高中数学函数的极值与导数综合测试题有答案.docx
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高中数学函数的极值与导数综合测试题有答案
高中数学函数的极值与导数综合测试题(有答案)
选修2-21.3.2函数的极值与导数
一、选择题
1.已知函数f(x)在点x0处连续,下列命题中,正确的是()
A.导数为零的点一定是极值点
B.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值
C.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值
D.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值
[答案] C
[解析] 导数为0的点不一定是极值点,例如f(x)=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,但x=0不是f(x)的极值点,故A错;由极值的定义可知C正确,故应选C.
2.函数y=1+3x-x3有()
A.极小值-2,极大值2
B.极小值-2,极大值3
C.极小值-1,极大值1
D.极小值-1,极大值3
[答案] D
[解析] y=3-3x2=3(1-x)(1+x)
令y=0,解得x1=-1,x2=1
当x-1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数,
当-11时,y0,函数y=1+3x-x3是增函数,
当x1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数,
当x=-1时,函数有极小值,y极小=-1.
当x=1时,函数有极大值,y极大=3.
3.设x0为f(x)的极值点,则下列说法正确的是()
A.必有f(x0)=0
B.f(x0)不存在
C.f(x0)=0或f(x0)不存在
D.f(x0)存在但可能不为0
[答案] C
[解析] 如:
y=|x|,在x=0时取得极小值,但f(0)不存在.
4.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 只有这一点导数值为0,且两侧导数值异号才是充要条件.
5.对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题:
①f(x)是增函数,无极值;
②f(x)是减函数,无极值;
③f(x)的递增区间为(-,0),(2,+),递减区间为(0,2);
④f(0)=0是极大值,f
(2)=-4是极小值.
其中正确的命题有()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
[答案] B
[解析] f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f(x)0,得x2或x0,令f(x)0,得02,①②错误.
6.函数f(x)=x+1x的极值情况是()
A.当x=1时,极小值为2,但无极大值
B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值
C.当x=-1时,极小值为-2;当x=1时,极大值为2
D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2
[答案] D
[解析] f(x)=1-1x2,令f(x)=0,得x=1,
函数f(x)在区间(-,-1)和(1,+)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,
当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.
7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
[答案] A
[解析] 由f(x)的图象可知,函数f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减,故函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点.
8.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y的极值情况是()
A.有极小值
B.有极大值
C.既有极大值又有极小值
D.无极值
[答案] D
[解析] ∵y=1-11+x2(x2+1)
=1-2xx2+1=(x-1)2x2+1
令y=0得x=1,当x1时,y0,
当x1时,y0,
函数无极值,故应选D.
9.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则函数f(x)的极值是()
A.极大值为427,极小值为0
B.极大值为0,极小值为427
C.极大值为0,极小值为-427
D.极大值为-427,极小值为0
[答案] A
[解析] 由题意得,f
(1)=0,p+q=1①
f
(1)=0,2p+q=3②
由①②得p=2,q=-1.
f(x)=x3-2x2+x,f(x)=3x2-4x+1
=(3x-1)(x-1),
令f(x)=0,得x=13或x=1,极大值f13=427,极小值f
(1)=0.
10.下列函数中,x=0是极值点的是()
A.y=-x3B.y=cos2x
C.y=tanx-xD.y=1x
[答案] B
[解析] y=cos2x=1+cos2x2,y=-sin2x,
x=0是y=0的根且在x=0附近,y左正右负,
x=0是函数的极大值点.
二、填空题
11.函数y=2xx2+1的极大值为______,极小值为______.
[答案] 1-1
[解析] y=2(1+x)(1-x)(x2+1)2,
令y0得-11,令y0得x1或x-1,
当x=-1时,取极小值-1,当x=1时,取极大值1.
12.函数y=x3-6x+a的极大值为____________,极小值为____________.
[答案] a+42 a-42
[解析] y=3x2-6=3(x+2)(x-2),
令y0,得x2或x-2,
令y0,得-22,
当x=-2时取极大值a+42,
当x=2时取极小值a-42.
13.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1处有极大值,在x=3处有极小值,则a=______,b=________.
[答案] -3-9
[解析] y=3x2+2ax+b,方程y=0有根-1及3,由韦达定理应有
14.已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有相异三个公共点,则a的取值范围是________.
[答案] (-2,2)
[解析] 令f(x)=3x2-3=0得x=1,
可得极大值为f(-1)=2,极小值为f
(1)=-2,
y=f(x)的大致图象如图
观察图象得-22时恰有三个不同的公共点.
三、解答题
15.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11.
(1)写出函数f(x)的递减区间;
(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值.
[解析] f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),
令f(x)=0,得x1=-1,x2=3.
x变化时,f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示:
x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)
f(x)+0-0+
f(x)增极大值
f(-1)减极小值
f(3)增
(1)由表可得函数的递减区间为(-1,3);
(2)由表可得,当x=-1时,函数有极大值为f(-1)=16;当x=3时,函数有极小值为f(3)=-16.
16.设函数f(x)=ax3+bx2+cx,在x=1和x=-1处有极值,且f
(1)=-1,求a、b、c的值,并求出相应的极值.
[解析] f(x)=3ax2+2bx+c.
∵x=1是函数的极值点,-1、1是方程f(x)=0的根,即有
又f
(1)=-1,则有a+b+c=-1,
此时函数的表达式为f(x)=12x3-32x.
f(x)=32x2-32.
令f(x)=0,得x=1.
当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:
x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)
f(x)+0-0+
f(x)?
极大
值1?
极小
值-1?
由上表可以看出,当x=-1时,函数有极大值1;当x=1时,函数有极小值-1.
17.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值.
(1)讨论f
(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.
[解析]
(1)f(x)=3ax2+2bx-3,依题意,
f
(1)=f(-1)=0,即
解得a=1,b=0.
f(x)=x3-3x,
f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
令f(x)=0,得x1=-1,x2=1.
若x(-,-1)(1,+),则f(x)>0,故
f(x)在(-,-1)上是增函数,
f(x)在(1,+)上是增函数.
若x(-1,1),则f(x)<0,故
f(x)在(-1,1)上是减函数.
f(-1)=2是极大值;f
(1)=-2是极小值.
(2)曲线方程为y=x3-3x.点A(0,16)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x30-3x0.
∵f(x0)=3(x20-1),故切线的方程为
y-y0=3(x20-1)(x-x0).
注意到点A(0,16)在切线上,有
16-(x30-3x0)=3(x20-1)(0-x0).
化简得x30=-8,解得x0=-2.
切点为M(-2,-2),
切线方程为9x-y+16=0.
18.(2019北京文,18)设函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a0),且方程f(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-,+)内无极值点,求a的取值范围.
[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用.
由f(x)=a3x3+bx2+cx+d得f(x)=ax2+2bx+c
∵f(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4.
(1)当a=3时,由(*)式得,
解得b=-3,c=12.
又∵曲线y=f(x)过原点,d=0.
故f(x)=x3-3x2+12x.
(2)由于a0,所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-,+)内无极值点”等价于“f(x)=ax2+2bx+c0在(-,+)内恒成立”
由(*)式得2b=9-5a,c=4a.
又∵=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)
解得a[1,9],
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼,从最初的门馆、私塾到晚清的学堂,“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书,最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也?
”;《论语》中的“有酒食,先生馔”;《国策》中的“先生坐,何至于此?
”等等,均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
其实《国策》中本身就有“先生长者,有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意,倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来,“先生”之本源含义在于礼貌和尊称,并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载,首见于《礼记?
曲礼》,有“从于先生,不越礼而与人言”,其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”,与教师、老师之意基本一致。
要练说,得练看。
看与说是统一的,看不准就难以说得好。
练看,就是训练幼儿的观察能力,扩大幼儿的认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中,积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象的选择,着力于观察过程的指导,着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
即a的取值范围[1,9].
家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。
我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。