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英文数学论文

ThispaperisconcernedwiththeCauchyproblemofnonlinearwaveequationswithpotential,strong,andnonlineardampingterms.Firstly,byusingvariationalcalculusandcompactnesslemma,theexistenceofstandingwavesofthegroundstatesisobtained.Thentheinstabilityofthestandingwaveisshownbyapplyingpotential-wellargumentsandconcavitymethods.Finally,weshowhowsmalltheinitialdataarefortheglobalsolutionstoexist.

Keywords:

waveequations;nonlineardampingterms;strongdampingterms;globalexistence;blow-up

Introduction

ConsidertheCauchyproblemfornonlinearwaveequationswithpotential,strong,andnonlineardampingterms,

{utt−Δu−ωΔut+V（x）u+|ut|m−2ut=|u|p−2u,u（0,x）=u0,ut（0,x）=u1,in [0,T）×Rn,in Rn,

（1）

where p>2, m≥2, T>0, ω>0,

u0∈H1（Rn）,u1∈L2（Rn）,

（2）

and

22,for n≤2.（3）

Withtheabsenceofthestrongdampingterm Δut,andthedampingterm ut （see [1]）,（1.1）canbeviewedasaninteractionbetweenoneormorediscreteoscillatorsandafieldorcontinuousmedium [2].

Forthecaseoflineardamping（ ω=0, m=2）andnonlinearsources,Levine [3]showedthatthesolutionsto（1.1）withnegativeinitialenergyblow-upfortheabstractversion.Forthenonlineardampingandsourceterms（ ω=0, m>2, p>2, V（x）=0）,theabstractversionhasbeenconsideredbymanyresearchers [4]–[12].Forinstance,GeorgievandTodorova [4]provethatif m≥p,aglobalweaksolutionexistsforanyinitialdata,whileif 20, m=2, V（x）=0）andnonlinearsourceterms（ p>2）hasbeenstudiedbyGazzolaandSquassinain [1].Theyprovetheglobalexistenceofsolutionswithinitialdatainthepotentialwellandshowthateveryglobalsolutionisuniformlyboundedinthenaturalphasespace.Moreover,theyprovefinitetimeblow-upforsolutionswithhighenergyinitialdata.However,theydonotconsiderthecaseofanonlineardampingterm（ ω>0, m>2, p>2）.

Tothebestofourknowledge,littleworkhasbeencarriedoutontheexistenceandinstabilityofthestandingwavefor（1.1）.Inthispaper,westudytheexistenceofastandingwavewithgroundstate（ω=1）,whichistheminimalactionsolutionofthefollowingellipticequation:

−Δϕ+V（x）ϕ=|ϕ|p−2ϕ.（4）

Basedonthecharacterizationofthegroundstateandthelocalwell-posednesstheory[7],weinvestigatetheinstabilityofthestandingwavefortheCauchyproblem（1.1）.Finally,wederiveasufficientconditionofglobalexistenceofsolutionstotheCauchyproblem（1.1）byusingtherelationbetweeninitialdataandthegroundstatesolutionof（1.4）.Itshouldbepointedoutthattheseresultsinthepresentpaperareunknownto（1.1）before.

Forsimplicity,throughoutthispaperwedenote ∫Rn⋅dx by ∫⋅dx andarbitrarypositiveconstantsby C.

Preliminariesandstatementofmainresults

Wedefinetheenergyspace Hinthecourseofnatureas

H:

={φ∈H1（Rn）,∫V（x）|φ|dx<∞}.（5）

Byitsdefinition, H isaHilbertspace,continuouslyembeddedin H1（Rn）,whenendowedwiththeinnerproductasfollows:

⟨φ,ϕ⟩H:

=∫（∇φ∇ϕ¯+V（x）φϕ¯）dx,（6）

whoseassociatednormisdenotedby ∥⋅∥H.If φ∈H,then

∥φ∥H=（∫|∇φ|2dx+∫V（x）|φ|2dx）12.（7）

Throughoutthispaper,wemakethefollowingassumptionson V（x）:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪infx∈RnV（x）=V¯（x）>0,V（x） isa C1 boundedmeasurablefunctionon Rn,limx→∞V（x）=∞.（8）

Accordingto [1]and [7],wehavethefollowinglocalwell-posednessfortheCauchyproblem（1.1）.

Proposition2.1

If （1.2） and （1.3） hold, thenthereexistsauniquesolutionu（t,x）oftheCauchyproblem （1.1） onamaximaltimeinterval[0,T）, forsomeT∈（0,∞） （maximalexistencetime） suchthat

u（t,x）∈C（[0,T）;H1（Rn））∩C1（[0,T）;L2（Rn））∩C2（[0,T）;H−1（Rn））,ut（t,x）∈C（[0,T）;H1（Rn））∩Lm（[0,T）×Rn）,（9）

andeither T=∞or T<∞and limt→T−∥u∥H1=∞.

Remark2.2

FromProposition 2.1,itfollowsthat m=p isthecriticalcase,namelyfor p≤m,aweaksolutionexistsgloballyintimeforanycompactlysupportedinitialdata;whilefor m

Wedefinethefunctionals

S（ϕ）:

=12∫|∇ϕ|2dx+12∫V（x）|ϕ|2dx−1p∫|ϕ|pdx,（10）

R（ϕ）:

=∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx−∫|ϕ|pdx,（11）

for ϕ∈H1（Rn）,andwedefinetheset

M:

={ϕ∈H1∖{0};R（ϕ）=0}.（12）

Weconsidertheconstrainedvariationalproblem

dM:

=inf{supλ≥0S（λϕ）:

R（ϕ）<0,ϕ∈H1∖{0}}.（13）

FortheCauchyproblem（1.1）,wedefineunstableandstablesets, K1and K2,asfollows:

K1≡{ϕ∈H1（Rn）∣R（ϕ）<0,S（ϕ）0,S（ϕ）

Themainresultsofthispaperarethefollowing.

Theorem2.3

Thereexists Q∈Msuchthat

（a1） S（Q）=infMS（ϕ）=dM;

（a2） Qisagroundstatesolutionof （1.4）.

FromTheorem 2.3,wehavethefollowing.

Lemma2.4

LetQ（x）bethegroundstateof （1.4）. If （1.3） holds, then

S（Q）=minMS（ϕ）.（15）

Theorem2.5

Assumethat （1.2）-（1.3） holdandtheinitialenergyE（0）satisfies

E（0）=<12∫|u1|2dx+12（∫|∇u0|2dx+∫V（x）|u0|2dx）−1p∫|u0|pdxp−22p（∫|∇Q|2dx+∫V（x）|Q|2dx）.（16）

（b1） If 2

（b2） If2

∥ut∥22+p−2p（∫|∇u0|2dx+∫V（x）|u0|2dx）

Variationalcharacterizationofthegroundstate

Inthissection,weproveTheorem 2.3.

Lemma3.1

Theconstrainedvariationalproblem

dM:

=inf{supλ≥0S（λϕ）:

R（ϕ）<0,ϕ∈H1∖{0}},（18）

isequivalentto

d1:

=inf{supλ≥0S（λϕ）:

R（ϕ）=0,ϕ∈H1∖{0}}=infϕ∈MS（ϕ）,（19）

and dMprovided 2

Proof

Let ϕ∈H1.Since

S（λϕ）=λ22（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）−λpp∫|ϕ|pdx,（20）

itfollowsthat

ddλS（λϕ）=λ（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）−λp−1∫|ϕ|pdx.（21）

Thusby 2≤m

supλ≥0S（λϕ）=S（λ1ϕ）=λ21（12∫|∇ϕ|2dx+12∫V（x）|ϕ|2dx−λp−21p∫|ϕ|pdx）,（22）

where λ1 uniquelydependson ϕ andsatisfies

∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx−λp−21∫|ϕ|pdx=0.（23）

Since

d2dλ2S（λϕ）=∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx−pλp−2∫|ϕ|pdx,（24）

whichtogetherwith p>2 and（3.6）impliesthat d2dλ2S（λϕ）|λ=λ1<0,wehave

supλ≥0S（λϕ）=p−22p（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）pp−2（∫|ϕ|pdx）2p−2.（25）

Therefore,theaboveestimatesleadto

dM==inf{supλ≥0S（λϕ）:

R（ϕ）<0,ϕ∈H1∖{0}}inf{p−22p（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）pp−2（∫|ϕ|pdx）2p−2:

R（ϕ）<0}.（26）

Itiseasytoseethat

d1==inf{supλ≥0S（λϕ）:

R（ϕ）=0,ϕ∈H1∖{0}}infϕ∈M{p−22p（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）}.（27）

From（2.3）-（2.5）,on M onehas

S（ϕ）=p−22p（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）.（28）

Itfollowsthat d1=infϕ∈MS（ϕ） and S（ϕ）>0 on M.

Nextweestablishtheequivalenceofthetwominimizationproblems（3.1）and（3.2）.

Forany ϕ0∈H1and R（ϕ0）<0,let ϕβ（x）=βϕ0.Thereexistsa β0∈（0,1）suchthat R（ϕβ0）=0,andfrom（3.8）weget

supλ≥0S（λϕβ0）===p−22p（∫|∇ϕβ0|2dx+∫V（x）|ϕβ0|2dx）pp−2（∫|ϕβ0|pdx）2p−2p−22pβ2pp−20（∫|∇ϕ0|2dx+∫V（x）|ϕ0|2dx）pp−2β2pp−20（∫|ϕ0|pdx）2p−2p−22p（∫|∇ϕ0|2dx+∫V（x）|ϕ0|2dx）pp−2（∫|ϕ0|pdx）2p−2.（29）

Consequentlythetwominimizationproblems（3.8）and（3.9）areequivalent,thatis,（3.1）and（3.2）areequivalent.

Finally,weprove dM>0byshowing d1>0intermsoftheaboveequivalence.Since 2

∫|ϕ|pdx≤C（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）p2.（30）

From R（ϕ）=0,itfollowsthat

∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx=∫|ϕ|pdx≤C（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）p2,（31）

whichtogetherwith p>2 implies

∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx≥C>0.（32）

Therefore,from（3.10）,weget

S（ϕ）≥C>0,ϕ∈M.（33）

Thusfromtheequivalenceofthetwominimizationproblems（3.1）and（3.2）oneconcludesthat dM>0 for 2

ThiscompletestheproofofLemma 3.1. □

Proposition3.2

SisboundedbelowonMand dM>0.

Proof

From（2.3）-（2.6）,on Monehas

S（ϕ）=p−22p（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）.（34）

Itfollowsthat S（ϕ）>0 on M.So S isboundedbelowon M.From（2.6）wehavedM>0. □

Proposition3.3

Letϕλ（x）=λϕ（x）, forϕ∈H1∖{0}andλ>0. Thenthereexistsauniqueμ>0 （dependingonϕ） suchthatR（ϕμ）=0. Moreover,

R（ϕλ）>0,for λ∈（0,μ）;R（ϕλ）<0,for λ∈（μ,∞）;（35）

and

S（ϕμ）≥S（ϕλ）,∀λ>0.（36）

Proof

By（2.3）and（2.4）,wehave

S（ϕλ）=λ22（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）−λpp∫|ϕ|pdx,R（ϕλ）=λ2（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）−λp∫|ϕ|pdx.（37）

Fromthedefinitionof M,thereexistsaunique μ>0 suchthat R（ϕμ）=0.Moreover,

R（ϕλ）>0,for λ∈（0,μ）;R（ϕλ）<0,for λ∈（μ,∞）.（38）

Since

ddλS（ϕλ）=λ−1R（ϕλ）,（39）

and R（ϕμ）=0,wehave S（ϕμ）≥S（ϕλ）, ∀λ>0. □

Next,wesolvethevariationalproblem（2.6）.

Wefirstgiveacompactnesslemmain [8].

Lemma3.4

Let 1≤p

Inthefollowing,weproveTheorem 2.3.

ProofofTheorem 2.3

AccordingtoProposition 3.2,welet {ϕn,n∈N}⊂Mbeaminimizingsequencefor（2.6）,thatis,

R（ϕn）=0,S（ϕn）→dM.（40）

From（3.15）and（3.16）,weknow ∥∇ϕn∥22 isboundedforall n∈N.Thenthereexistsasubsequence {ϕnk,k∈N}⊂{ϕn,n∈N},suchthat

{ϕnk}⇀ϕ∞weaklyin H1.（41）

Forsimplicity,westilldenote {ϕnk,k∈N} by {ϕn,n∈N}.Sowehave

ϕn⇀ϕ∞weaklyin H1.（42）

ByLemma 3.4,wehave

ϕn→ϕ∞stronglyin L2（Rn）,（43）

ϕn→ϕ∞stronglyin Lp（Rn）.（44）

Next,weprovethat ϕ∞≠0 bycontradiction.If ϕ∞≡0,from（3.18）and（3.19）,wehave

ϕn→0stronglyin L2（Rn）,（45）

ϕn→0stronglyin Lp（Rn）.（46）

Since ϕn∈M, R（ϕn）=0,weobtain

（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）→0,n→∞.（47）

Ontheotherhand,from（2.3）wehave

（∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）−2p∫|ϕn|pdx→dM.（48）

From（3.20）-（3.21）weobtain （∫|∇ϕ|2dx+∫V（x）|ϕ|2dx）→dM.AccordingtoProposition 3.2, dM≥c>0.Thisisincontradictoryto（3.22）.Thus ϕ∞≠0.

AccordingtoProposition 3.3,wetake Q=（ϕ∞）μwith μ>0uniquelydeterminedbythecondition R（Q）=R[（ϕ∞）μ]=0.From（3.17）-（3.19）,wehave

（ϕ∞）μ→Qstronglyin L2（Rn）,（49）

（ϕ∞）μ→Qstronglyin Lp（Rn）,（50）

（ϕ∞）μ⇀Qweaklyin H1（Rn）.（51）

Since R（ϕn）=0 andbyProposition 3.3,weget

S[（ϕ∞）μ]≤S（ϕn）.（52）

From（3