阶微分方程的解的存在定理.docx

1、阶微分方程的解的存在定理第三章 一阶微分方程的解的存在定理教学目的讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理， 解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理教学要求掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。教学重点几个主要定理的条件及其证明教学难点逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解； 奇解及其求法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。课题导入在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。解决了几个特

2、殊的方程。 但是，对许多微分方程，为yx2 y2，不可能通过初等积分法求解，这就产生 了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者 说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时， 农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的 进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定 理， 3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理， 解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。教学要求熟练掌握Picard逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的

3、存在与唯一性 定理及其证明，会用Picard逼近法求近似解，教学重点Picard存在唯一性定理及其证明教学难点逐次逼近分析法的应用及其思想 教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法 教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。存在唯一性定理定理1,考虑初值问题(3.1 )y(x) =y其中f(x,y)在矩形区域R : |x -x 匡 a,|y -y 匡 b (3.2 )上连续，并且对 y满足Lipsthits 条件：即存在常数 L0,使对所有(x, yi),(x, y2) R 常存成立，I f(x, yi) - f (x,y2)C L | yi - y2 |则初值问题(cauchy问

4、题)(3.1 )在区间|x-x0匡h上解存在唯一，这里b h = min (a,),M max | f (x, y) |M (x,y)Wx证明思路：1.初值问题(3.1 )的解存在等价一动积分方程y = y0 f (x, y)dy x0(3.5 )的连续解。2.构造(3.5 )所得解函数序列 :n(x)任取一连续函数0(x) , |，0(x - y。)匸b代入(3.5 )左端的y ,得x1(X)=y0+J f (X,e(X)dX%(X)n(X)x0X% 十(x) =y + ( f(x,n(x)dx, n =1,2八3.函数序列 n(x)在| X0 -h,X0 h |上一致收敛到(x)。这里为3

5、X nim(x)y0 ”m： x f (x，:n(x)dx=y。+ limf (x,叫(x)dxx即 n(x) =y。+ x lim f (x,n(x) 贝 U 需 f(x,(x) 由為 n_cI f(X, n(x) -f(X,(x)|n-(X)| 则 需 b(X)= (X。) 由 于n;：o(xr、( ：k(xU(x) ：n(x)从而 k(x)在X。-h,Xo h上的一收敛性等k=1价于函数项级数od：0(X)-二(：n(X)- ：n(X)在X。-h, X。h 一收敛性。n 44.(x)为(3.5 )的连续解且唯一。首先在区间x,x。h是讨论，在Xo-h,x。上类似。命题3.1初值问题(3.

6、1 )等价于积分方程Xy = y。+ J f (x, y)dx (3，5)Proof:若 y = :(x)为(3.1 )的解，则:= f(x, (X)dxI (x。)= y。对第一式从Xo到X取定积分可得X(X) -(X。)= f(x, (x)dxxox即 o)=y。 f(x, (x)dxxo反之，若y二(x)为(3.5 )的连续解。，则有X件刈=丫。+ f(x#(x)dx由于对f(x,y)在R上连续，从而f(x, (x)连续故对上两式两边求导得d (x)f (x, (x)dxx且(Xo)=yo + J f (x,(x)dx = y。即 (x) = y 为(3.1 )的连续解。xo下面取：(x

7、。)=y。，构造picard逐步逼近函数如下：命题2,对于所有 和Xo, Xo h, ：n(x)；连续且满足| ：n(X -y。)汕Proof(用数学归纳法证明)XN=1 时，(x) = y。亠 I f ( , yo)d ,虽然在x。 h, l(x)上连续且“Xoz zli(x)y|=| J f(y)d 切兰 j f(Jyo)dEM(x Xo)兰 MhEbzo zo设命题2为n=k时成立即 (x)在xo h, (x)上连续，且| ：h(x)y匡b当n = k 1时X和卅(x) =y + fG,yo)d：由 f(x, y)在 R 上连续 可知，f (xk(x)在LX0Xo h, ：n(x)上连续

8、从而 1( x)在Xo h, n(x)上连续且z z|“(x)yo 冃fGk(x)d 切兰 Jz f(Jyo)d 兰 M(xXo)兰 Mhbzo zo而命题2,在n二k =1时成立，故由数学归纳法得知，命题跋对所有 n成立命题3。函数序列(x)在xo h, ；(x)上一致收敛Proof:考虑函数级数：cd0(x) 、( k(x) - k4(x) = n(x),x Xo,Xo h (3.9)n它前几项和为msjx)o(x) v ( k(x) -k(x) =n(x)k=1于是 n(x) 一致收敛性等于(级数3.9 )的一致收敛性等价，我们对级数(3.9) 的通项进行诂计则当x0 _x _x0 h时

9、，由Lipsthits 条件有从而当x0乞x乞x0 h时n(x)f(x)血 hX0,X0 h, 一致收敛，因而 ；：n(x)在X0,X0 h,上一致收敛。现设lim ：:n(x) V(x)， x 一 x 一 x h则由(x)连续性和一致收敛性得 (x)在 nj .Xo, Xo h,上连续且：(x) - yo I b命题4. n(x)是积分方程(3.5)的定义于X0,X0 - h,上的连续解.Proof:由 Lipschits 条件以及 n(X) 在Xo,Xo,上的一致收敛,解出函数列 fn(X), (fn(X f (X, (X)在Xo,X。 h,上的一致收敛于函数 f (X, (X).因而对(

10、3.7)两边取极限.得到X：n(X)*0 nm X f(，；：nj( )d二 y。 lim f ( , ：m( )dLXo n_jpcX即n(x)=y+ fM(E)dLXo这表明.(X)是积分方程(3.5)在Xo，Xo h,的连续解.命题目四得证.命题5.设,是积分方程(3.5)的定义于X。空x乞X。h上的一个连续解.则(x)：(x), x Xo, hProf:令g(x) =|(x)-(x)|则g(x)是定义在xo,xo h,的的非负连续函数.由(X)和(x)所满足的积分方程式和f(x.yo)的Lipschits条件得Xg(x)x | f( , ()- f( , ()dxoX X兰 L j |

11、呻)一督)炉=LJ gG)dXo Xo容易验证的条件来代替,如果f (x, y), fy(x, y)在R上连续,则fy(x, y)在R上有界,令| fy(x,y)乞L|在R上成立,则由微分中值定理可以得出I f(x, yj - f (x, y?)日 fy(x, y?)讪1 - 祠 11 力 - y L 丨力 - y?丨但反过来,满足Lipschits 条件的函数f (x,y)不一定有偏导数存在，例如函 数f (x, y) =| y |在任何区域满足Lipschits条件，但它在y=0处偏导数不存在. 定理中h=mi门乂,匕的几何意义，在矩形R中有|f(x, y)匡M,故初值问M题(3.1 )的

12、解曲线的斜率定于-M与M之间，过点(xo,yo)分别作斜率为一M到M的直线，当Mb时如图(a)所示，解y二(x)在ax0 - a _ x _ x0 a中有定义，而当M 时劝图(b)所示。不能保证解ay = (x)在x0-a_x_x0 a中有定义。它有可能在区间内跑到矩形 R外去，使得f (x, y)无定义，只有x x 时才能保证解y V(x)m m则当p(x), (x)在| :，上连续时，定理 1的条件才能满足且任一初值y(x) = y,x :，订所确定的解在:，订存在定义，连续定理2考虑一阶微分方程f(x,y,y)=O (3.5 )如果在点(xoyoyo)的某一个域中满足10 f(x,y,

13、y)对所以变化(x,y,y)连续。且存在连续偏导数2.f (x,yo,yo)=03o 戲(xo, yo, y。)亠0则方程(3.5)存在唯一解y = y(x),| x-X。|三h,满足条件y(xo) = yo, y(xo) = y。分析：由1 o， 2o，3o及验证函数存在定理，f (x, y, y)=o能确定一阶函数y= f (x, y)且 f (x, y)在 (xo, yo)内 连续。且满足 y = f (xo, yo)因二定似计算和误差估计存在唯一性定理不公肯定了解的存在唯恐天下不乱一性，并且给出了求 方程近似解的一种方法一一Picrcl逐步逼近法，对方程的第 n次近似解：n(x)厂%

14、(x) = yoW xti(x)=yo+ f(x%(x)dx,n=1,2它和正真解y二;：(x)在xo -h,xo h内的误差估计为Ln(x) 一(x)|乞叫 hn1 ( 3.19)(n +1)!上式可用数学归纳法证明x|o(x)-申(x)|兰| f(J(G)|d 如(X-X)WMhXoml n ml nA设 I 2(X)(X)卜牛(x Xo)J *hn1 n! n!X XI 咋(X)(X)|兰(| f(J2(0) - 口严化)1卅列 |nG)G)|dML n!0 - Xo-X( ) Xo)nd M(X-Xo)n1 虬hn 1刈 (n 1)! (n 1)!这样，我们在进行近似计算的时候，可以根

15、根据误差的要求，先取适当 的逐步逼近函数：n(X)。例1.讨论初值问题dy =x2 y2, y(0) = 0d解存在唯一区间。并求在此区间上与真正解的误工费差不超过 0.05的近似解的表达式，其中R -1乞x乞1,-1乞y乞1.1 1解：这里 M = max | f (x, y)戶2, h = min1, .在 R上,由于(X,y)赤 2 2:f| |=|2y|L(3.19)由63 2079 595350.05.例2讨论初值问题字=1 y,y(0) =0dx解存在且唯一区间解：对任意给定的正数a,b,函数f (x, y) =1 y2均在矩形区域R=( x, y)|xhia,|y6内连续且对y有连续的偏导数,计算M = max | f(x,y)卜1 b2,h = mina, J (x,y)于 i i 1 + b2驚=-为 的最大值，故可取a=1,b=1,此时依定理得到初值问题解1 b2 2 1 b2存在唯一的区间是_丄乞x2 2例3.利用picanl选代法求初值问题，dy =2x(1 y),y(0) =0 的解dx解;初值问题等价于积分方程xy(x)二2x(1 - y(x)dx其选代序列分别为y(x) =0X 2y,x)二 2xdx 二 xx04/、 2 + Xyn(X)=X2!6x3!cnn!取极限得x2nim .yn(xe -1