基本不等式知识梳理.docx

1、基本不等式知识梳理基本不式知识梳理(总9页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1CAL本页仅作为文档封面使用请直接删除基本不等式【考纲要求】1了解基本不等式 的证明过程，理解基本不等式的儿何意义，并掌握定理中2的不等号“事”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.会用基本不等式x/2ab （当且仅当a = b时取等号.2.基本不等式：如果Gb是正数，那么（当且仅当a=b时取等号.2要点诠释：a2+b22ab和口 n他两者的异同：2（1） 成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数：（2） 取等号的条件在形式上是相同的，都是当且仅当a = h时

2、取等号”。2. 2 匕 匕（3） a2 +b2 2ab 可以变形为：ab C， , 可以变形为：ab2abo当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点,这 时有 a2+b2=2abo得到结论：如果,bwR+,那么a2+b22ab （当且仅当a=b时取等号“=”）特别的，如果a0, bOf我们用血、丽分别代替、b,可得：如果a0,方0,则+ 二2亦，（当且仅当a=b时取等号=）通常我们把上式写作：如果。0, ,（当且仅当a=b时取等号“=”）22 代数法I a2+b2-2ab = （a-b）20,当“HbH寸，（“一b）20；当 a = b 时，(a b)2 = 0 .

3、所以（a2+b2）2abf （当且仅当a=b时取等号“=”） 特别的，如果6/0,方0,我们用奶、亦分别代替“、b,可得: 如果a0.方0,则a + b2 ,（当且仅当a=b时取等号“=）通常我们把上式写作：如果a0, /70,V,（当且仅当a = b时取等号“/） 2要点三、用基本不等式4b2ab 当且仅当 gb 时取“=”号。2） （sbe/r）,当且仅当gb时取号。23） - + -2 b0）；特别地：a + -2 （0）；b a a4) cib laba + b5)【典型例题】类型一：基本不尊式4b0, b沁 给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.(1) a+b+的最小值为2血；(2

4、)(a+b)(- + -)的最小值为4；a b(3) + !的最小值为一2a+ 4【解析】:(2)时取等号）.(1)Td。，/?0 A a + b + =2yab + =2yf2 (当且仅当 a=b =Jab Jab(2) g0, b0, + b)(丄+丄)22何丄 =4 (当且仅当a = b时取等号). a b y/ab(3) a 0 A a + ! = a + 4 + !-4 2 (a+ 4)-!-4 = -2,a + 4 a + 4 a + 4(当且仅当a + 4 = !即“ + 4 = h “ = 3时取等号)a + 4V0,与“ 3矛盾，上式不能取等号，即g +丄 _2a+ 4【总结

5、升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二泄三取等，缺一不可. 举一反三：【变式1】给出下面四个推导过程：1Tab已疋， + ?二2|= 2；2*/ x, ye/?, A lgx+lg y 2jlgxlgy ;43T a w R , a H 0， + a T x, ye/?,其中正确的推导为(A. B.0, + = = () + (丄)0)最大值为2-4忑D函数y = 2-3x-(x0)的最小值 x x为2【答案】c【解析】A选项中，XHO,当x0,时由基本不等式x + i2；x当x0时x +丄/?72 = 1时，成立)但是V?Z22，/.这是不可能的.选项B错误.C 选

6、项中，Vx0, A y = 2-3x- = 2-(3x + -)方0,则tr + ab a(a-h)的最小值是A. 1B 2 C.3 D. 4【解析】，1 1-1- 亠 /j A 4- /lh 亠 1 4-.1ab a(a-b)Cf Lit/ I lie/ i i aba(a-b)z/f z/ h + + (/? + 1 a(a-b)1 LIL7 1 Jab4【答案】D举一反三：9【变式1】若xOt求/(x) = 4x + 的最大值.x(-) =2=12x【解析】因为x0,由基本不等式得:-/ = -(4x + -) = (-4x) + (-)X X9 3(当且仅当一4兀=一 一即兀=一二时,

7、取等号)x 230故当只=-二时J(x) = 4x +匕取得最大值12.2 x【变式2】已知x0,求/(x) = 20 + 4x + 的最大值.x【解析】T x0 ,4I J- 4A (-x) + 2J(-x)=2x2 = 4 (当且仅当一x =即x = -2时，等号成立)-x V -x -x4 4A /(x) = 20-4(-.r) + 0, b0, a+b = 2,则y=- + 的最小值是a b7 9A一 B 4 C. D 52 2【解析】答案选c举一反三：【变式1】若x0”0,且？ + = 1,求;Q，的最小值.x y【解析】.xO,yO,2 8 2 8A l = - + -2 - x

8、y V x= 2 Q 1（当且仅当一=即x = 4, y = 16时，等号成立）x y 2/. 64 （当且仅当x = 4, - = 16时，等号成立）故当X = 4, y = 16时，小的最小值为64.1 O【变式2】lL知x0, y0,且一 + = 1,求x+y的最小值。=10 +丄+兰兀 y【解析】丄+?=1,1 9/. x + y = (x + y)- + y)=6Vx0, y0, :.- + 2x y（当且仅当-=，即y=3x时，取等号）又一=1 /. x=4, y=12x y：当x=4, y=12时,x+y取最小值16。 类型三：基本不等式应用1 1 25例 4.设工 y = 求证

9、：（x + -）（y + ） x y 4【证明】=x+- x八1y+一 V，夕 7 25 （、八=对 y + 2 + y 一丁 勺 +1 X 0 25=疋于+（1_2与）_亍与+ 1033u/ 2一二 2no 4 0 u. xy 3,求证:二i+ a7a-3【解析】 上一+。=丄 +（0-3） + 3 2 2上-（“-3）+3 = 2/7+3 = 7 “一3 。一3 Ya - 34（当且仅当=。一3即a = 5,等号成立）。一3【例5】（2015春 东城区期末）已知a 0,0,c0 ,且d + b + c = l求证:【解析】由题意可得a=b = c = 带入计算可得= 8 (2)山题意和基本

10、不等式可得“ + /? 2y/ab 0 , a+ c 2y/ac 0 , h + c 2/bc 0a + h + c = 八 0 )c ) a A b 八 cb + c a+ c a + b 2bc 2y/ac 2ab= =8a b c a b c举一反三：【变式】(2015石家庄一模)已知函数/(龙)= Jx + l|+|x_3|_?的定义域为R.求实数m的取值范围.若m的最大值为m当正数a、b满足一+ = n时，求7a+4b的最小值.3a+ b a + 2b【解析】(1)因为函数的定义域为R,卜+ 1| +卜_3| -加二0恒成立设函数g(x) = |x+l卜卜一3|则m不大于g(x)的最

11、小值l-(x-3)| = 4即 g(x)的最小值为 4, /.m x + 1 3a + 2b a + 2b3a + 2b a + 2b=-5 +当且仅当a + 2b = 3 + b时，即h =勿时取等号./. la + 4b的最小值为-4类型四：基本不等式在实际问题中的应用例6.某农场有废弃的猪圈，留有一而旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平而图为矩 + : a+ 21j 3a + h 丿a+2b 3a+b)形，面积为112m2,预计(1)修复1加旧墙的费用是建造1加新墙费用的25% , (2)拆去加旧墙用以改造建成1川新墙的费用是建1加新墙的50%, (3)为安装圈门,要在围墙的

12、适当处留出1加的空缺。试问：这里建造猪圈的帀墙应怎样利用旧墙.才能使所需的总费用最小【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为劝7，则拆改成新墙的旧墙为(12-X)加，112 224于是还需要建造新墙的长为2 + Gv-l)-(12-x) = 2x + -13.X X设建造1?新墙需用“元，建造圉墙的总造价为y元，则 y = 25% + (12 x)g50% + (2x + 一13)x=( + -7) 乂28逅一 7)4 x(当且仅当=即x = 8血时，等号成立)4 x故拆除改造旧墙约为12-8a/2米时，总造价最小.举一反三：【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限 1人，每天只限1次某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游 泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元要使每个 学生游8次，每人最少交多少钱【解析】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，则),=兰空40+240宀3840(当且仅当x=8时取“=”)x此时每人最少交80元.