学年高中数学第二章随机变量及其分布211离散型随机变量学案新人教A版选修23.docx
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学年高中数学第二章随机变量及其分布211离散型随机变量学案新人教A版选修23
2．1.1 离散型随机变量
1.理解随机变量的意义． 2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子．
3．理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．
1．随机变量
（1）定义：
在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
（2）表示：
随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
2．离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的．
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）离散型随机变量的取值是任意的实数．（ ）
（2）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．（ ）
（3）离散型随机变量是指某一区间内的任意值．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）×
如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y（ ）
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
答案：
D
一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．
答案：
21
探究点1 随机变量的概念
判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
（1）北京国际机场候机厅中2018年5月1日的旅客数量；
（2）2018年1月1日到6月1日期间所查酒驾的人数；
（3）2018年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
（4）体积为1000cm3的球的半径长.
【解】
（1）旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
（2）所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
（3）动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
（4）球的体积为1000cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
判断一个试验是否为随机试验的方法
判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即
（1）试验在相同条件下是否可重复进行；
（2）试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；
（3）每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．
指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
（1）某人射击一次命中的环数；
（2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
（3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数（最上面的数字）中的最小值；
（4）某个人的属相．
解：
（1）某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环，结果只有其中一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
（2）任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．
（3）一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是随机变量．
（4）属相是人出生时便确定的，不是随机变量．
探究点2 离散型随机变量的判定
指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
（1）从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数；
（2）某林场中的树木最高达30m，则此林场中树木的高度．
【解】
（1）是离散型随机变量．因为只要取出一张，便有一个号码，所以被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
（2）不是离散型随机变量，因为林场中树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，无法一一列举，所以不是离散型随机变量．
离散型随机变量判定的关键及方法
（1）关键：
判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．
（2）具体方法
①明确随机试验的所有可能结果．
②将随机试验的试验结果数量化．
③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
（1）某超市5月份每天的销售额；
（2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
（3）江西九江市长江水位监测站所测水位在（0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
解：
（1）是离散型随机变量．某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
（2）不是离散型随机变量．实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
（3）不是离散型随机变量，水位在（0，29]这一范围内变化，不能一一列出，故不是离散型随机变量．
探究点3 用随机变量描述随机现象
写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
（1）一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含黑球的个数为X.
（2）一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
【解】
（1）X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
（2）X＝3表示取出的球编号为1，2，3.
X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4.
X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5.
[变条件]在本例
（1）的条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？
解：
ξ＝10表示取5个球全是红球；
ξ＝7表示取1个白球，4个红球；
ξ＝4表示取2个白球，3个红球；
ξ＝1表示取3个白球，2个红球．
用随机变量表示随机试验的结果
问题的关键点和注意点
（1）关键点：
解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
（2）注意点：
解答过程中不要漏掉某些试验结果．
写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．
（1）一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为X；
（2）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.
解：
（1）X可能取值为1，2，3，…，10.X＝n表示第n次打开房门．
（2）因为x，y可能取的值为1，2，3，
所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤X≤3，
所以X可能的取值为0，1，2，3，
用（x，y）表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量X取各值的意义为：
X＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即（2，2）．
X＝1表示（1，1），（2，1），（2，3），（3，3）．
X＝2表示（1，2），（3，2）．
X＝3表示（1，3），（3，1）.
1．下面给出四个随机变量：
①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；
③某网站未来1小时内的点击量；
④一天内的温度η.
其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①② B．③④
C．①③D．②④
解析：
选C.①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出．②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出．③是，1小时内网站的访问次数可一一列出．④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．
2．掷两颗骰子，所得点数之和为γ，那么γ＝4表示的随机试验结果是（ ）
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．两颗都是4点
D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
解析：
选D.因为γ＝4表示两个骰子之和为4，有（3，1），（1，3），（2，2），即γ＝4表示的随机试验结果是一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点，故选D.
3．写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量的取值表示的事件．
（1）在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件，其中次品件数X是一个随机变量；
（2）一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含黑球的个数Y是一个随机变量．
解：
（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.
X＝0，表示“抽取0件次品”；
X＝1，表示“抽取1件次品”；
X＝2，表示“抽取2件次品”；
X＝3，表示“抽取3件次品”；
X＝4，表示“抽取4件次品”．
（2）随机变量Y的可能取值为0，1，2，3.
Y＝0，表示“取出0个黑球，3个白球”；
Y＝1，表示“取出1个黑球，2个白球”；
Y＝2，表示“取出2个黑球，1个白球”；
Y＝3，表示“取出3个黑球，0个白球”．
知识结构
深化拓展
1.随机变量与函数的关系
相同点
随机变量和函数都是一种映射
区别
随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射
联系
随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
2.离散型随机变量的特征
（1）可用数值表示．
（2）试验之前可以判断其出现的所有值．
（3）在试验之前不能确定取何值．
（4）试验结果能一一列出.
[A 基础达标]
1．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，在950Ω～1200Ω之间的阻值记为X；
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.
其中是离散型随机变量的是（ ）
A．①②B．①③
C．①④D．①②④
解析：
选A.根据离散型随机变量的定义知，①②是离散型随机变量．
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（ ）
A．取到产品的件数B．取到正品的概率
C．取到次品的件数D．取到次品的概率
解析：
选C.A中取到产品的件数是一个常量，不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．
3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ）
A．1，2，3，…，6B．1，2，3，…，7
C．0，1，2，…，5D．1，2，…，5
解析：
选B.由于取到白球取球停止，所以取球次数可以是1，2，3，…，7.
4．（2018·河北徐水一中月考）某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是（ ）
A．第5次击中目标B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标
解析：
选C.击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．
5．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是（ ）
A．6B．7
C．10D．25
解析：
选C.X的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．
6．给出下列四个命题：
①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x2－2x－3＝0根的个数是随机变量．其中正确的是________．
解析：
①②③是正确的，④中方程x2－2x－3＝0的根有2个是确定的，不是随机变量．
答案：
①②③
7．已知Y＝2X为离散型随机变量，Y的取值为1，2，3，4，…，10，则X的取值为________．
解析：
由Y＝2X得X＝
Y.
因为Y的取值为1，2，3，4，…，10，
所以X的取值为
，1，
，2，
，3，
，4，
，5.
答案：
，1，
，2，
，3，
，4，
，5
8．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：
每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．
解析：
若答对0个问题得分－300；
若答对1个问题得分－100；
若答对2个问题得分100；
若问题全答对得分300.
答案：
－300，－100，100，300
9．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．
解：
ξ的可能取值为0，1，2.
ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；
ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品；
ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．
10．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元、2元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张人民币的金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验的结果．
解：
X的可能取值为（单位：
元）：
3，6，7，11，12，15，21，22，25，30.其中X＝3表示抽到的是1元和2元，X＝6表示抽到的是1元和5元，X＝7表示抽到的是2元和5元，X＝11表示抽到的是1元和10元，X＝12表示抽到的是2元和10元，X＝15表示抽到的是5元和10元，X＝21表示抽到的是1元和20元，X＝22表示抽到的是2元和20元，X＝25表示抽到的是5元和20元，X＝30表示抽到的是10元和20元．
[B 能力提升]
11．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字（两两不同），设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为（ ）
A．20B．24
C．4D．18
解析：
选B.由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A
＝24种．
12．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示的试验结果是________．
解析：
因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤X≤5，也就是说“X＞4”就是“X＝5”．所以，“X＞4”表示两枚骰子中第一枚为6点，第二枚为1点．
答案：
第一枚为6点，第二枚为1点
13．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？
若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
（1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X，所含红粉笔的支数Y；
（2）离开天安门的距离Y；
（3）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数X.
解：
（1）X可取1，2，3.
{X＝i}表示取出i支白粉笔，3－i支红粉笔，其中i＝1，2，3.
{Y＝j}表示取出j支红粉笔，3－j支白粉笔，其中j＝0，1，2.
（2）Y可取[0，＋∞）中的数．Y＝k表示离开天安门的距离为k（km）．不是离散型随机变量．
（3）X可取所有的正整数．{X＝i}表示前i－1次取出红球，而第i次取出白球，这里i∈N*.是离散型随机变量．
14．（选做题）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
（1）列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
（2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
解：
（1）
ξ
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球，2个黑球
取得2个白球，1个黑球
取得3个白球
（2）由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0，1，2，3}，所以η对应的各值是：
5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.
故η的可能取值为{6，11，16，21}，显然η为离散型随机变量．
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