ab<（^^）2・
222
3.如图，A3是圆的直径，点C是4B上的一点，AC=afBC=h,过点C作DC丄A3交圆于点
D连接ADBD
易证RlWCD〜Rt4CB、那么CD2=CA・CB,即CD=J^・
这个圆的半径为匚V，它大于或等于CD,即—其中当且仅当点C与圆心重合，即22
a=b时，等号成立.
要点诠释：
1•在数学中.我们称凹■为么"的算术平均数，称亦为“小的几何平均数.因此基本2
不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把凹看作是正数a"的等差中项，亦看作是正数“,b的等比中项，那么基本
2
不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
考点二：
基本不等式的证明
2
1.几何面积法
如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为“、b,那么正方形的边长为J/+F°这样，4个直角三角形的而积的和是lab,正方形ABCD的而积为a2+b\由于4个直角三角形的面积小于正方形的而积，所以：
a2+b2>2abo当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点,这时有a2+b2=2abo
得到结论：
如果",bwR+,那么a2+b2>2ab（当且仅当a=b时取等号“=”）
特别的，如果a>0,b>Of我们用血、丽分别代替"、b,可得：
如果a>0,方>0,则"+〃二2亦，（当且仅当a=b时取等号"="）•
通常我们把上式写作：
如果。
>0,—,（当且仅当a=b时取等号“=”）
2
2•代数法
Ia2+b2-2ab=（a-b）2>0,
当“HbH寸，（“一b）2>0；
当a=b时，（a—b）2=0.
所以（a2+b2）>2abf（当且仅当a=b时取等号“=”）・特别的，如果6/>0,方>0,我们用奶、亦分别代替“、b,可得:
如果a>0.方>0,则a+b>2^,（当且仅当a=b时取等号“="）・
通常我们把上式写作：
如果a>0,/7>0,V^<—,（当且仅当a=b时取等号“/）・2
要点三、用基本不等式4^b<—求最大（小）值
2
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：
一正二定三取等、，
1一正：
函数的解析式中，各项均为正数；
2二定；函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
3三取等：
函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
要点四、几个常见的不等式
1）a2+b2>2ab当且仅当gb时取“=”号。
2）—（sbe/r）,当且仅当gb时取号。
2
3）-+->2@・b>0）；特别地：
a+->2（«>0）；
baa
4）
>\[cib>
lab
a+b
5）
【典型例题】
类型一：
基本不尊式4^b<—的理解
2
例1.«>0,b沁给出下列推导，其中正确的有（填序号）.
（1）a+b+
的最小值为2血；
（2）（a+b）（-+-）的最小值为4；
ab
（3）«+—!
—的最小值为一2・
a+4
【解析】⑴:
（2）
时取等号）.
（1）Td〉。
，/?
>0>Aa+b+—^=>2y[ab+—^=>2yf2（当且仅当a=b=
\JabJab
（2）•••g>0,b>0,・・・@+b）（丄+丄）22何•丄=4（当且仅当a=b时取等号）.aby/ab
（3）a>0^Aa+—!
—=a+4+—!
—-4>2（a+4）-—!
—-4=-2,
a+4a+4\a+4
（当且仅当a+4=—!
—即“+4=h“=—3时取等号）
a+4
V«>0,与“3矛盾，•••上式不能取等号，即g+丄>_2
a+4
【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：
一正二泄三取等，缺一不可.举一反三：
【变式1】给出下面四个推导过程：
1Tab已疋，・・・¥+?
二2^|^=2；
2*/x,ye/?
",Algx+lgy>2jlgx・lgy;
4
3TawR,aH0，—+a>
④Tx,ye/?
其中正确的推导为（
A.①②B.②③
^<0,•••—+==—[（——）+（—丄）]<-2（—）（--）=-2•
yxyxyyx
）
C・③④D・①④
【解析】①・・・山1心疋，••上丄丘疋，符合基本不等式的条件，故①推导正确.
ab
②虽然x9yeR\但当xe（0,1）或yu（O.l）时，Igx,lgy是负数，.••②的推导是错误的.
③llUeR、不符合基本不等式的条件,
=4是错误的.
4由xyvO,得二上均为负数，但在推导过程中，将整体-提出负号后,
xyyx
（--）+（--）均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确•选D.y%
【变式2】下列命题正确的是（）
A.函数y=x+-的最小值为2.
B•函"話的最小值为2
C•函数y=2-3x--（x>0）最大值为2-4忑D•函数y=2-3x--（x>0）的最小值xx
为2
【答案】c
【解析】A选项中，•••XHO,・・・当x>0,时由基本不等式x+i>2；
x
当x<0时x+丄<-2..\选项A错误.
x
B选项中，•・・〉，=斗二=工+2+1=77石+-4=的最小值为2
（当且仅当>/?
72=1时，成立）
但是V?
Z2>2，/.这是不可能的.・•・选项B错误.
C选项中，Vx>0,Ay=2-3x--=2-（3x+-）<2-4x/3,故选项C正确。
XX
类型二：
利用基本不等式廡5畔求最值
2
a（a-b）=
当且仅当
ah=—ab
]
a（a-b）
即―屁¥时取等号.
例2.设“>方>0,
则tr+——+
aba（a-h）
的最小值是
A.1
B・2C.
3D.4
【解析】
，11
-1-亠
——/jA4-/lh亠14-.
1
aba（a-b）
CfLit/Ilie/ii■
ab
a（a-b）
—z/fz/—h\+'
+（///?
+1\
a（a-b）
1\LIL71J
ab
>4
【答案】D
举一反三：
9
【变式1】若xx
•（--）=2^=12
x
【解析】因为x0,由基本不等式得:
-/«=-（4x+-）=（-4x）+（--）>
XX
93
（当且仅当一4兀=一一即兀=一二时,取等号）
x2
30
故当只=-二时J（x）=4x+匕取得最大值—12.
2x
【变式2】已知x<0,求/（x）=20+4x+—的最大值.
x
【解析】Tx<0,—x>0,
4IJ-4
A（-x）+—>2J（-x）•——=2x2=4（当且仅当一x=—>即x=-2时，等号成立）
-xV-x-x
44
A/（x）=20-4[（-.r）+—]<20-4x4=4（当且仅当一x=——，即x=-2时，等号成
-x-x
立）
故当%=-2时，/（x）的最大值为4.
14
例3•已知a>0,b>0,a+b=2,则y=-+—的最小值是
ab
79
A・一B•4C.—D・5
22
【解析】
答案选c
举一反三：
【变式1】若x>0”>0,且？
+§=1,求;Q，的最小值.
xy
【解析】・.・x>O,y>O,
28[2
~8
Al=-+->2-xyVx
—=
2Q1
（当且仅当一=—=—即x=4,y=16时，等号成立）
xy2
/.>64（当且仅当x=4,>-=16时，等号成立）
故当X=4,y=16时，小的最小值为64.
1O
【变式2】lL知x>0,y>0,且一+—=1,求x+y的最小值。
=10+丄+兰
兀y
【解析】・・・丄+?
=1,
19
/.x+y=（x+y）-―+―y）
=6
Vx>0,y>0,:
.-+—>2
xy
（当且仅当-=—，即y=3x时，取等号）
又一—=1»/.x=4,y=12
xy
：
•当x=4,y=12时,x+y取最小值16。
类型三：
基本不等式应用
1125
例4.设工y=求证：
（x+-）（y+—）>—
xy4
【证明】<=x+-\
1
y+一V
，夕725（、八
<=对y■+2+y■一丁勺‘+1X025
=疋于+（1_2与）_亍与+1»0
33
u/2一二2no
'4'
<=（xy-8）^xy-l>0u.・xy<=.心一8）（勺'一寸卜°
成立
举一反三：
【变式1】已知。
>3,求证:
二i—+a》7
a-3
【解析】上一+。
=丄+（0-3）+322』上-・（“-3）+3=2>/7+3=7“一3。
一3Ya-3
4
（当且仅当——=。
一3即a=5,等号成立）・
。
一3
【例5】（2015春东城区期末）已知a>0,〃>0,c>0,且d+b+c=l・
⑵求证:
【解析】⑴由题意可得a=b=c=^带入计•算可得=8
（2）山题意和基本不等式可得“+/?
>2y/ab>0,a+c>2y/ac>0,h+c>2>/bc>0
a+h+c=\
八0）\c）\aAb八c
b+ca+ca+b2\[bc2y/ac2\[ab
=>=8
abcabc
举一反三：
【变式】（2015石家庄一模）已知函数/（龙）=Jx+l|+|x_3|_〃?
的定义域为R.
⑴求实数m的取值范围.
⑵若m的最大值为m当正数a、b满足」一+—=n时，求7a+4b的最小值.
3a+ba+2b
【解析】
（1）因为函数的定义域为R,
卜+1|+卜_3|-加二0恒成立
设函数g（x）=|x+l卜卜一3|则m不大于g（x）的最小值
l-（x-3）|=4即g（x）的最小值为4,/.m<4
21
⑵由⑴知n=4・・・一^+=4
3a+bci+2b
1z、（2
:
.la+4〃=才（6a+2Z?
+"+…
2（3“+2/%2（“+2〃）]、1匕22
一厂J
v|x+l|+|x-3|>x+
1
3a+2ba+2b
3a+2ba+2b
=-5+
当且仅当a+2b=3°+b时，即h=勿时取等号.
/.la+4b的最小值为-
4
类型四：
基本不等式在实际问题中的应用
例6.某农场有废弃的猪圈，留有一而旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平而图为矩
+—:
a+21j3a+h丿
a+2b3a+b）
形，面积为112m2,预计
（1）修复1加旧墙的费用是建造1加新墙费用的25%,
（2）拆去加旧墙用以
改造建成1川新墙的费用是建1加新墙的50%,（3）为安装圈门,要在围墙的适当处留出1加的空缺。
试问：
这里建造猪圈的帀墙应怎样利用旧墙.才能使所需的总费用最小
【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。
设修复成新墙的旧墙为劝7，则拆改成新墙的旧墙为（12-X）加，
112224
于是还需要建造新墙的长为2—+Gv-l）-（12-x）=2x+—-13.
XX
设建造1〃?
新墙需用“元，建造圉墙的总造价为y元，
则y=・25%+（12—x）g・50%+（2x+——一13）°
x
=«（—+—-7）>乂28逅一7）
4x
（当且仅当—=—即x=8血时，等号成立）
4x
故拆除改造旧墙约为12-8a/2米时，总造价最小.
举一反三：
【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次•某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元•要使每个学生游8次，每人最少交多少钱
【解析】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，
则）,=兰空・40+240宀3840・（当且仅当x=8时取“=”）
x
此时每人最少交80元.
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