树图.docx

1、树图第三讲 树（Tree）树型结构是一类重要的非线性结构，树型结构是结点之间有分支，并具有层次关系的结构，它非常类似于自然界中的树。树型结构在客观世界中是大量存在的，例如家谱、行政组织结构都可用树形象的表示。树在计算机领域中也有着广泛的应用，例如在编译程序中，用树来表示源程序语法结构；在数据库系统中，可以用树来组织信息。从本讲开始重点讲解什么是树和二叉树，下一讲将和大家共同讨论二叉树遍历。一、 树的概念：在现实生活中，存在很多可用树型结构描述的实际问题，例如，某家族的血统关系如下：张源有三个孩子张明、张亮和张丽；而张明有两个孩子张林和张维；张亮有三个孩子张平、张华和张君；张平有两个孩子张晶和张

2、磊。这个家庭关系可以很自然地用图一所示的树型图来描述，它很象一倒画的树。其中“树根”是张源，树的“分支点”是张明、张亮和张平，该家族的其余成员均是“树叶”，而树枝则描述了家族成员之间的关系。显然，以张源为根的树是一个大家庭。它可以分成张明、张亮和张平为根的三个小家庭；每个小家庭又都是一个树型结构。由此可抽象出树的递归定义。 图一定义：树（Tree）是n（n0）个结点的有限集合T，它满足如下两个条件：（1）、有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点； （2）、其余的结点可分为m（m0）个互不相交的有限集合T1，T2，Tm，其中每个集合又是一棵树，并称其为根的子树（Subtree）。注意：有的文

3、献为了方便，也将n0的空集合定义为空树。 在树的树型图表示中，结点通常是用圆圈表示的，结点名字一般是写在圆圈旁边见图二，有时也可以写在圆圈内。树的递归定义刻化树的固有特性，即一种树是由若干棵子树构成的，而子树又可由若干棵更小的子树构成。用该定义来分析图二所示的树，它是由结点有限集TA，B，C，D，E，F，G，H，I，J所构成。其中A是根结点，T中其余结点，可分成三个互不相交的子集；T1B，E，F， I，J，T2C，T3D，G，H；T1，T2和T3是根结点A的三棵子树，且本身又都是一棵树，例如T1，其根为B，其余结点可分为两个互不相交的子集T11E和T12F，I，J，它们都是B的子树。T11是只

4、含有一个根结点E的树；而T12的根F有两棵互不相交的子树I和J，其本身有都是只含有一个结点的树。对T1和T3也可以进行类似的分析。（a）树型表示法 （b）集合表示法图二下面给出树结构中常用的基本术语，其中有许多术语借用了家族树中的一些习惯用词。一个结点的子树个数称为该结点的度（Degree）。一棵树的度是指该树中结点最大度数。度为零的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。如图二中，A、B、E的度分别为3、2、0。树的度为3，C、E、G、H、I和J均为叶子。度不为零的结点或非终端结点，除根据结点之外的分支结点统称为内部结点。树中某个结点子树之根称为该结点孩子（Child）或儿子，相应地，该结点称为

5、孩子的双亲（Parents）或父亲。如图二中，B是结点A的子树T1的根，故B是A的孩子，而A是B的双亲。同一个双亲的孩子称为兄弟（Sibling）。如图二中，B、C、D互为兄弟。若树中存在一个结点序列k1，k2，kj，使得ki是ki+1的双亲（1ij），则称该结点序列是从ki到kj的一条路径（Path）或道路。路径的长度等于j-1，它是该路径所经过的边（即连接两个结点的线段）的数目。由路径的定义可知，若一个结点序列是路经，则在树的树型图表中，该结点序列“自上而下”地通过路径上的每条边。例如，在图二中，结点A到I有一条路径ABFI，它的长度为3。显然，从树的根结点到树中其余结点均存在一条路径。但

6、是结点B和G之间不存在路径，因为既不可能从B点出发“自上而下”地经过若干结点到达G，也不可能从G出发“自上而下”地经过若干结点到达B。若树中结点k到ks存在一条路径，则称k是ks祖先（Ancestor），ks是k的子孙（Descendant）。显然，一个结点的祖先是从根结点到该结点路径上所经过的所有结点，而一个结点的子孙则是以该结点为根的子树中所有的结点。我们约定：结点k的祖先和子孙不包含结点k本身。例如，在图二所示的树中，F的祖先是A和B，F的子孙是I和J。结点的层数（Level）是从根开始算起的。设根结点的层数为1，其余结点的层数等于其双亲点的层数加1。例如在图二中，A的层数为1，B、C、

7、D的层数2，E、F、G、H的层数为3，I和J的层数为4。树中结点的最大层数称为树的高度（Height）或深度（Depth）。如图二中树的高度为4。若将树中每个结点的各子树看成是从左到右次序的（即不能互换），则称该树为有序树（Ordered Tree）；否则称为无序树（Unorded Tree）。作为有序树，图三中的两棵树是不同的，因为结点A的两个孩子在两棵树中的左右次序不同。在以后的讲解中，若不特别指明，我们所研究的树都是有序树。 图三森林（Forest）是m（m0）棵互不相交的树的集合。树和森林的概念很相近，删去一棵树的根，就得到一个森林。反之，加上一个结点作树根，森林就变为一棵树。树型结构

8、的逻辑特征可用树中结点之间的父子关系来描述：树中任一结点都可以有零个或多个后继（即孩子）结点，但至多只能有一个前驱（即双亲）。树中只有根结点无前驱，叶结点无后继。父子关系是非线性的，故树型结构是非线性结构。祖先与子孙的关系是对父子关系的延拓，它定义了树中结点的纵向次序。有序树的定义使得同一组兄弟结点之间是从左到右有长幼之分的。如果对这一关系加以延拓，规定若k1和k2是兄弟，且k1在k2的左边，则k1的任一子孙都在k2的任一子孙的左边，那么我们就定义了树中结点的横向次序。二、 什么是二叉树二叉树是树型结构的一个重要类型，许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树的形式，即使是一般的树也能简单地转

9、换为二叉树，而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此，二叉树显得特别重要。定义：二叉树（Binary Tree）是（n0）个结点的有限集，它或者是空集（n0），或者由多个根结点及两棵互不相交、分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。这也是一个递归定义。二叉树可以是空集，因此，根可以有空的左子树或右子树，或者左右子树皆为空。因此，二叉树有五种基本形态，如下图所示。 二叉树中，每个结点最多只能有两棵子树，并且有左右之分。显然，它与无序树不同。其实它与度数为2的有序树也不同，这是因为在有序树中，虽然一个结点的孩子之间是有左右次序的，但是若该结点只有一个孩子，就无须区分其左右次序。而在二叉树中

10、，即使是一个孩子也有左右之分。例如，图五中（A）和（B）是两棵不同的二叉树，虽然它们同图六中的普通树（作为有序树或无序树）很相似，但是它们却不能等同于这棵普通树。若将这棵树均看做普通树，则它们就是相同的了。 图五 图六 由此可见，二叉树并非是树的特殊情形，尽管二者有许多相似之处，但它们是两种不同的数据结构。遍历概念所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，是二叉树上进行其它运算之基础。遍历方案1 遍历方案从二叉树的递归定义可知，一棵非空的二叉树由根结点及左、右子树这三个基

11、本部分组成。因此，在任一给定结点上，可以按某种次序执行三个操作： （1）访问结点本身(N)， （2）遍历该结点的左子树(L)， （3）遍历该结点的右子树(R)。以上三种操作有六种执行次序： NLR、LNR、LRN、NRL、RNL、RLN。注意：前三种次序与后三种次序对称，故只讨论先左后右的前三种次序。2 遍历的命名根据访问结点操作发生位置命名： NLR：前序遍历(PreorderTraversal)访问结点的操作发生在遍历其左右子树之前。 LNR：中序遍历(InorderTraversal)访问结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。 LRN：后序遍历(PostorderTraversal)

12、访问结点的操作发生在遍历其左右子树之后。 层次遍历，又叫宽度优先遍历，即一层一层，从左到右的访问所有节点。注意： 由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node)、L(Left subtlee)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。遍历序列1遍历二叉树的执行踪迹 三种递归遍历算法的搜索路线相同（如下图虚线所示）。 具体线路为： 从根结点出发，逆时针沿着二叉树外缘移动，对每个结点均途径三次，最后回到根结点。 2遍历序列（1） 中序序列 中序遍历二叉树时，对结点的访问次序为中序序列【例】中序遍历上图所

13、示的二叉树时，得到的中序序列为： D B A E C F（2） 先序序列 先序遍历二叉树时，对结点的访问次序为先序序列 【例】先序遍历上图所示的二叉树时，得到的先序序列为： A B D C E F（3） 后序序列 后序遍历二叉树时，对结点的访问次序为后序序列【例】后序遍历上图所示的二叉树时，得到的后序序列为： D B E F C A注意：（1） 在搜索路线中，若访问结点均是第一次经过结点时进行的，则是前序遍历；若访问结点均是在第二次(或第三次)经过结点时进行的，则是中序遍历(或后序遍历)。只要将搜索路线上所有在第一次、第二次和第三次经过的结点分别列表，即可分别得到该二叉树的前序序列、中序序列和

14、后序序列。（2） 上述三种序列都是线性序列，有且仅有一个开始结点和一个终端结点，其余结点都有且仅有一个前趋结点和一个后继结点。为了区别于树形结构中前趋(即双亲)结点和后继(即孩子)结点的概念，对上述三种线性序列，要在某结点的前趋和后继之前冠以其遍历次序名称。【例】上图所示的二叉树中结点C，其前序前趋结点是D，前序后继结点是E；中序前趋结点是E，中序后继结点是F；后序前趋结点是F，后序后继结点是A。但是就该树的逻辑结构而言，C的前趋结点是A，后继结点是E和F。图的定义与术语图(G)是一种比线性表和树结构更复杂的数据结构，是非线性的数据结构，应用非常广泛。图：图G由两个集合V（G）和E（G）组成，

15、记为：G=（V，E）。其中，V（G）是顶点的非空有限集合，E（G）是边的有限集合，边是顶点的无序对或有序对。有向图：若E（G）是有向边（也称为弧）的有限集合时，则为有向图。弧是顶点的有序对，记为，其中V、W是顶点，V称为弧尾，W称为弧头。我们说是从顶点V到顶点W的弧，也可说顶点W和顶点V相邻，或V邻接W。无向图：若E（G）是无向边（简称边）的有限集合时，则为无向图。边是顶点的无序对，记为（V，W）或（W，V），因为（V，W）=（W，V），其中V、W是顶点。我们说（V，W）是V邻接W，或W邻接V。例：有向图G1和无向图G2图G1有V(G1)=1，2，3，4，5，6E(G1)=， 图G2有V(G2

16、)=1，2，3，4，5，6，7E(G2)=(1，2)，(2，3)，(3，1)，(2，4)，(2，5)，(5，6)，(5，7) 完备图无向图：对一个有n个顶点的无向图，若每个顶点到其它(n-1)个顶点都连有一条边，则图中共有n(n-1)/2条边。 完备图有向图：对一个有n个顶点的有向图，若任何两顶点都有方向相反的两条弧连接，则图中共有n(n-1)条弧。 权：若图上的每条边有一相应的数值，这个数值就叫该边的权。这种图一般叫做网络。 路径：在一个图中，若从顶点V1出发，沿一些边经过顶点V2，V3，.，Vn-1到达顶点Vn，则成顶点序列(V1，V2，.，Vn-1，Vn)为从V1到Vn的路径。对于有向图

17、，路径也是有向的，路径的方向是由起点到终点且需与它经过的每条边的方向一致。 路径长度：沿此路径上边的数目为路径长度；对有权的图，一般取沿路径各边的权之和作为此路径的长度。 简单路径：如果一条路径上的所有顶点，除起始顶点和终止顶点外，都是彼此不同的，则可说该路径是一条简单路径。 简单回路：如果一条简单路径，其长度2，且路径起始和结束在同一顶点上，则说该路径是一个简单回路。 单向连通：若从顶点V到顶点W有一条路径，则说V到W是单向连通，或称连通的。 连通图：如果图G中任意两个顶点都是连通的，则说G是一个连通图。非连通图的每一个连通部分叫连通分量。 强连通图：对于有向图，若从顶点Vi到顶点Vj和从顶点Vj到顶点Vi之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。非强连通图的每一个强连通部分叫强连通分量。 度：与每个顶点相连的边数，称为该顶点的度。对于有向图，顶点的度有入度和出度之区别，以顶点V为头的弧的数目称为V的入度，以顶点V为尾的弧的数目称为V的出度。 子图：设G=(V，E)和G=(V，E)是两个有向图，如果有VV，EE，则说G是G的子图。