阶微分方程的解的存在定理.docx
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阶微分方程的解的存在定理
第三章一阶微分方程的解的存在定理
教学目的
讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定
理，解对参数的连续性定理
教学要求
掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可
微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。
教学重点
几个主要定理的条件及其证明
教学难点
逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解
及其求法
教学方法
讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段
传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
课题导入
在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。
解决了几个特殊的方程。
但是，对许多微分方程，为y'x2■y2，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？
或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？
当有解时，农的解是否
是唯一的呢？
毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理，
§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
教学目的
讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解
对初值的连续性与可微性定理。
教学要求
熟练掌握Picard逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard逼近法求近似解，
教学重点
Picard存在唯一性定理及其证明
教学难点
逐次逼近分析法的应用及其思想•
教学方法
讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法教学手段
传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
存在唯一性定理
•定理1,考虑初值问题
（3.1）
「y（x°）=y°
其中f（x,y）在矩形区域
R:
|x-x°匡a,|y-y°匡b（3.2）
上连续，并且对y满足Lipsthits条件：
即存在常数L>0,使对所有
（x,yi）,（x,y2）R常存成立，
If（x,yi）-f（x,y2）CL|yi-y2|
则初值问题（cauchy问题）（3.1）在区间|x-x0匡h上解存在唯一，这里
bh=min（a,—）,Mmax|f（x,y）|
M（x,y）W
x
证明思路：
1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程y=y0•f（x,y）dyx0
（3.5）的连续解。
2.构造（3.5）所得解函数序列｛:
n（x）｝
任取一连续函数「0（x）,|，0（x-y。
）匸b代入（3.5）左端的y,得
x
®1（X）=y0+Jf（X,e（X））dX%（X）^n（X）
x0
X
%十（x）=y°+（f（x,®n（x））dx,n=1,2■八
3.函数序列｛n（x）｝在|X0-h,X0h|上一致收敛到（x）。
这里为3
Xnim（x）y0”m：
xf（x，:
n（x））dx
=y。
+［limf（x,叫（x））dx
x
即®n（x）=y。
+xlimf（x,®n（x））贝U需f（x,®（x））由
為n_^c
If（X,n（x））-f（X,「（x））|」「n-「（X）|则需「b（X）=（X。
）由于
n
;：
o（xr、（：
k（xU（x））—：
n（x）从而｛k（x）｝在［X。
-h,Xoh］上的一收敛性等
k=1
价于函数项级数
od
：
：
0（X）-'二（：
：
n（X）-：
：
n」（X））在［X。
-h,X。
h］一收敛性。
n4
4.「（x）为（3.5）的连续解且唯一。
首先在区间［x°,x。
h］是讨论，在［Xo-h,x。
上类似。
命题3.1初值问题（3.1）等价于积分方程
X
y=y。
+Jf（x,y）dx（3，5）
Proof:
若y=:
（x）为（3.1）的解，则:
=f（x,（X））
dx
I®（x。
）=y。
对第一式从Xo到X取定积分可得
X
（X）-「（X。
）=f（x,（x））dx
xo
x
即o）=y。
f（x,（x））dx
xo
反之，若y二（x）为（3.5）的连续解。
，则有
X
件刈=丫。
+｛f（x#（x））dx
由于对f（x,y）在R上连续，从而f（x,（x））连续故对上两式两边求导得
d（x）
f（x,（x））
dx
x
且®（Xo）=yo+Jf（x,®（x））dx=y。
即®（x）=y为（3.1）的连续解。
xo
下面取：
：
（x。
）=y。
，构造picard逐步逼近函数如下：
命题2,对于所有和Xo,Xoh,：
n（x）；连续且满足
|：
n（X-y。
）汕
Proof（用数学归纳法证明）
X
N=1时，\（x）=y。
亠If（,yo）d',虽然在[x。
h,l（x）]上连续且
“Xo
zz
l®i（x）—y°|=|Jf（©y°）d切兰jf（Jyo）d©EM（x—Xo）兰MhEb
zozo
设命题2为n=k时成立即\（x）在［xoh,\（x）］上连续，且|：
：
h（x）「y°匡b
当n=k•1时
X
和卅（x）=y°+［fG,yo）d：
由f（x,y）在R上连续可知，f（x^k（x））在
LX0
［Xoh,：
n（x）］上连续从而\1（x）在［Xoh,n（x）］上连续且
zz
|®“（x）—yo冃〔fG®k（x））d切兰Jzf（Jyo）d©兰M（x—Xo）兰Mh^b
zozo
而命题2,在n二k=1时成立，故由数学归纳法得知，命题跋对所有n成立
命题3。
函数序列\（x）在［xoh,；（x）］上一致收敛
Proof:
考虑函数级数：
cd
0（x）、（k（x）-k4（x））=n（x）,x[Xo,Xoh]（3.9）
n¥
它前几项和为
m
sjx）」o（x）v（'k（x）-「k」（x））=「n（x）
k=1
于是{n（x）}一致收敛性等于（级数3.9）的一致收敛性等价，我们对级数（3.9）的通项进行诂计
则当x0_x_x0•h时，由Lipsthits条件有
从而当x0乞x乞x0h时
「n（x）f（x）血h
［X0,X0h,］一致收敛，因而｛；：
n（x）｝在［X0,X0h,］上一致收敛。
现设lim：
:
n（x）V（x），x°一x一x°•h则由\（x）连续性和一致收敛性得‘（x）在n—j.
[Xo,Xo■h,]上连续且「：
（x）-yoI—b
命题4.n（x）是积分方程（3.5）的定义于［X0,X0-h,］上的连续解.
Proof:
由Lipschits条件
以及｛n（X）｝在［Xo,Xo「,］上的一致收敛,解出函数列
{fn（X）},（fn（X^f（X,\（X））在［Xo,X。
h,］上的一致收敛于函数f（X,\（X）.因而
对（3.7）两边取极限.得到
X
：
n（X）*0nmXf（，；：
nj（））d
二y。
'limf（,：
m（））d
LXon_jpc
X
即®n（x）=y°+［fM（E））dL
Xo
这表明.（X）是积分方程（3.5）在［Xo，Xoh,］的连续解.命题目四得证.
命题5.设,是积分方程（3.5）的定义于X。
空x乞X。
h上的一个连续解.则
（x）」：
（x）,x［Xo,h］
Prof:
令g（x）=|「（x）-「（x）|则g（x）是定义在［xo,xoh,］的的非负连续函数.由
（X）和（x）所满足的积分方程式和f（x.yo）的Lipschits条件得
X
g（x）「x|f（,（））-f（,（））d
xo
XX
兰Lj|呻）一督）炉=LJgG）d©
XoXo
容易验证的条件来代替,如果f（x,y）,fy（x,y）在R上连续,则fy（x,y）在R
上有界,令|fy（x,y）乞L|在R上成立,则由微分中值定理可以得出
If（x,yj-f（x,y?
）日fy（x,y?
）讪1-祠11力-y£L丨力-y?
丨
但反过来,满足Lipschits条件的函数f（x,y）不一定有偏导数存在，例如函数f（x,y）=|y|在任何区域满足Lipschits条件，但它在y=0处偏导数不存在.⑵定理中h=mi门｛乂,匕｝的几何意义，在矩形R中有|f（x,y）匡M,故初值问
M
题（3.1）的解曲线的斜率■定于-M与M之间，过点（xo,yo）分别作斜率
为一M到M的直线，当M^b时如图（a）所示，解y二（x）在
a
x0-a_x_x0a中有定义，而当M'—时劝图（b）所示。
不能保证解
a
y=（x）在x0-a_x_x0a中有定义。
它有可能在区间内跑到矩形R外
去，使得f（x,y）无定义，只有x^—mm
则当p（x）,（x）在|:
•，"上连续时，定理1的条件才能满足且任一初值
y（x°）=y°,x°[:
，订所确定的解在[:
，订存在定义，连续
定理2考虑一阶微分方程
f（x,y,y'）=O（3.5）
如果在点（xo’yo’y'o）的某一个域中满足
10f（x,y,y'）对所以变化（x,y,y'）连续。
且存在连续偏导数
2°.f（x°,yo,y'o）=0
3o戲（xo,yo,y。
'）亠0
则方程（3.5）存在唯一解y=y（x）,|x-X。
|三h,
满足条件
y（xo）=yo,y'（xo）=y。
'
分析：
由1o，2o，3o及验证函数存在定理，f（x,y,y'）=o能确定一阶函数
y'=f（x,y）且f（x,y）在（xo,yo）内连续。
且满足y'=f（xo,yo）因
二定似计算和误差估计
存在唯一性定理不公肯定了解的存在唯恐天下不乱一性，并且给出了求方程近似解的一种方法一一Picrcl逐步逼近法，对方程的第n次近似解
■：
n（x）
厂
%（x）=yo
Wx
ti（x）=yo+[f（x%（x））dx,n=1,2…
它和正真解y二;：
（x）在［xo-h,xoh］内的误差估计为
Ln（x）一（x）|乞叫hn1（3.19）
（n+1）!
上式可用数学归纳法证明
x
|®o（x）-申（x）|兰[|f（J®（G）|d©如（X-X°）WMh
■Xo
mln」mlnA
设I2（X）「（X）卜牛（x—Xo）J*hn1n!
n!
XX
I咋（X）—®（X）|兰（|f（J®2（0）-口©严化）1卅列|®nG）—®G）|d©
ML
<
n!
0-Xo
-X（（）—Xo）ndM^（X-Xo）n1虬hn1
刈（n1）!
（n1）!
这样，我们在进行近似计算的时候，可以根根据误差的要求，先取适当的逐步逼近函数：
：
n（X）。
例1.
讨论初值问题
dy=x2y2,y（0）=0
d
解存在唯一区间。
并求在此区间上与真正解的误工费差不超过0.05
的近似解的表达式，其中R-1乞x乞1,-1乞y乞1.
11
解：
这里M=max|f（x,y）戶2,h=min{1,—}.在R上,由于
（X,y）赤22
:
f
|—|=|2y|»L
（3.19）
由
63207959535
0.05.
例2讨论初值问题
字=1y,y（0）=0
dx
解存在且唯一区间•
解：
对任意给定的正数a,b,函数f（x,y）=1•y2均在矩形区域
R={（x,y）||xhia,|y^6}内连续且对y有连续的偏导数,计算
M=max|f（x,y）卜1b2,h=min{a,J}
（x,y）于ii'1+b2
驚=-为的最大值，故可取a=1,b=1,此时依定理得到初值问题解
1b221b2
存在唯一的区间是_丄乞x
22
例3.
利用picanl选代法求初值问题，
dy=2x（1y）,y（0）=0的解•
dx
解;初值问题等价于积分方程
x
y（x）二2x（1-y（x））dx其选代序列分别为
y°（x）=0
X2
y,x）
二2xdx二x
x0
4
/、2+X
yn（X）=X
2!
6
x
3!
cn
n!
取极限得
x2
nim.yn（x^e-1
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