河南省届高三上学期质量检测五数学理科试题含答案.docx
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河南省届高三上学期质量检测五数学理科试题含答案
2020～2021年度河南省高三质量检测（五）
数学（理科）
考生须知：
1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟.
2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.
4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
第I卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分.出60分在每小颍给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A．B．
C．D．
2.已知复数,若在复平面内所对应的点位于第二象限,则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
3.若向区域内随机投点,则该点落在区域内的概率为（）
A．B．C．D．
4.若满足约束条件，则的最大值为（）
A．B．C.D．
5.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素,加上它们的多种变体,一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一。
如图,该几何体是一个棱长为的正八面体,则此正八面体的体积与表面积之比为（）
A．B．C.D．
6.已知，且，则（）
A．B．C.D．
7.展开式中的系数为（）
A．B．C.D．
8.若函数在上有极值点,则的取值范围为（）
A．B．C.D．
9.已知分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线的斜率分别为，若.则该椭圆的离心率为（）
A．B．C.D．
10.已知函数的部分图象如图所示,则（）
A．
B．
C.
D．
11.已知二次函数满足，且，对任意，成立，则的取值范围为（）
A．B．C.D．
12.已知双曲线的左,右焦点分别为,点是双曲线上的一点,若,且外接圆与内切圆的半径之比为,则双曲线的离心率为（）
A．B．C.D．
第II卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知平面向量，且，则．
14.定义在上的奇函数在上是减函数,若,则的取值范围为．
15.如图,在四棱锥中,平面,若与平面所成角的正切值为,则四棱锥外接球的表面积为．
16.已知等边三角形的边长为,边上有两点满足,则的最小值是．
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,17～2l题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
17.已知数列的首项为，且满足
求的通项公式
已知，求数列的前项和
18.如图,已知四边形为菱形,对角线与相交于,点不在平面内,平面平面平面.
证明:
.
求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19.已知动点到点的距离比它到直线的距离小.
求动点的轨迹的方程.
过点作斜率为的直线与轨迹交于点,线段的垂直平分线交轴于点,证明:
为定值.
20.已知函数
若在定义域内单调递增,求的取值范围;
若存在,使得成立,求的取值范围.
21.某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人们群众脱贫奔小康，经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加,为了制定提升农民收入,实现年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了年位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:
根据频率分布直方图,估计这位农民的平均年收入（单位:
千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）.
为推进精准扶贫,某企业开设电商平台进行扶贫,让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富.甲计划在店,乙计划在店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动,其中每个订单由个商品构成,假定甲,乙两人在两店订单“秒杀"成功的概率分别为,记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品总数量分别为
①求的分布列及数学期望
②若，求当的数学期望取最大值时正整数的值.
（二）选考题:
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,曲线为，以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
求直线和曲线的极坐标方程;
若射线与曲线相切于点（点位于第一象限）,且与直线相交于点,求
23.[选修4-5:
不等式选讲]
已知正实数满足.
证明:
.
证明:
2020～2021年度河南省高三质量检测（五）
数学参考答案（理科）
1.，
2.
则
得
3.区域的面积为,在区域中,满足的面积为
则所求概率
4.作出不等式组表示的可行域（图略）,当直线过点时,取得最大值
5.正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥,由勾股定理求得斜高,再由棱锥的体积公式即可求解.由边长为,可得正八面体上半部分的斜高为,高为,则其体积为
，其表面积为,所以此正八面体的体积与表面积之比为
6.由，得，
解得
又因为
所以
则
7.展开式的通项公式为
令，得，
所以展开式中的系数为。
8.
所以在上为减函数
所以
解得
9.设，则
又因为
所以
10.由函数图象可知
即
将代入得
又
是以为最小正周期的周期函数
则
11.设二次函数
则
又
解得
函数在上单调递增
令
当时，满足题意
当时
解得
综上，的取值范围为
12.设的外接圆与内切圆的半径分别为,则
因为
所以
则
如图，圆是的内切圆，且与的三边分别切于三点
设点，则
所以
解得
即，
因为直线是的角平分线，且
所以
可得
因为
所以
整理得
故
13.由，可得向量反向，
所以
解得
14.由题可知函数在上单调递减,且,
可化为,
则,解得
即的取值范围为
15.连接,则为与平面所成角,
即,
所以
因为,
所以四边形为等腰梯形,且可求得,
所以底面外接圆的半径为,且四边形外接圆的圆心为的中点,
四棱锥外接球的半径,
故该四棱锥外接球的表面积
16.设记为
则在中,有,
即.在△中,点到的距离
故,
即
由余弦定理可得
当且仅当时，取等号，
即
可得
17.解：
由
得
又
所以当时，
又也满足上式
所以
所以
18.证明:
因为四边形为菱形,
所以
因为平面平面，
所以平面
因为平面平面平面，
所以
解:
因为四边形为菱形,
所以
因为平面,
所以以为坐标原点,所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
取的中点,连接,
则
所以.
因为,
所以为正三角形，
因为
所以
所以
从而
设平面一个法向量为
所以
所以
所以
令
所以
设平面一个法向量为
所以
所以
所以
令
所以
所以
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为
19.解:
由题意知,动点到点的距离与到直线距离相等，
由抛物线的定义知,轨迹是以为焦点,以直线为准线的抛物线.
所以点的轨迹的方程为
证明:
设直线
联立
得
设为线段的中点，
则,
所以，
所以线段的垂直平分线的方程为,
则
从而
所以为定值.
20.解：
在上恒成立
则
的取值范围为
令
当
即时，在上单调递增
当
即时，在上单调递减
当时
存在，使得在上单调递减，在上单调递增
或
解得
综上所述,的取值范围是
21.解：
千元
故估计这位农民的年平均收入为千元.
①由题知,的可能取值为
所以的分布列为
②因为
所以
令
设
则
且
当时，
所以在区间上单调递增
当时，
所以在区间上单调递减
所以，即时
故当取最大值时,的值为
22.解:
消去可得
将代入普通方程，
可得直线的极坐标方程为
曲线的极坐标方程为
在极坐标系中,联立'
可得
因为射线与曲线相切,
所以,
即,又点位于第一象限,
即
所以
联立
解得,
即
所以
23.证明：
因为
所以
所以
当且仅当时取等号
所以
当且仅当时取等号
即
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