二次函数学案.docx

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二次函数学案

二次函数学案

姓名

2009年12月

2.1二次函数所描述的关系

学习目标

1．探索并归纳二次函数的定义．

2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．

学习过程

一、新课学习

1、由实际问题探索二次函数关系

例1、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．

（1）问题中有哪些变量？

其中哪些是自变量？

哪些是因变量？

（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？

这时平均每棵树结多少个橙子？

（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．

[想一想]

在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多。

我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗？

自己试一试．

X（棵）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Y（个）

请大家先填表，再猜测．

[答案]60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．

可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大值．x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．

2、做一做

银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。

设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式（不考虑利息税）．

[师]在这个关系式中，y是x的函数吗？

是x的什么函数？

请猜想．

3、二次函数的定义

一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数。

上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此．有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A与边长a的关系A＝a2，圆面积S和半径r的关系。

S＝πr2也都是二次函数的例子．

二．课时小结

本节课我们学习了如下内容：

1．经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式．

2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多．

三．活动与探究

[问题]若y＝（m2＋m）

是二次函数，求m的值．

分析：

根据二次函数的定义，只要满足m2＋m≠0，且m2－m＝2，

y＝（m2＋m）

就是二次函数．

解：

由题意得

解，得

∴m＝2．

故若y＝（m2＋m）

是二次函数，则m的值等于2．

四、学习反思

2.2结识抛物线

学习目标

1．能够利用描点法作出函数y＝x2的图象．能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．

2．猜想并能作出y＝－x2的图象，能比较它与y＝x2的图象的异同．

3．由函数y＝x2的图象及性质，对比地学习y＝－x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养类比学习能力和发展求同求异思维．

学习方法

探索——总结——运用法．

学习过程

一．新课讲解

1、作函数y＝x2的图象．

（1）列表：

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

y

（2）在直角坐标系中描点．

（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．

[先自己完成，再比较右图]

[师]画的非常漂亮．

2、议一议

对于二次函数y＝x2的图象，

（1）你能描述图象的形状吗？

与同伴进行交流．

（2）图象与x轴有交点吗？

如果有，交点坐标是什么？

（3）当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？

当x＞0时呢？

（4）当x取什么值时，y的值最小？

最小值是什么？

你是如何知道的？

（5）图象是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．

3、y＝x2的图象的性质．

4、做一做．

二次函数y＝－x2的图象是什么形状？

先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y＝x2的图象有什么关系？

与同伴进行交流．

[师]请大家按照画图象的步骤作出函数y＝－x2的图象．

形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与y＝x2的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看成是关于x轴对称．

[师]下面我们试着讨论y＝－x2的图象的性质．

5、函数y＝x2与y＝－x2的图象的比较．

不同点：

1．开口方向不同，y＝x2开口向上，y＝－x2开口向下．

2．函数值随自变量增大的变化趋势不同，在y＝x2图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．在y＝－x2的图象中正好相反．

3．在y＝x2中y有最小值，即x＝0时，y最小＝0，在y＝－x2中y有最大值．即当x＝0时，y最大＝0．

4．y＝x2有最低点，y＝－x2有最高点．

相同点：

1．图象都是抛物线．

2．图象都与x轴交于点（0，0）．

3．图象都关于y轴对称．

联系：

它们的图象关于x轴对称．

二．课堂练习

1．在同一直角坐标系中画出函数y＝x2与y＝－x2的图象．

2．下列函数中是二次函数的是[]

A．y＝2＋5x2

B．y＝

C．y＝3x（x＋5）2

D．y＝

3．分别说出抛物线y＝4x2与y＝－

x2的开口方向，对称轴与顶点坐标．

[答案]抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，坐标为（0，0）．

抛物线y＝－

x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）．

三．课时小结

本节课我们学习了如下内容：

1．画函数y＝x2的图象，并对图象的性质作了总结．

2．画函数y＝－x2的图象，并研究其性质．

3．比较y＝x2与y＝－x2的图象的异同点及联系．

四．活动与探究

已知函数y＝m·

．

m取何值时，它的图象开口向上．

当x取何值时，y随x的增大而增大．

当x取何值时，y随x的增大而减小．

x取何值时，函数有最小值．

解：

由题意得：

解得

当m＝－2时，y＝－2x2开口向下

∴m＝1

即当m＝1时，它的图象是开口向上的抛物线．

函数关系式为y＝x2．

当x＞0时，y随x的增大而增大．

当x＜0时，y随x的增大而减小．

当x＝0时，函数有最小值．

2.3刹车距离与二次函数

学习目标

1．能作出y＝ax2和y＝ax2＋c的图象．并研究它们的性质．

2．比较y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与y＝x2的异同．理解a与c对二次函数图象的影响．

3．通过比较y＝ax2，y＝ax2＋c与y＝x2的图象和性质的比较，培养比较、鉴别能力．

学习方法

类比学习法．

教学过程

一．新课讲解

影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km／h）的汽车的刹车距离s（m）可以由公式s＝

v2确定；

雨天行驶时，这一公式为s＝

v2．

既然s＝

v2和s＝

v2与y＝x2，y＝－x2它们都是二次函数，且都是只含二次项的二次函数，所以它们有相同之处；又因为它们中的a值的不同．所以它们肯定还有不同之处．比如在y＝x2中自变量x可以取正数或负数，在s＝

v2中，因为v是速度，能否取负值呢？

由实际情况可知v不可以取负值．

下图是s＝

v2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作出函数s＝

v2的图象．

二、比较s＝

v2和s＝

v2的图象．

[师]从上图中，大家可以互相讨论图象有什么相同与不同？

[生]相同点：

（1）它们都是抛物线的一部分

（2）二者都位于s轴的左侧．

（3）函数值都随v值的增大而增大．

不同点：

（1）s＝

v2的图象在s＝

v2的图象的内侧．

（2）s＝

v2的s比s＝

v2中的S增长速度快．

[师]如果行车速度是60km／h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？

[生]已知v＝60km／h．分别代入s＝

v2与s＝

v2中．相应地求出各自的刹车距离，再求它们的差．即s1＝

×602＝72，s2＝

×602＝36．则

s1－s2＝72－36＝36（m）．

所以在雨天行驶和在晴天行驶相比，雨天的刹车距离较长，相差36m．

三、做一做

作二次函数y＝2x2的图象．

（1）完成下表：

x

2x2

（2）在平面直角坐标系中作出y＝2x2的图象．

（3）二次函数y＝2x2的图象是什么形状？

它与二次函数y＝x2的图象有什么相同和不同？

它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？

[答案]

（1）略

（2）如上图

（3）二次函数y＝2x2的图象是抛物线．

它与二次函数y＝x2的图象的相同点：

开口方向相同，都向上．

对称轴都是y轴．

顶点都是原点，坐标为（0，0）．

在y轴左侧，都是y值随x值的增大而减小；在y轴右侧，都是y值随x值的增大而增大．

都有最低点，即原点．

函数都有最小值．

不同点：

y＝2x2的图象在y＝x2的图象的内侧．

y＝2x2中函数值的增长速度较快．

四、议一议

（1）在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象．并比较它们的性质．

（2）在同一直角坐标系内作出函数y＝3x2与y＝3x2－1的图象，并比较它们的性质．

（3）由上可得出什么？

[答案]

（1）图象如下：

比较性质如下：

相同点：

a．它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．

b．它们都是轴对称图形，且对称轴都是y轴．

c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x的增大而增大．

d．都有最低点，y都有最小值．

不同点：

a．它们的顶点不同，y＝2x2的顶点在原点，坐标为（0，0）；y＝2x2＋1的顶点在y轴上，坐标为（0，1）．

b．虽然函数y都有最小值，但y＝2x2的最小值为0，y＝2x2＋1的最小值为1．

联系：

y＝2x2＋1的图象可以看成函数y＝2x2的图象整体向上平移一个单位．

（2）[生]y＝3x2与y＝3x2－1的图象如下：

性质比较如下：

相同点：

a．它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．

b．它们都是轴对称图形，且对称轴都是y轴．

c．都有最低点，函数值都有最小值．

d．在y轴左侧，y都是随x的增大而减小，在y轴右侧，y都随x的增大而增大．

e．它们的增长速度相同．

不同点：

a．它们的顶点不同．y＝3x2的顶点在原点，坐标为（0，0），y＝3x2－1的顶点在y轴上，坐标为（0，－1）．

b．y＝3x2的最小值为0，y＝3x2－1的最小值为－1．

联系：

y＝3x2－1的图象可以看成是y＝3x2的图象整体向下平移一个单位．

[生]（3）可以知道y＝2x2＋1的图象是y＝2x2的图象整体向上移动一个单位得到的．

[师]是的．由上可知，y＝ax2与y＝ax2＋c的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同，函数的最大值或最小值不同．y＝ax2＋c的图象可以看成y＝ax2的图象整体上下移动得到的，当c＞0时，向上移动|c|个单位，当c＜0时，向下移动|c|个单位．

课堂练习

画出函数y＝

x2与y＝2x2的图象．（在同一直角坐标系内）并比较它们的性质．

分析：

画函数图象的步骤有列表、描点、连线．

课时小结

本节课巩固了画函数图象的步骤：

列表、描点、连线；学习了刹车距离与二次函数的关系；并比较了函数y＝2x2与y＝x2，y＝2x2＋1与y＝2x2，y＝3x2－1与y＝3x2的图象的性质．

2.4.1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象

（1）

学习目标

1．能够作出函数y＝a（x－h）2和y＝a（x－h）2＋k的图象，并能理解它与

y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响．

2．能够正确说出y＝a（x－h）2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养探索能力．

学习方法

探索——比较——总结法．

学习过程

Ⅰ．创设问题情境、引入新课

[师]我们已学习过两种类型的二次函数，即y＝ax2与y＝ax2＋c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．还知道y＝ax2＋c的图象是函数y＝ax2的图象经过上下移动得到的，那么y＝ax2的图象能否左右移动呢？

它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢？

本节课我们就来研究有关问题．

Ⅱ．新课讲解

一、比较函数y＝3x2与y＝3（x－1）2的图象的性质．

（1）完成下表，并比较3x2和3（x－1）2的值，它们之间有什么关系？

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

3x2

3（x－1）2

（2作出二次函数y＝3（x－1）2的图象．你是怎样作的？

（3）函数y＝3（x－1）2的图象与y＝3x2的图象有什么关系？

它是轴对称图形吗？

它的对称轴和顶点坐标分别是什么？

（4）x取哪些值时，函数y＝3（x－1）2的值随x值的增大而增大？

x取哪些值时，函数y＝3（x－1）2的值随x值的增大而减小？

[师]能否用移动的观点说明函数y＝3x2与y＝3（x－1）2的图象之间的关系呢？

[师]能像上节课那样比较它们图象的性质吗？

二、做一做

在同一直角坐标系中作出函数y＝3（x－1）2和y＝3（x－1）2＋2的图象．并比较它们图象的性质．

三、总结函数y＝3x2，y＝3（x－1）2，y＝3（x－1）2＋2的图象之间的关系．

[师]通过上面的讨论，大家能够总结出这三种函数图象之间的关系吗？

[师]下面我们就一般形式来进行总结．

一般地，平移二次函数y＝ax2的图象便可得到二次函数为y＝ax2＋c，

y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k的图象．

（1）将y＝ax2的图象上下移动便可得到函数y＝ax2＋c的图象，当c＞0时，向上移动，当c＜0时，向下移动．

（2）将函数y＝ax2的图象左右移动便可得到函数y＝a（x－h）2的图象，当h＞0时，向右移动，当h＜0时，向左移动．

（3）将函数y＝ax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数y＝a（x－h）2＋k的图象．

因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关．

下面大家经过讨论之后，填写下表：

y＝a（x－h）2＋k

开口方向

对称轴

顶点坐标

a＞

a＜0

四、议一议

（1）二次函数y＝3（x＋1）2的图象与二次函数y＝3x2的图象有什么关系？

它是轴对称图形吗？

它的对称轴和顶点坐标分别是什么？

（2）二次函数y＝－3（x－2）2＋4的图象与二次函数y＝－3x2的图象有什么关系？

它是轴对称图形吗？

它的对称轴和顶点坐标分别是什么？

（3）对于二次函数y＝3（x＋1）2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？

当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？

二次函数y＝3（x＋1）2＋4呢？

[师]在不画图的情况下，你能回答上面的问题吗？

Ⅲ．课时小结

本节课进一步探究了函数y＝3x2与y＝3（x－1）2，y＝3（x－1）2＋2的图象有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题．并作了归纳总结，还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论．

Ⅳ．活动与探究

二次函数y＝

（x＋2）2－1与y＝

（x－1）2＋2的图象是由函数y＝

x2的图象怎样移动得到的？

它们之间是通过怎样移动得到的？

2.4.2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象

（2）

学习目标

1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．

2．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题．

2．通过合作交流来解决问题，培养合作交流能力．

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]上节课我们主要讨论了相关函数y＝ax2，y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k的图象的有关性质，特别练习了求函数的对称轴和顶点坐标．我们知道学习的目的就是为了应用，那么究竟有什么用处呢？

本节课将学习有关二次函数的应用．

Ⅱ．新课讲解

一、1．例题

[师]前几节课我们研究了不同形式的二次函数的图象，形如y＝ax2，y＝ax2＋c，y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k．并对它们的性质进行了比较．但对于二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），它是属于上面形式中的哪一种呢？

还是另外一种，它的对称轴和顶点坐标是什么呢？

下面我们一起来讨论这个问题．

例：

求二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标．

解：

把y＝ax2＋bx＋c的右边配方，得

y＝ax2＋bx＋c

＝a（x2＋

）

＝a[x2＋2·

x＋（

）2＋－（

）2]

＝a（x＋

）2＋

．

[总结]（x－h）2＋k中是x－h，而y＝a（x＋

）2＋

中是x＋

，它们的符号不同，应把y＝a（x＋

）2＋（

）进行变形得y＝a[x－（－

）2]＋

．再对照y＝a（x－h）2＋k的形式得对称轴为x＝－

，顶点坐标为（

，

）．

下面我们来研究一些实际问题．

二、有关桥梁问题

下图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y＝0.225x2＋0.9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称．

（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？

（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？

（3）你是怎样计算的？

与同伴进行交流．

分析：

因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y＝a（x－h）2＋k的形式，即顶点式．

解：

y＝0.0225x2＋0.9x＋10

＝0.0225（x2＋40x＋

）

＝0.0225（x2＋40x＋400－400＋

）

＝0.0225（x＋20）2＋1．

∴对称轴为x＝－20．顶点坐标为（－20，1）．

（1）钢缆的最低点到桥面的距离是1米．

（2）两条钢缆最低点之间的距离是2×20＝40米．

（3）是用配方法求得顶点坐标得到的．也可以直接代入顶点坐标公式中求得．

[师]从上面的例题我们可知，抛物线在现实生活中的应用很广，因此大家要学好并运用好它，对于给出的问题要认真思考，把实际问题转化为数学问题，从而用数学知识解决实际问题．

在上面的问题中，大家能否求出右面的抛物线的表达式呢？

请互相交流．

解：

三、补充例题

如下图，一边靠校园院墙，另外三边用50m长的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的边长为xm．

（1）写出长方形场地面积y（m2）与x的函数关系式；

（2）画出函数的图象；

（3）求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少？

解：

（1）垂直院墙的边长为xm，另一边长为（50－2x）m．则

y＝x（50－2x）＝－2x2＋50x＝－2（x－

）2＋

．

（2）图象略．

（3）由

（1）得，当x＝

时，y最大＝

．

所以当边长为

m时，长方形面积最大，最大面积为

m2．

作业：

1、确定下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标．

（1）y＝－x2＋

x＋

；

（2）y＝

－5．

2、矩形总周长为60m，其面积S随边长

的变化而变化。

当

为多少时，面积S最大？

3、在△ABC中，∠B=900，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？

写出函数关系及t的取值范围。

4、一辆汽车的行驶距离s（单位：

m）与时间t（单位：

s）的函数关系为

，经过12s汽车行驶了多远？

行驶380m需要多少时间？

5、四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，AC+BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形的面积最大？

2.5用三种方式表示二次函数

学习目标

1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．

2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．

3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．

能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．

学习过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广告牌上这样写着：

一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下：

x（千克）

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y（元）

0

1

2

3

4

5

6

这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好？

Ⅱ．新课讲解

一、试一试

长方形的周长为20cm，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．y随x变化而变化的规律是什么？

你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗？

（1）用函数表达式表示：

y＝________．

（2）用表格表示：

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10－x

y

（3）用图象表示：

[师]请大家互相交流．

[生]

（1）一边长为xcm，则另一边长为（10－x）cm，所以面积为：

y＝x（10－x）＝－x2＋10x．

（2）表中第二行从左至右依次填9、8、7、6、5、4、3、2、1；第三行从左至右依次填9、16、21、24、25、24、21、16、9．

（3）图象如下图．

[师]大家可能注意到了函数的图象在第一象限，可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢？

[生]因为自变量的取值只取到了1至9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限．

[师]大家同意这种说法吗？

[生]不同意．不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况．函数值y是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y＝－x2＋10x的图象，就不是在第一象限作图象了．

[师]非常棒．

二、议一议

（1）在上述问题中，自变量x的取值范围是什