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1、中学数学真题汇编二次函数综合题二次函数综合题一二次函数综合题（共50小题）1（2020西藏）在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若SPAC，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作M，过点P作PEx轴，垂足为D，交M于点E点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长2（2020德阳）如图1，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于点A，B与y轴交于点C连接AC，BC已知ABC的面积

2、为2（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E连接AD并延长交MN于点F在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由3（2020锦州）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y与抛物线交于A，D两点，与直线B

3、C交于点E若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H当点F在直线AD上方的抛物线上，且SEFGSOEG时，求m的值；在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由4（2020朝阳）如图，抛物线ybx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x1，点C坐标为（0，4）（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABPBCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点

4、M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到GHQ，直接写出GHQ周长的最小值5（2020鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+2（a0）经过点A（2，4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得PBC2BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将CME沿ME所在直线翻折，得到FME

5、，当FME与AME重叠部分的面积是AMC面积的时，请直接写出线段AM的长6（2020赤峰）如图，已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线yx+2经过B，C两点（1）直接写出二次函数的解析式 ；（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QEy轴，交x轴于点E若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由7（

6、2020大连）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线xt（t0）分别相交于点P，Q（1）如图，函数F1为yx+1，当t2时，PQ的长为 ；（2）函数F1为y，当PQ6时，t的值为 ；（3）函数F1为yax2+bx+c（a0），当t时，求OPQ的面积；若c0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当cxc+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围8（2020桂林）如图，已知抛物线ya（x+6）（x2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点

7、为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P处求当点P恰好落在直线AD上时点P的横坐标9（2020葫芦岛）如图，抛物线yax2x+c（a0）与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使DCB2ABC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在

8、直线BC上当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标10（2020呼伦贝尔）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当BCQ的面积等于2时，求m的值；（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由11（2020沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线yx2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，3）（1）求抛物线的

9、表达式；（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30得到线段OD过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB直接写出MBN的形状为 ；设MBN的面积为S1，ODB的面积为是S2当S1S2时，求点M的坐标；（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BEBN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为（0120）得到线段BF，过点F作FKx轴，交射线BE于点K，KBF的角平分线和KFB的角平分线相交于点G，当BG2时，请直接写出点G的坐标为 12（2020大庆）如图，抛物线yax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且

10、经过点C（1，7）和点D（5，7）（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F连接CA，CE，CD，CED的面积与CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t当t为何值时，PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线yax2+bx+12上，当mxn时，y的取值范围是12y16，求mn的取值范围（直接写出结果即可）13（2020镇江）如图，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数yax22ax+c（a、c是常数，a0）的图象经过点M（1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C

11、，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点（1）当a1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图，E是x轴上位于点B右侧的点，BC2BE，DE交抛物线于点F若FBFE，求此时的二次函数表达式14（2020眉山）如图1，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MDx轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存

12、在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由15（2020河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：ya（xp）（xq）ax2a（p+q）x+apq（1）若a1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若a1，如图（1），A（1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；（3）已知抛物线C3与x轴交于A（1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）若抛物线

13、C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围16（2020雅安）已知二次函数yax2+2x+c（a0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）17（2020绵阳）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线

14、交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当PAB面积最大时，求点P的坐标及PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标18（2020长春）在平面直角坐标系中，函数yx22ax1（a为常数）的图象与y轴交于点A（1）求点A的坐标（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围（3）当x0时，若函数yx22ax1（a为常数

15、）的图象的最低点到直线y2a的距离为2，求a的值（4）设a0，RtEFG三个顶点的坐标分别为E（1，1）、F（1，a1）、G（0，a1）当函数yx22ax1（a为常数）的图象与EFG的直角边有交点时，交点记为点P过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P（P与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A若AA2PP，直接写出a的值19（2020海南）抛物线yx2+bx+c经过点A（3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧如图1，过点P作PDx轴于点D，作PEy轴于点E，当PD2PE时，求PE的长；

16、如图2，该抛物线上是否存在点P，使得ACPOCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由20（2020丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（2，0），与y轴交于点C（0，4），直线yx+m与抛物线交于B，D两点（1）求抛物线的函数表达式（2）求m的值和D点坐标（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（，0）动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间

17、为t（t0），连接AD，过M作MGAD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为AQ，点M在运动过程中，线段AQ的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段AQ与抛物线有公共点时t的取值范围21（2020益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PFPH【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2（x2x1）2+（y2y1）2】（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给

18、定坐标系中画出该函数的图象；x02468y （3）点C关于x轴的对称点为C，点P在直线CF的下方时，求线段PF长度的取值范围22（2020吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为m以PQ，QM为边作矩形PQMN（1）求b的值（2）当点Q与点M重合时，求m的值（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围23

19、（2020永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示（1）求抛物线所表示的二次函数表达式（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示求CMN面积的最小值已知Q（1，）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由24（2020宿迁）二次函数yax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图，D是该二

20、次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当CEQ的面积为12时，求点P的坐标25（2020毕节市）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+4（a0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AMOB于点M，将RtOMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N解答下列问题：（1）抛物线的解析式为 ，顶点坐标为 ；（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中RtOMA沿着OB平移后，得到RtDEF若

21、DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积26（2020鄂尔多斯）如图1，抛物线yx2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足PAB2ACO，求点P的坐标27（2020鸡西）已知抛物线ya（x2）2+c经过点A（2，0）和点C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且D

22、EFDAB，DEEF，直接写出线段BE的长28（2020随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+1的对称轴为直线x，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（1）直接写出抛物线的解析式和CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为t（t0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点

23、C，P，Q为顶点的三角形与MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）29（2020黄石）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+kx2k的顶点为N（1）若此抛物线过点A（3，1），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CEED，求点C坐标；（3）已知点M（2，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当MHN60时，求抛物线的解析式30如图1，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（3，1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO

24、延长线于C，连接AB，BC，过O作EDBC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E求此抛物线的解析式；点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q使SEPQSOAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由31（2020娄底）如图，抛物线经过点A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当3m0时，试确定m的值，使得PAC的面积最大；（3）抛物线上是否存在

25、不同于点B的点D，满足DA2DC26，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由32（2020郴州）如图1，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C已知直线ykx+n过B，C两点（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D设PDC的面积为S1，ADC的面积为S2，求的最大值；如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EFBC，垂足为F点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由33（

26、2020鄂州）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C直线yx2经过B、C两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、MPNBC，垂足为N设M（m，0）点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）请直接写出符合条件的m的值；当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使PNC与AOC相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由34（2020包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线

27、的顶点为M，直线yx+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM（1）求b的值及点M的坐标；（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线ymx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：ADMACM45；（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G当BEF2BAO时，是否存在点E，使得3GF4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由35（2020玉林）如图，已知抛物线：y1x22x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物

28、线y2与x轴交于B，B两点（B在B的右侧），顶点D的对应点为点D，若BDB90，求点B的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由36（2020云南）抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）点P为抛物线yx2+bx+c上的一个动点过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E（1）求b、c的值；（2）设点F在抛物线yx2+bx+c的对称轴上，当ACF的周长最小时，直接写

29、出点F的坐标；（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由37（2020湘西州）已知直线ykx2与抛物线yx2bx+c（b，c为常数，b0）的一个交点为A（1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点（1）当直线ykx2与抛物线yx2bx+c（b，c为常数，b0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当SEQMSACE时，求m的值；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b，当AM+2DM的最小值为时，求b的值38（2020广州）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：yax2+bx+c（0a12）过点A（1，c5a），B（x1，3），C（x2，3）顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设OBE的面积为S1，OCE的面积为S2，S1S2（1）用含a的式子表示b；（2）求点E的坐标：（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为3，求yax2+bx+c在1x6时的取值范围（用含a的式子表示）39