相离 (2)方法二 直线: Ax By C 0;圆:(x a)2 (y b)2 r2,圆心(a,b)到直线的距离为 d=|Aa Bb C|A2 B2 d r 相离 d r 相切 d r 相交 2两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为r1,r2,|O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O1O2|r1+r2 两圆外离;|O1O2|=r1+r2 两圆外切;| r1-r2|O1O2|r1+r2 两圆相交;| O1O2 |=|r
6、1-r2| 两圆内切;0| O1O2| r1-r2| 两圆内含.三、经典例题导讲例1直线l经过P(2,3),且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.错解:设直线方程为:xy23 1,又过P(2,3), 1,求得a=5 ababxy 1的条件是:a0且b0,本题忽略了a b 0这一情ab3 03 , 2 02 直线方程为x+y-5=0. 错因:直线方程的截距式: 形. 正解:在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:k 直线方程为y=3x 23x . 2综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=例2已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动
7、点P的轨迹方程.错解:设动点P坐标为(x,y).由已知3x (x 1) (y 3),化简3x=x-2x+1+y-6y+9 . 2222当x0时得x-5x+y-6y+10=0 . 223当x0时得x+ x+y-6y+10=0 . 错因:上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 52211232 2(x- )+(y-3) 和 (x+(y-3)= - 2424两个平方数之和不可能为负数,故方程的情况不会出现.5221122 2正解: 接前面的过程,方程化为(x-+(y-3)= 方程化为(x+ )+(y-3)= -24
8、2352212由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x- )+(y-3)= 424(x0)2222例3m是什么数时,关于x,y的方程(2m+m-1)x+(m-m+2)y+m+2=0的图象表示一个圆?22错解:欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆,只要A=C0,222得2m+m-1=m-m+2,即m+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,22当m=1或m=-3时,x和y项的系数相等,这时,原方程的图象表示一个圆22错因:A=C,是Ax+Cy+F=0表示圆的必要条件,而非充要条件,其充要条件是:FA=C00.A正解:欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆,只要A=C0,22
9、2得2m+m-1=m-m+2,即m+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,22(1) 当m=1时,方程为2x+2y=-3不合题意,舍去.22221(2) 当m=-3时,方程为14x+14y=1,即x+y=原方程的图形表示圆.142222例4自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆22x+y-4x-4y+70相切,求光线L所在的直线方程.错解:设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称,L过点A(-3,3),点A关于x轴的对称点A(-3,-3),于是L过A(-3,-3).设L的斜率为k,则L的方程为y-(-3)kx-(-3),即kx-y+3k-30,22已知圆方
10、程即(x-2)+(y-2)1,圆心O的坐标为(2,2),半径r1 因L和已知圆相切,则O到L的距离等于半径r12k 2 3k 32 5k 52 1 k 1k 1 即2整理得12k-25k+120解得k44L的方程为y+3(x+3) 33即4x-3y+30 因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30. 错因:漏解正解:设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称,L过点A(-3,3),点A关于x轴的对称点A(-3,-3), 于是L过A(-3,-3).设L的斜率为k,则L的方程为y-(-3)kx-(-3),即kx-y+3k-30,22已知圆方程即(x-2)+(y-2)1,圆心O的坐标为(2,2),
11、半径r1 因L和已知圆相切,则O到L的距离等于半径r12k 2 3k 32 5k 52 1 k 1k 1 即2整理得12k-25k+120解得k43或k 3443L的方程为y+3(x+3);或y+3(x+3)。34即4x-3y+30或3x-4y-30因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30或3x+4y-30.例5求过直线x 2y 4 0和圆x2 y2 2x 4y 1 0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程: (1) 过原点;(2)有最小面积.解:设所求圆的方程是:x y 2x 4y 1 x 2y 4 022即:x y 2 x 2 2 y 1 4 022(1)因为圆过原点,所以1 4 0
12、,即 故所求圆的方程为:x y 221477x y 0. 422(2) 将圆系方程化为标准式,有:2 5 2 4 2 x y 2 2 4 5 5 当其半径最小时,圆的面积最小,此时 222为所求. 524 8 4 故满足条件的圆的方程是 x y .5 5 5 点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以待定系数法。(2)面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小.例6(06年辽宁理科)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)是抛物线y 2px(p 0)上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足 .设圆C的方程为
13、x y (x1 x2)x (y1 y2)y 0 (1)证明线段AB是圆C的直径;(2)当圆C的圆心到直线x 2y 0的距离的最小值为2222时,求p的值. 5解:(1)证明 OA OBOA OB,(OA OB)(OA OB), 整理得:OA OB0 x1x2y1y20设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MA MB0 即 (x x1)(x x2)(y y1)(y y2)0 整理得:x2 y2 (x1 x2)x (y1 y2)y 0 故线段AB是圆C的直径.(2)设圆C的圆心为C(x,y),则22x1 x2 x 2 y y1 y2 2 y1 2px1,y2 2px2(p 0)22y
14、y2x1x2 124p又x1x2y1y20 ,x1x2y1y222yy2y1y2 124px1x20,y1y20 y1y24p222x x1 x21112222 (y1 y2) (y1 y2 2y1y2) y1y2 24p4p4p1(y2 2p2) p22所以圆心的轨迹方程为y px 2p 设圆心C到直线x 2y 0的距离为,则|x 2y|5| 12(y 2p2) 2y|p |(y p)2 p2|5p 当yp时,有最小值p2. 四、典型习题导练p,由题设得p2551直线x y 2 0截圆x y 4得的劣弧所对的圆心角为 ( )A.643222222.已知直线x=a(a0)和圆(x-1)+y=4
15、相切 ,那么a的值是( )A.5 B.4 C.3 D.2 3. 如果实数x、y满足等式(x-2)+y,则22y的最大值x为: .224.设正方形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)的外接圆方程为x+y-6x+a=0(a9),C、D点所在直线l的斜率为1. 3(1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率;(2)如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点,以x轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线l的方程;(3)如果ABCD的外接圆半径为25,在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线l的方程.5.如图,已知圆C:(x+4)+y=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点,点P为(-3,0).(1)若点D坐标为(0,3),求APB的正切值;(2)当点D在y轴上运动时,求APB的正切值的最大值;(3)在x轴上是否存在定点Q,当圆D在y轴上运动时,AQB是定值?如果存在,求22坐标;如果不存在,说明理由. 出点Q
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