|O1O2|=|r1-r2|两圆内切;
0<|O1O2|<|r1-r2|两圆内含.
三、经典例题导讲
[例1]直线l经过P(2,3),且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.
错解:
设直线方程为:
xy231,又过P(2,3),∴1,求得a=5abab
xy1的条件是:
a≠0且b≠0,本题忽略了ab0这一情ab
303,202∴直线方程为x+y-5=0.错因:
直线方程的截距式:
形.正解:
在原解的基础上,再补充这样的过程:
当直线过(0,0)时,此时斜率为:
k
∴直线方程为y=3x2
3x.2综上可得:
所求直线方程为x+y-5=0或y=
[例2]已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.
错解:
设动点P坐标为(x,y).由已知3x(x1)(y3),
化简3x=x-2x+1+y-6y+9.2222
当x≥0时得x-5x+y-6y+10=0.①22
3
当x<0时得x+x+y-6y+10=0.②
错因:
上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得522112322
(x-)+(y-3)①和(x++(y-3)=-②2424两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.
52211222
正解:
接前面的过程,∵方程①化为(x-+(y-3)=方程②化为(x+)+(y-3)=-
242352212
由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为:
(x-)+(y-3)=424(x≥0)
2222
[例3]m是什么数时,关于x,y的方程(2m+m-1)x+(m-m+2)y+m+2=0的图象表示一个
圆?
22
错解:
欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆,只要A=C≠0,
222
得2m+m-1=m-m+2,即m+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,
22
∴当m=1或m=-3时,x和y项的系数相等,这时,原方程的图象表示一个圆
22
错因:
A=C,是Ax+Cy+F=0表示圆的必要条件,而非充要条件,其充要条件是:
F
A=C≠0<0.
A
正解:
欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆,只要A=C≠0,
222
得2m+m-1=m-m+2,即m+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,
22
(1)当m=1时,方程为2x+2y=-3不合题意,舍去.
22221
(2)当m=-3时,方程为14x+14y=1,即x+y=原方程的图形表示圆.
14
2
2
22
[例4]自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆22
x+y-4x-4y+7=0相切,求光线L所在的直线方程.
错解:
设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称,L过点A(-3,3),点A关于x轴的对称点A′(-3,-3),于是L′过A(-3,-3).
设L′的斜率为k,则L′的方程为y-(-3)=k[x-(-3)],即kx-y+3k-3=0,
22
已知圆方程即(x-2)+(y-2)=1,圆心O的坐标为(2,2),半径r=1因L′和已知圆相切,则O到L′的距离等于半径r=1
2k23k3
2
5k5
2
1
k1k1即
2
整理得12k-25k+12=0
解得k=
44
L′的方程为y+3=(x+3)33
即4x-3y+3=0因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3=0.错因:
漏解
正解:
设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称,L过点A(-3,3),点A关于x轴的对称点A′(-3,-3),于是L′过A(-3,-3).
设L′的斜率为k,则L′的方程为y-(-3)=k[x-(-3)],即kx-y+3k-3=0,
22
已知圆方程即(x-2)+(y-2)=1,圆心O的坐标为(2,2),半径r=1因L′和已知圆相切,则O到L′的距离等于半径r=1
2k23k3
2
5k5
2
1
k1k1即
2
整理得12k-25k+12=0
解得k=
43或k=34
43
L′的方程为y+3=(x+3);或y+3=(x+3)。
34
即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0
因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
[例5]求过直线x2y40和圆x2y22x4y10的交点,且满足下列条件之一的圆的方程:
(1)过原点;
(2)有最小面积.
解:
设所求圆的方程是:
xy2x4y1x2y40
2
2
即:
xy2x22y140
2
2
(1)因为圆过原点,所以140,即
故所求圆的方程为:
xy
2
2
1
4
77
xy0.42
2
(2)将圆系方程化为标准式,有:
25242
xy2
2455
当其半径最小时,圆的面积最小,此时
2
2
2
为所求.5
2
484
故满足条件的圆的方程是xy.
555
点评:
(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以待
定系数法。
(2)面积最小时即圆半径最小。
也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小.
[例6](06年辽宁理科)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2px(p0)上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足||=||.设圆C的方程为xy(x1x2)x(y1y2)y0
(1)证明线段AB是圆C的直径;
(2)当圆C的圆心到直线x2y0的距离的最小值为
2
2
2
2时,求p的值.5
解:
(1)证明∵|OAOB|=|OAOB|,∴(OAOB)=(OAOB),整理得:
OAOB=0∴x1x2+y1y2=0
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MAMB=0即(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0整理得:
x2y2(x1x2)x(y1y2)y0故线段AB是圆C的直径.
(2)设圆C的圆心为C(x,y),则
22
x1x2x2
yy1y22
∵y12px1,y22px2(p0)
2
2
yy2∴x1x212
4p
又∵x1x2+y1y2=0,x1x2=-y1y2
22
yy2
∴-y1y212
4p
∵x1x2≠0,∴y1y2≠0∴y1y2=-4p
2
22
x
x1x21112222
(y1y2)(y1y22y1y2)y1y224p4p4p
=
1
(y22p2)p
2
2
所以圆心的轨迹方程为ypx2p设圆心C到直线x2y0的距离为d,则
=
|x2y|
5
|
12
(y2p2)2y|p
|(yp)2p2|
5p
当y=p时,d有最小值∴p=2.
四、典型习题导练
p,由题设得
p=
25
5
1.直线xy20截圆xy4得的劣弧所对的圆心角为()
A.
ππππ
6432
2
2
222.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)+y=4相切,那么a的值是
()
A.5B.4C.3D.23.如果实数x、y满足等式(x-2)+y=3,则
2
2
y
的最大值x
为:
.
22
4.设正方形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)的外接圆方程为x+y-6x+a=0(a<9),C、D点所在直线l的斜率为
1
.3
(1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率;
(2)如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点,以x轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线l的方程;
(3)如果ABCD的外接圆半径为25,在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线l的方程.
5.如图,已知圆C:
(x+4)+y=4。
圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。
圆D与y轴交于A、B两点,点P为(-3,0).
(1)若点D坐标为(0,3),求∠APB的正切值;
(2)当点D在y轴上运动时,求∠APB的正切值的最大值;
(3)在x轴上是否存在定点Q,当圆D在y轴上运动时,∠AQB是定值?
如果存在,求22
坐标;如果不存在,说明理由
.
出点Q