让初中生看得懂相对论.docx

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让初中生看得懂相对论

让初中生看得懂相对论

（1）

狭义相对论是是根据两条原理导出的，这两条原理是:

　　1.相对性原理。

即在所有的惯性参考系中，一切物理定律都有其相同的表达形式。

　　2.光速不变原理。

记载所有的惯性参考系中，所测得的真空中的光速都是一样的。

　　现在具体解释一下这两条原理。

　　相对性原理:

这一条的意思是，如果你在一个区间里做实验，无论这个区间是静止的还是在做10米/秒或者30千米/秒的匀速直线运动结果都是一样的。

　　打个比方来说，你在一节封闭了窗户的火车车间里做实验，无论火车是停在车站上还是正在笔直的铁轨上做时速200公里的匀速运动，结果都是一样的，你无法区分火车是静止在车站上，还是在笔直的铁轨上做时速100公里还是时速300公里的匀速运动。

　　火车静止时，你在该车间内可以视作在一个惯性系内，火车在笔直的铁轨上匀速前进，你在该车间内可以视作在另一个惯性系里，你在这两个惯性系里做同样的物理运动效果是等效的。

你要测试你的跳远成绩，在前一个惯性系里一跳离起跳线2米五，在后一个惯性系里同样一跳还是离起跳线2米五。

　　那有人说了，我在火车加速的时候做那结果肯定不一样了，是的结果肯定不一样，不过那就不属于惯性参考系的比较了。

　　光速不变原理：

这个原理的意思是，对于真空中的光速，无论你静止还是运动与否，你测得光速都是一样的。

即如果真空中有一束光从你头顶穿过，无论你相对于光源静止，还是相对于光源在做10千米/秒的匀速直线运动，你看到的光速都是一样的。

　　我们用C来表示真空中的光速。

想象一下，你站在太空的宇宙真空中，在你前方的左边有一个光源（比如说一个激光器），它在你眼前从左到右发出一束光，你测的光速是C；现在你正在以速度V向右远离该光源或者该光源正在以速度V向左远离你，你测眼前的那束光的速度将还是C,而不是C－V。

　　这就是光速不变原理。

　　整个狭义相对论就是根据以上两条原理导出的，这两条原理就是狭义相对论的基础，如果你能推翻这两条原理的其中任一条，就可以推翻整个狭义相对论，如果你能总结出这两条原理的适用范围，你也就总结了一个狭义相对论的适用范围。

运动的尺变短  

    让我们来推导出相对论第一个公式。

   想象一下有两把尺子，你可以低头看一下你的桌面，想象一下，这是一把尺子，从你的口袋里掏出一张卡片放在桌子上，这是你另一把尺子。

   你手中的卡片正在从桌子的左边一端以速度v向另一端桌子右边做匀速直线运动，对于桌面来说，卡片是正在做速度为v的匀速直线运动，对于卡片来说，桌面正在做速度为v的匀速直线运动。

   我们假定物体因为运动，他的尺寸在我们那里测量会发生变化。

   我们假定相对于我们是运动的物体会因为运动，我们测量他的尺寸读取的数据跟他自己用同样尺子测量自己的尺寸相比会发生变化。

   现在想象一下桌子是一把尺子，它的最左端是零刻度，它同时还安有一个计时器；卡片是另一把同样规格的尺子，它的零刻度也在最左边，它也安有同样规格的一个计时器。

   卡片在相对桌面做从左到右的匀速直线运动，同样对于卡片来说，桌面相对它也在做匀速直线运动。

   在这两把尺子零刻度重合的一瞬间，它们各自计时器开始计时。

   对于卡片这把尺子上任一点，你可以干脆选取这一点就在卡片的右端。

   对于桌面来说我们测量这一点距卡片左边的长度为

   x-vt

   其中x为桌面尺测量的该点距桌面左端的距离，t为桌面计时器计量的卡片上该点运动到此位置所需要的时间。

   同样道理，换成用卡片的尺子测量该点距桌面左端的距离为

   x'+vt’

   其中x'为卡片尺测量的该点距卡片左端的距离，t'为卡片计时器计量的计量的卡片上该点运动到此位置所需要的时间。

   假定相对于我们是运动的物体会因为运动，我们测量他的尺寸读取的数据跟他自己用同样尺子测量自己的尺寸相比会发生变化。

我们假设运动尺和静止尺测量同一物体尺寸数据的比例为k

   对于桌面来说，自己是静止的，卡片是运动的,所以我们可以得出

   x'=k（x-vt）          

（1）

   对于卡片来说，自己是静止的，桌面是运动的，所以可以得出

   x=k（x'+vt'）       

（2）

   我们假设卡片尺的零刻度在跟桌面尺的零刻度重合开始计时的那一时刻，他们的重合的边缘发出自左向右的一束光，根据相对论成立条件的假设，无论对于卡片和桌面，光速都是c.

   我们想想该光束是一个光子，光子经过该点时，可以得出

   对于桌面

   x=ct      （3）

   对于卡片

   x'=ct'      （4）

   这样我们把这4个式子放到一起，就是一个方程组

我们来解这个方程组

（1）式等号两边分别乘以

（2）式等号两边可得

xx'=k²（xx'+xvt'-x'vt-v²tt'）                    （5）

把（3）式和（4）式代入（5）式，可得

c²tt'=k²（c²-v²）tt' 

约去tt'，可得

c²=k²（c²-v²） 

   可以解得

 k=

 k=

k=

 k=

即

                               k=1/√（1-（v/c）²））

          常用β来表示v/c,γ表示=1/√1-β²

由此可知，如果卡片的长度是10cm，当它的运动速度是0.6C的时候，桌面尺量的它的长度将8cm,而对于卡片，它的尺子量自己还是10cm,对于桌面来说，卡片尺的刻度变小了，缩短了。

   好，这就是运动的尺变短。

   科学术语——洛伦兹收缩

由上一章《运动的尺变短》中的方程组

（1）式代入

（2）式，我们可得

x=k²x-k²vt+kvt'

t'=kt+（1-k²）x/kv

     上一章我们已经解得k值，将k代入可得

                              t'=k（t-vx/c²）

     由相对性原理，

（2）式代入

（1）式，可解得

                                          t=k（t'+vx'/c²）

      由此我们可知对于卡片系统中距离卡片左端x'处发生一事件，起始时刻为t1'，结束时刻为t2',那么相应的在的始终会记录起始和结束的时刻分别为t1和t2

   那么卡片的时钟记录这一事件存在的时间为

              Δt'=t2'-t1'     

       桌面时钟记录的该事件存在的时间为

              Δt=t2-t1=k（t2'+vx'/c²）-k（t1'+vx'/c²）=k（t2'-t1'）=kΔt'

把卡片想象成一艘宇宙飞船，可以得出宇航员在里面过的一天，地球上可是过的大于一天，这就是运动的钟变慢。

相对论速度变换

   当你坐在速度为u的火车上，手里拿出一把枪朝火车运行的方向射出一枚速度为v的子弹，那么在地面上的人看子弹的速度是多少？

你可能会很容易的回答是u+v, 的确在经典时空观里，这么回答是正确的，但是我们按照相对论的时空观就不是这样了。

    你可以掏出一张卡片放在桌面上，想象一下它是一辆火车，你坐在里面。

‍

    现在我们用u来表示运动系（卡片、火车）相对于参考系（桌面、地面）的速度，上一章的两个时间公式相应的替换为

t'=k（t-ux/c²）      和    t=k（t'+ux'/c²）

    想象一下你坐在火车（卡片）里，手中握着一把枪，你朝火车（卡片）运行的方向射出一枚子弹，该子弹对于你的速度为v',也就是该物体在运动系中的速度为v'‍,相应的该物体相对于地面（桌面）速度为v;在在子弹的运行轨迹上取两点，那么子弹运行到此两点距开枪位置距离和时刻分别‍为‍x1'，‍t1'‍和x2'，t2';相应相对于地面是‍x1，‍t1‍和x2，t2

    我们来推导一下v'和v的关系‍

    v'=（‍x2'-x1'）/（t2'-t1'）

          =[k（x2-ut2）-k（x1-ut1）]/[k（t2-ux2/c²）-k（t1-ux1/c²）]

          =[（x2-x1）-u（t2-t1）]/[（t2-t1）-u（x2-x1）/c²]

          =（v-u）/（1-uv/c²）

       v=（x2-x1）/（t2-t1）

        =[k（x2'+ut2'）-k（x1'+ut1'）]/[k（t2'+ux2'/c²）-k（t1'+ux1'/c²）]

        =[（x2'-x1'）-u（t2'-t1'）]/[（t2'-t1'）+u（x2'-x1'）/c²]

        =（v'-uv）/（1+uv/c²）

  我们就得到了相对论的速度变换式

v'=（v-u）/（1-uv/c²）

‍v=（v'-uv）/（1+uv/c²）

    如果有人要问如果运行的速度方向不与火车平行呢？

那么我们把火车和地面分别置身于一个坐标系里，取火车相对地面运动的方向为x轴正方向，火车所在的坐标系为o'x'y'z',地面坐标系为oxyz，那么子弹的速度就可以分解为一个平行于火车运行方向（x轴）的分速度vx'（相对于火车，相对于地面则用vx来表示）；两个垂直于火车运动方向（y轴、z轴）的分速度vy'，vz'（相对于火车，相对于地面则用vy，vz来表示）。

    两点的三维坐标加一维时间坐标在运动系（火车）里分别为（x1',y1',z1',t1'）,（x2',y2',z2',t2'）；在参考系里分别为（x1,y1,z1,t1）,（x2,y2,z2,t2）

   以上两公式可改写为

       vx'=（vx-u）/（1-uvx/c²）

‍        vx=（vx'-uv）/（1+uvx/c²）

 火车在y轴和z轴上没有分速度，所以y2-y1=y2'-y1',z2-z1=z2'-z1'

推导y轴和z轴上的速度变换式

     vy=（y2'-y1'）/（t2-t1）

        =（y2'-y1'）/[k（t2'+ux2'/c²）-k（t1'+ux1'/c²）]

        =（y2'-y1'）/[k（t2'-t1'）+ku（x2'-x1'）/c²]

        =[（y2'-y1'）/（t2'-t1'）]/k[1+u（x2'-x1'））/（t2'-t1'）c²]

        =vy'/k（1+uvx'/c²）

     vz=（z2-z1）/（t2-t1）

        =（z2'-z1'）/[k（t2'+ux2'/c²）-k（t1'+ux1'/c²）]

        =（z2'-z1'）/[k（t2'-t1'）+ku（x2'-x1'）/c²]

        =（z2'-z1'）/（t2'-t1'）]/k[1+u（x2'-x1'）/（t2'-t1'）c²]

        =vz'/k（1+uvx'/c²）

相应的  

     vy'=（y2'-y1'）/（t2'-t1'）

         =（y2'-y1'）/[k（t2-ux2/c²）-k（t1-ux1/c²）]

         =（y2'-y1'）/[k（t2-t1）-ku（x2-x1）/c²]

          =[（y2-y1）/（t2-t1]/k[1-u（x2-x1）/（t2-t1）c²]

         =vy/k（1-uvx/c²）

     vz'=（z2'-z1'）/（t2'-t1'）

         =（z2-z1）/[k（t2-ux2/c²）-k（t1-ux1/c²）]

         =（z2-z1）/[k（t2-t1）-ku（x2-x1）/c²]

         =（z2-z1）/（t2-t1]/k[1-u（x2-x1）/（t2-t1）c²]

         =vz/k（1-uvx/c²）

 用γ表示k,可得相对论的速度变换式为

       vx=（vx'+uv）/（1+uvx/c²）

      vy=vy'/γ（1+uvx'/c²）

          vz=vz'/γ（1+uvx'/c²）

 和

     vx'=（vx-uv）/（1-uvx/c²）

      vy'=vy/γ（1-uvx'/c²）

          vz'=vz/γ（1-uvx'/c²） 

相对论性质量

    喜欢看科幻小说的朋友，不少人一定看到过描述一个宇宙中运行的飞行物，“速度越大，质量越大”，速度接近于光速，质量无穷大吧？

    我们m0用来表示物体对于我们相对静止时的质量，也就是说m0是该物体相对于相对它为静止状态的惯性系的质量，我们称这个物理量为静质量；用m来表示该物体相对于我们为运动状态时的质量，同理也就是说该物体相对于相对它为运动状态的惯性系的质量，我们称这个物理量为动质量。

   那么物体静质量m0和动质量m的关系为如何呢？

我们来看这个事例。

    我们假设参考系内（桌面上）有一个小球，它的质量为m0 ，运动系内（卡片）静止有一同样小球，对于参考系来说它的质量为m,卡片相对于桌面的运动速度为u,两个小球同处于运动系的运动方向上，参考系的小球在运动系的小球前方。

当两个小球碰撞时，我们假设发生的是完全非弹性碰撞，两个小球粘合在了一起。

站在桌面的角度：

     碰撞前，

        桌面小球速度为0，动量为0,卡片小球质量为m速度为运动系速度u,

        所以碰撞前的两球动量和p=p1+p2=0+mu=mu

       碰撞后，    

        根据质量守恒定律，两个小球粘合成一个整体的质量为M=m0+m

        根据动量守恒定律，两个小球粘合成的整体速度动量为碰撞前的动量和p=mu

 所以碰撞后，两小球粘合成的整体相对于参考系（桌面）的速度为v=mu/（m0+m）

 站在卡片的角度：

     对卡片来说，卡片内的小球是静止的，是桌面的小球以速度-u向它运动，所以它的质量应该为m0,桌面小球的质量为m

    碰撞前，

        桌面小球速度为-v，质量量为m,卡片小球质量为m0速度为-u,

        所以碰撞前的两球动量和p'=p1'+p2'=m（-u）+0=-mu

     碰撞后，    

        根据质量守恒定律，两个小球粘合成一个整体的质量为M=m0+m

        根据动量守恒定律，两个小球粘合成的整体速度动量为碰撞前的动量和p=-mu

所以碰撞后两小球粘合整体的速度相对卡片来说为 v'=-mu/（m0+m）

根据动量公式有

v=（u+v'）/（1+uv'/c²）

mu/（m0+m）=[u-mu/（m0+m）]/[1-mu²/（m0+m）c²]

                           mu/（m0+m）=m0uc²/（m0c²+mc²-mu²）    

                     m0mc²+m²c²-m²u²=m0²c²+m0mc²

                                  m/m0=√[c²/（c²-u²）]

                                   m/m0=1/√[1-（u/c）²]

通常用v表示速度，所以将u替换成v

可得相对论的质速公式m=m0/√[1-（v/c）²]          

所以相对论的动量公式为p=mv=m0v/√[1-（v/c）²]=γm0v   

γ表示1/√[1-（v/c）²]

这就是所谓的速度越大，质量越大

光的多普勒效应

   喜欢宇宙科学的网友，收看电视节目的时候一定听说过宇宙红移这个名词吧？

   我们这一章来讲讲宇宙红移是怎么回事

   我们知道光是一种波，它有波长和频率。

   光源在时间t内发出光的波数为n,我们可以知道该光的频率ν为

ν=n/t

   我们知道各种颜色的光的频率是不同的，可见光中红光的频率最低。

   想象一下在我们眼睛前方有一个手电筒，该手电筒正在以速度v远离我们，那么它发出的光的频率跟我们看到的频率相等么？

   我们假设该手电筒在时间t'内发出光的波数为n,起始时刻为t1'，结束时刻为t2',我们对应的时刻是t1，t2，记录的所用时间就是t

根据时间膨胀公式可得

                        （t2'-t1'）/（t2-t1）=t'/t=√1-（v/c）²

   我们设起始时刻（也就是手电筒的时刻t1'，我们的时刻t1）手电筒据我们的距离为x,我们可以计算得知，这束光的第一波到达我们的时刻 

T1=t1+x/c

  则结束时刻（也就是手电筒的时刻t2'，我们的时刻t2）手电筒据我们的距离为x+vt

    T2=t2+（x+vt）/c

   则这束光经过我们的时间为

          T=T2-T1=t2-t1+vt/c=t+vt/c=t（1+v/c）

我们用β表示v/c,由t=t'/√1-（v/c）²=t'/√1-β²代入上式可得

          T=（t'/√1-β²）（1+β）=t'（1+β）/√1-β²=t'√（1+β）/（1-β）

手电筒发射的这束光的频率为

ν=n/t'

我们接受到这书光的频率为

                     νo=N/T=N/[t'√（1+β）/（1-β）]=[√（1-β）/（1+β）]（N/t'）=ν√（1-β）/（1+β）

√（1-β）/（1+β）<1

我们可以知道我们接受到的该光的频率比手电筒发射的该光的频率小

      在低速运动下，β=v/c近似为0，所以频率变化不明显

      但是把手电筒换成一个宇宙星球，它以接近光速高速远离我们，那变化可就明显了。

可能本来它本来发的是一束蓝光，我们看到的却是一束红光（可见光中红光频率最小），这就是所谓的宇宙红移现象。

     那么网友要说了如果是该星体以速度v靠近我们呢？

    与上面的推导过程类似，我们会得到

                      νo=ν√（1+β）/（1-β）

     由此可得，我们看到的这束光的频率会比该光源发出该光的频率大，也就是它可能发出的是一道红光，我们看到的却是一道蓝光，这就是所谓的蓝移现象（虽然名称这么叫，但是蓝光不是可见光中频率最大的）。

      另：

光源本身发出该光的频率ν我们叫做本征频率。

质能方程

     现在，我们来推导相对论那个著名的公式，质能方程公式

E=mc²

      （E表示物体的能量，m表示物体的质量，c表示光速）

       推导这个公式，需要数学上的微积分的知识，没有学过微积分的网友也不用着急，随后我们将介绍一种不按常理出牌的简单方法。

方法一 

      我们知道，当我们向一个物体施加一个力F使的物体在空间位置上产生位移S的时候，会对物体做功，所做的功将转化为物体的动能Ek,也就是Ek=FS 

       当外力作用在静止质量为m0的自由质点上时，质点每经历极小位移ds，其动能的增量是dEk=Fds，设这段时间为dt，则该质点这段动量增量是dp=Fdt，由速度v=ds/dt=Fds/Fdt=dEk/dp，

 得dEk=vdp=vd（mv）=v²dm+mvd

由质速公式  m=m0/√1-（v/c）²，得m²（c²-v²）=m0²c²

                                 微分：

d[m²（c²-v²）]=d（m0²c²）=0

                                              d（m²c²）=d（m²v²）

                                             mcd（mc）=mvd（mv）

                                                c²dm=v²dm+mvdv

                                 可得 mvdv=（c²-v²）dm

 代入上式dEk=v²dm+mvdv,可得

                      dEk=c²dm

      以上说明，当质点的速度v增大时，其质量m和动能dEk都在增加，质量的增量dm和动能的增量dEk之间始终保持dEk=c²dm所示的量值上的正比关系。

     当v=0时，质量m=m0，动能Ek=0，

     所以，将上式积分，可得

                               Ek=mc²-m0c²

方法二

   光在照射物体表面时会对物体有压力叫做光压，不过这个压力挺小的，我们感受不到，开普勒在解释彗尾行程时就提到了光压，当彗星靠近太阳时，彗星中的尘埃和气体分子由于受到太阳辐射的光压作用而产生了彗尾，彗尾永远指向太阳的反方向。

麦克斯韦根据电磁理论解释了光压现象，并算出了光压的值。

当平行光垂直照射物体时，单位面积所受光压为P=I（1＋R）/c，式中I为单位时间垂直入射到单位面积的光能量，R为表面的能量反射率，c为真空中的光速。

对光压的首次实验测量是由俄国物理学家P.N.列别捷夫于1899年完成的。

   现在假设单位时间t单位面积s内光子“撞”向镜面，又返了回来，也就是100%的反射，也就是能量反射率R=1

   光子的质量为m,以入射镜面的方向为正方向，光子入射前的动量为mc,反射回来动量为m（-c）,根据动量定理

                              Ft=m（-c）-mc=-2mc

      F表示镜面因为光子光压而产生对光子的反作用力，大小与光压相等，方向相反，所以Ft=-Pst

      又因为是单位时间t单位面积s内作用，所以能量E=Ist

          Ft=-Pst=-[I（1＋R）/c]st=-Ist（1＋R）/c=-E（1+R）/c=-2E/c

    所以

            -2E/c=Ft=-2mc

    所以

            E=mc²

   这个公式就出来了。

     Ek=mc²-m0c²=γm0c²-m0c²=m0（γ-1）c²=m0（1/√1-（v/c）²  -1）c²=m0c²（c-√c²-v²）/√c²-v²

          =m0c²（c-√c²-v²）（c＋√c²-v²）/（c＋√c²-v²）√c²-v²

          =m0c²v²/（c＋√c²-v²）√c²-v²

          =m0v²[c²/（c＋√c²-v²）√c²-v²]

当v远小于c时，c²/（c＋√c²-v²）√c²-v²≈1/2

低速状态下，动能公式近似为Ek=0.5mv²

 这与经典时空观的牛顿力学，动能公式Ek=0.5mv²吻合

原创：

帮你七天学会狭义相对论

第一天 狭义相对论基础