《抛物线yax2+bx+c中abc在 图像中的作用》教学设计.docx
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《抛物线yax2+bx+c中abc在图像中的作用》教学设计
抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c在
图像中的作用
一、教学分析；
（一）教材分析：
本节课适用于初中四年制初四第一学期，鲁教版九年级上册第二章《二次函数》中《二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质》的内容。
这章是学生在学习了二次函数概念、y=ax2函数的图像与二次函数y=ax2+bx+c的性质与部分性质之后，对于二次函数已经有所认识，通过二次函数概念、y=ax2函数的图像与性质与二次函数y=ax2+bx+c的部分性质的学习，大家已经知道学习函数图像与性质的学习大致包括以下内容：
1．通过函数中变量的变化（给出离散型数字的变化）引起函数的图像的变化，从中初步认识这种函数的某种性质，形成感性认识。
2．继而经过一般化总结（连续型数字的变化），探索函数的这种图像和性质，形成理性认识。
3．总结出实际变化规律，最后利用这种函数解决实际问题，形成数学能力。
本节课的学习也是从以上几个方面展开。
首先通过给出函数中a（或b、c）离散型数字变化让学生认识a（或b、c）对于二次函数y=ax2+bx+c的图像的变化产生的影响，进而通过a（或b、c）的连续变化掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像变化这方面的性质，总结出规律，最后让学生运用性质解决一些实际问题，形成数学能力。
教学时间约需1课时，具体分配如下：
1y=ax2+bx+c中a、b、c的变化与其图像变化的关系15分钟
2例题解析10分钟
3实际问题的练习10分钟
4小结5分钟
（二）学生情况分析：
学生对二次函数的相关知识通过二次函数概念的学习，以及函数y=ax2性质的学习已经较为熟悉，已经能够从y=ax2+bx+c的解析式中求出顶点坐标、对称轴、开口方向等基本问题，本节课通过学习让学生理解a、b、c的变化与二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向、开口大小等问题的变化的规律。
让学生学习从以下内容入手：
温习函数y=ax2+bx+c的图像及其性质；通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出a、b、c的变化与二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向、开口大小等问题的变化的联系，获得亲身体验。
然后根据这种体验能够解决实际问题．
二、教学目标：
（一）知识与技能：
1．掌握a（或b、c）的变化对于二次函数y=ax2+bx+c的图像的变化产生的影响的规律；
2．能够利用此规律解决实际题目。
（二）过程与方法
1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深刻地体会利用数学中的数形结合思想方法；
2．经历探索、分析和归纳由特殊到一般的数学规律方法的过程。
3.能够利用尝试代入求值的方法解决实际问题．进一步体会数学与生活的联系，增强数学意识。
（三）情感态度与价值观：
1．体会数形结合的思想，发展图像思维能力，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；
2．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．
三、教学重、难点，
教学重点：
1．掌握a（或b、c）的变化对于二次函数y=ax2+bx+c的图像的变化产生的影响的规律。
2．体会并理解利用数形结合的思想探索、分析、归纳由特殊到一般的数学规律方法的过程
教学难点：
掌握a（或b、c）的变化对于二次函数y=ax2+bx+c的图像（顶点坐标、对称轴、开口方向、开口大小等问题）的变化产生的影响的规律。
四、教学过程设计：
（一）、温故知新，引出课题。
师：
对于二次函数我们已经学习了y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质，我们来回顾一下好吗？
生：
好！
（估计没有别的回答）
师：
那么从函数y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式中，对称轴、顶点坐标是什么？
大家写在练习本上。
（估计有人会出错）
师：
按照一帮一合作组交换检查，改正一下。
小组长汇报出错人数。
（教师将正确答案写在黑板上，供学生参考）
生：
（组长汇报）
师：
大家看屏幕，“二次函数y=3（x-1）2+5开口向，顶点坐标为，对称轴为。
当x＞l时，y随x的增大而；当x＜1时，y随x的增大而。
因为a=3＞0，所以y有最值，当x=时，y的最值是。
”给大家30秒，做完后组长带领讨论。
生：
（讨论、汇报）
师：
做错了的同学课后再做学案上此题:
二次函数y=-3（x+2）2-7开口向，顶点坐标为，对称轴为，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小，因为a=-3﹤0，所以y有最值，当x时，y的最值是．
大家看大屏幕：
将二次函数y=2x2的图象向上平移3个单位，得到的抛物线的关系式为再向左平移2个单位，得到的抛物线的关系式为
生：
（讨论、汇报）
师：
很好，做错了的同学课后再做学案上此题：
将抛物线y=2x2向下平移3个单位，得到的抛物线为再向右平移2个单位，得到的抛物线为.
师：
大家看大屏幕：
因为a的正负不同，图形有甚么不同麽？
①a>0 ②a<0 ③a互为相反数时对比图
生：
开口方向相反。
师：
对，那么还有没有其他变化吗？
我们来看一下：
师生行为：
教师提出问题，可以指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。
教师重点关注：
学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，对于一些概括性较强的问题，教师要进行适当引导。
设计意图：
由复习回顾旧知识入手，通过回顾已经学过的函数的相关知识，让学生由旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律，由浅入深，由表及里，逐渐深化。
二、指导学生操作二次函数图像探究课件活动（教师示范，学生随意操作），让学生初步了解改变二次函数y=ax2+bx+c中a、b、c的值，函数图像有变化。
[探究1]：
改变a的值，教师操作二次函数图像探究课件1（课件此处建立超链接）。
设二次函数y=ax2：
（1）a（先假设b=0，c=0）为离散型数字，探究a的值与抛物线开口方向的关系
a
1
2
3
4
5
6
y=ax2
y=1x2
y=2x2
y=3x2
y=4x2
y=5x2
y=6x2
使a=1、2、3、4、5、6观察图像的变化，并记录每次的结果。
分析a对图像的影响。
用文字表达二次函数y=ax2+bx+c中a的值与抛物线开口大小的关系。
学生讨论结论得到：
a的值越大，开口越小。
a
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=ax2
y=-1x2
y=-2x2
y=-3x2
y=-4x2
y=-5x2
y=-6x2
使a=-1、-2、-3、-4、-5、-6观察图像的变化，并记录每次的结果。
分析a对图像的影响。
用文字表达二次函数y=ax2+bx+c中a的值与抛物线开口大小的关系。
师生讨论结论得到：
|a|的值越小，开口越小。
（2）a（先假设b=0，c=0）为连续型数字，探究a的值与抛物线开口大小的关系。
使a自零开始逐渐增大（1≤a≤10），观察图像的变化，并记录结果。
分析a对图像的影响。
用文字表达二次函数y=ax2+bx+c中a的值与抛物线开口大小的关系。
学生讨论结论得到：
a的值越大，开口越小
使a自零开始逐渐减小（如：
-10≤a≤-1），观察图像的变化，并记录结果。
分析a对图像的影响。
用文字表达二次函数y=ax2+bx+c中a的值与抛物线开口大小的关系。
学生讨论结论得到：
|a|的值越大，开口越小
（3）a为连续型数字，b、c为任意确定实数，探究a的值与抛物线开口大小的关系。
a
b
c
y=ax2+bx+c
随便带入并确定b、c的实数值（如：
1≤b≤10，1≤c≤10）。
使a自零开始逐渐增大（如：
1≤a≤10），观察图像的变化，并记录结果。
分析a对图像的影响。
用文字表达二次函数y=ax2+bx+c中a的值与抛物线开口大小的关系。
学生讨论结论得到：
a的值越大，开口越小
使a自零开始逐渐减小（如：
-10≤a≤-1），观察图像的变化，并记录结果。
分析a对图像的影响。
用文字表达二次函数y=ax2+bx+c中a的值与抛物线开口大小的关系。
学生讨论结论得到：
|a|的值越大，开口越小
教师引导学生讨论，做出结论：
二次函数y=ax2+bx+c中a的值与抛物线开口大小的关系是|a|的值越大，开口越小。
[探究2]改变c的值，教师操作二次函数图像探究课件2（课件此处建立超链接）
（1）假设b=0，任意取定a的值，使c=±1，±2，±3等离散数值。
观察图像的变化，并记录每次的结果，并且算出此时图像与y轴的交点的纵坐标。
分析c对图像的影响。
用文字表达二次函数y=ax2+c中，c的值与抛物线与y轴交点的关系。
c
-3
-2
-1
1
2
3
y=ax2+c
与y轴交点
（0，-3）
（0，-2）
（0，-1）
（0，1）
（0，2）
（0，3）
师：
同学们，可以得到甚么结论？
生：
二次函数y=ax2+c中，c的值与抛物线与y轴交点的坐标是：
（0，c）。
（2）假设b=0，任意取定a的值，使c取某一范围内的连续数值（如：
-10≤c≤10）。
观察图像的变化。
分析c对图像的影响。
用文字表达二次函数y=ax2+c中，c的值与抛物线与y轴交点的关系。
师：
同学们，可以看到甚么情景？
生：
二次函数y=ax2+c中，抛物线在y轴上滑动。
师：
二次函数y=ax2+c中，c的值与抛物线与y轴交点的坐标是甚么？
生：
二次函数y=ax2+c中，c的值与抛物线与y轴交点的坐标是：
（0，c）
师：
那么你认为c的作用是什么呢？
生：
决定了函数图象的顶点，
师：
对。
严格说：
应该是，当a、b确定时，决定了函数图象的顶点，c的变化决定图像的上下平移。
（3）任意取定a、b的值，使c=±1，±2，±3等离散数值。
观察图像的变化，并记录每次的结果，并且算出此时图像与y轴的交点的纵坐标。
分析c对图像的影响。
用文字表达二次函数y=ax2+bx+c中，c的值与抛物线与y轴交点的关系。
c
-3
-2
-1
1
2
3
与y轴交点
（
，-3）
（
，-2）
（
，-1）
（
，1）
（
，2）
（
，3）
师：
同学们，可以得到甚么结论？
生：
二次函数y=ax2+bx+c中，c的值与抛物线顶点的坐标是：
（
，c）。
师：
这些点有什么特点我们得到甚么结论？
生：
都在直线x=
上。
师：
严格说：
应该是，当a、b确定时，决定了函数图象的顶点，c的变化决定图像的上下平移。
[探究3]改变b的值，观察图像的变化。
（1）当a取大于0的值时，假设c=0，使b=±1，±2，±3等离散数值。
并记录每次的结果，并画出抛物线的对称轴。
分析b对图像的影响。
b
-3
-2
-1
1
2
3
y=ax2+bx
y=ax2-3x
y=ax2-2x
y=ax2-x
y=ax2+x
y=ax2+2x
y=ax2+3x
例如：
b>0
b<0
a相等，b互为相反数时对比图
引导学生总结，用文字表达二次函数y=ax2+bx中，a、b的值与抛物线对称轴的关系。
（2）当a取小于0的值时，假设c=0，改变b的值，使b=±1，±2，±3。
观察图像的变化，并记录每次的结果，并画出抛物线的对称轴。
分析b对图像的影响。
b
-3
-2
-1
1
2
3
y=ax2+bx
y=ax2-3x
y=ax2-2x
y=ax2-x
y=ax2+x
y=ax2+2x
y=ax2+3x
例如：
b>0
b<0
引导学生总结，用文字表达二次函数y=ax2+bx中，a、b的值与抛物线对称轴的关系。
结论：
对称轴为：
x=
，当a不变时，对称轴随b的变化而变化，可化为
*b
（3）当a取大于0或小于0的值时，任意取定c的值，使b取得某范围内的连续数值（如：
-10≤b≤10）。
并记录每次的结果，并画出抛物线的对称轴。
分析b对图像的影响。
b
-3
-2
-1
1
2
3
y=ax2+bx+c
y=ax2-3x+c
y=ax2-2x+c
y=ax2-x+c
y=ax2+x+c
y=ax2+2x+c
y=ax2+3x+c
引导学生总结，用文字表达二次函数y=ax2+bx中，a、b的值与抛物线对称轴的关系。
结论：
对称轴为：
x=
，当a不变时，对称轴随b的变化而变化，可化为
*b
师生行为：
教师在大屏幕上逐一引导操作课件，提出问题，让学生独立思考完成，师生共同订正，教师做适当的引导，点拨，得出问题结论。
可以让学生上台动手亲自操作，体会探索过程。
教师重点关注：
1．强调几个注意的问题：
（1）a,b,c为常数，b、c不变时，a的值是随意取得的，演示为了方便不能取很小或很大的值。
（2）第三步中，b、c的只是随便改变的，但一旦取定，即为定值。
2．学生在探究问题的过程中，能否优化思维过程，准确理解a的随意性。
设计意图：
给学生创设具有直观的可操作性的问题情境，避免凭空想象，增强感性认识，通过问题的解决，为得出结论做好铺垫，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，通过观察，讨论得出结论，具有非凡的成就感，。
学生通过分析、交流，探求，加深对规律的理解，为解决问题打下基础。
（四）归纳总结
同学之间可以互相讨论，交换意见，分析归纳其特点。
完成下表：
二次函数的系数
对图像的影响
具体说明
a
决定图像的开口方向，开口大小，影响顶点坐标，对称轴。
a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；当b、c确定时决定顶点坐标，对称轴。
b
影响图像的顶点坐标，对称轴
当a确定时，决定对称轴；
当a、c确定时，决定顶点坐标。
c
决定与y轴的交点坐标，影响顶点坐标。
决定与y轴的交点坐标，当a、b确定时，决定顶点坐标
（五）例题学习内化新知
（一）例：
（2003，济南，9分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论：
一是发现抛物线y=ax2+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少
，纵坐标增加
，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加
，纵坐标增加
，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.
（1）请你求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的关系式；
（2）问题
（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？
并说明理由；
（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般—特殊—一般”的思想，你还能发现什么？
你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？
你的猜想能成立吗？
若能成立，请说明理由．
思维入门指导：
（1）可以用赋值法来求，不妨设a=1，2…
（2）中的点可以结合条件和
（1）的结论来寻求；（3）的猜想应在认真分析，总结
（1）
（2）的前提下才能提出．
解：
（1）当a=1时，y=x2+2x+3的顶点为（-1，2）；
当a=-1时，y=-x2+2x+3的顶点为（1，4）.
设抛物线y=ax2+2x+3的顶点在直线y=kx+4上，将（-1，2）、（1，4）代入y=kx+b，得
解得：
∴y=x+3.
即抛物线y=ax2+2x+3的顶点在直线y=x+3上．
（2）y=ax2+2x+3的顶点为（-
，3-
）．∵a≠0，∴-
≠0．3-
≠3．
∴x＝0时，y＝x+3＝3．∴（0，3）不是该抛物线上．
（3）得出猜想：
对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），将其顶点的横坐标增加或减小
，纵坐标增加
，所得到的两个点一定仍在抛物线的顶点．
理由：
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-
，
）.
∴将其横坐标减少
，纵坐标增加
，得（-
-
，
+
）.
当x=-
时，y=a·（-
）+b·（-
）+c=
∴（-
，
）也在抛物线上，∴所提出的猜想能够成立.
点拨：
（3）中的猜想，要在对题设和结论
（1）
（2）认真观察思考后提出，一定要合理．
师生行为：
教师出示例题，同学们稍加考虑后让学生分组展开讨论，待学生充分交流后，教师再组织各小组展示自己的讨论结果，共同得到正确是结论，并获得解题的经验。
教师重点关注：
（1）探究中各小组是否积极展开活动；
（2）学生对规律是否理解透彻，应用是否得当；（3）教师在小组中巡视，尽可能多给学生一点思考的时间和空间，对学习有困难的学生适当引导。
设计意图：
通过例题的设计，有利于学生的理解，边学边练，为下一个讨论做铺垫；三个问题的设计，由浅入深，层层递进，在复习旧知的同时获得解决新问题的经验，进一步内化新知、突破难点。
整个探究过程都是让学生自己去探索，在探索中发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，增强学生创造的信心，体验到成功的快乐。
（二）练习反馈巩固新知
1．无论m为何值，二次函数y=x2+（2-m）x+m的图象总过的点是（）
A．（1，3）B．（l，0）C．（-1，3）D．（-1，0）
2．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：
“已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点（1，0）……求证：
这个二次函数的图象关于直线x=2对称．”
根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（）
A．过点（3，0）B．顶点是（2，-2）
C．在x轴上截得的线段长是2D．与y轴的交点是（0，3）
3．二次函数y=-2（x-3）2+5的图象开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）
A．开口向下，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为（3，5）
B．开口向下，对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，5）
C．开口向下，对称轴为直线x=-3，顶点为（-3，5）
D．开口向上，对称轴为直线x=3，顶点为（3，5）
4.．若抛物线y=x2+4x+c的顶点，在x轴上，则c=；若抛物线y=x2+2bx+3的对称轴是y轴，则b=；若抛物线y=x2+2mx+m2-3m+6的顶点在x轴下方，则m.
5．已知a﹥0，b﹥0，c﹥0，b2-4ac﹥0，则抛物线y=ax2+bx+c经过的象限为.
6．A、B、C是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上的三点，根据图26-2-30中给出的三点位置情况，可得a、c、△（△=b2-4ac）与0的大小关系为：
a0，c0，△0.（填“﹥”、“﹤”或“=”）
7．若二次函数y=-x2+4x+m-2的图象全在x轴下方，则m的取值范围为.
师生行为：
教师展示出问题，学生独立思考后写出答案，师生共同评价；或学生独立思考后同桌交流，指名口答结果，教师强调正确解题思路；
教师重点关注：
学生能否准确用知识解题；学生解题时候暴露的共性问题作针对性的点评，注重培养学生正确的思路和方法，积累解题经验。
设计意图：
从简单的应用开始，及时巩固新知，让学生获得体验；问题，让学生对所学很深层次的理解，培养数学思维的严谨性；
（六）、自主小结，深化提高：
请同学们谈谈本节课的体会和收获，各抒己见，不拘泥于形式，教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确。
设计意图：
学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯。
五、教学媒体运用的说明：
在本节教学中，a、b、c是不断变化的，需要不断的画图进行比较，而常规教学不能将图形连续变化，例如[探究1]中：
“a为连续型数字，b、c为任意实数，探究a的值与抛物线开口大小的关系。
随便带入并确定b、c的实数值（如：
1≤b≤10，1≤c≤10）。
使a自零开始逐渐增大（如：
1≤a≤10），观察图像的变化，并记录结果。
使a自零开始逐渐减小（如：
-10≤a≤-1），观察图像的变化，并记录结果。
分析a对图像的影响。
”
常规教学无法完成图形连续变化，如a的影响：
开口大小的变化、方向师生只能通过想象，泛泛的解释来学习，无法建立深刻的感性认识，对规律的理解也只是建立在凭空想象的基础上。
而且常规手段作图、比较费时、费力，直观性不强。
而通过多媒体手段，a的变化，通过课件演示，如a的影响：
开口大小的变化可通过a的变化，会在投影幕上直截了当的看到开口的变化，另外，当b、c变化时，图形进行平移后，开口大小仍是同样的规律，可以直观的看到。
所以通过多媒体手段可以进行直接有效的展示图形变化，给学生建立深刻的感性认识，有助于学生理解、学习、掌握数学规律的变化，加深印象。
通过多媒体教学后，本节课的重、难点就非常容易的突破了，学生有了第一印象，对规律有了深刻的理解。
对于探究2、探究3有同样的道理。
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