二次函数讲义刘超docx.docx

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精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号：

年级：

初三课时数：

3课时

学员姓名：

辅导科目：

数学学科教师：

刘超

课题

二次函数及其图像

授课日期及时段

教学目标

重点、难点

考点：

（1）二次函数的概念及列关系式

（2）y=ax2（aHO的图像及性质）

（3）二次函数y=ax2+kQH0）的图像及性质

（4）二次函数y=a（x-h）2（aHO）的图像及性质

重点：

（1）会根据题意列二次函数关系式

（2）会用列表法画特殊二次函数的图像并能总结其性质

难点：

二次函数性质的理解及应用

教学内容

【考点归纳】

考点一：

二次函数的概念

知识提炼：

（1）形如y=ax2+bx+c（a^b、c是常数，aHO）的函数叫做x的二次函数.例如：

y=x2-2x-3,y=2x2+x,y=-3x2+l等，都是x的二次函数.

（2）等号左边是y,右边是x的二次多项式，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

（3）任何一个二次函数的解析式，都可以化成y=ax2+bx+c（a>b、c是常数，aHO）的形式，因此，把y二ax'+bx+c（a、b、c是常数，a^O）叫做二次函数的一般式.

丄

示例一：

下列函数：

①y二3x'+2xT；②y二2x?

+x（1-2x）；③y二x?

-兀2‘④y=x3+x2+2；⑤y二-2x'+6；⑥y二mx'+ZxT；⑦

v=x3-x（x2+x-3）：

（§）v=（a+l）x%x+2中，是x的一次函数的是（只填写序号即可）.

考点二：

二次函数y二ax?

的图像及性质

知识提炼：

（1）图像：

二次函数y二ax?

（a^O）的图像是一条抛物线，其对称轴是y轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,

顶点坐标是（0,0）.

（2）性质：

二次函数y=ax2（a^O）的性质如下表.

函数

a的

符号

图像

开口

方向

顶点坐标

对称

轴

函数值得变化

最值

y=ax2

（a^O）

a>0

向上

（0,0）

y轴

x>0,y随x的增大而增大；

x<0,y随x的增大而减小

当x二0时，

y最小=0

a<0

向下

（0,0）

y轴

x>0,y随x的增大而减小；

x<0,y随x的增大而增大

当x=0时，

y放大二0

（3）抛物线y=ax2（a^0）的开口大小由丨aI决定，丨aI越大，抛物线的开口越窄；丨aI越小，抛物线的开口越宽.

示例二:

已知（-2,刃）,（-1,y2）两点都在函数y=-3x2的图像上,试比较y：

和y?

的大小.

示例三：

已知函数y=（n+2）/也4是关于x的二次函数，求：

（1）满足条件的n的值.

（2）n为何值时，抛物线有最低点？

求出这个最低点的坐标，并求y随x的增大而增大的x的取值范围.（3）n为何值时，函数有最大值？

最大

值是多少？

并求出y随x的增大而减小的x的取值范围.

考点三：

二次函数y=ax2+k的图像及性质

知识提炼：

（1）二次函数y=ax2+k（a^0）的图像与尸d的图像形状相同，只是位置不同，也就是说平移后图像可以重合.当k>0时，抛物线向上平移k个单位，得到y=ax2+k的图像；当k<0时，抛物线向下平移丨kI个单位，得到y=ax2+k的图像,规律为“上加下减”.

（2）性质:

二次函数y=ax2+k（aHO）的性质如下表.

函数

3的

符号

图像

开口

方向

顶点坐

标

对称轴

函数值得变化

最值

y=ax2+k

（aHO）

a>0

向上

（0,k）

y轴

x>0,y随x的增大而增大；

x<0,y随x的增大而减小

当x=0时，

y最小二k

丿x

a<0

向下

（0,k）

y轴

x>0,y随x的增大而减小；

x<0,y随x的增大而增大

当x=0时,

y眾大二k

/°

示例四：

抛物线y二x'-l的顶点坐标是（）

A.（0,1）B.（0,-1）C.（1,0）D.（-1,0）

示例五：

抛物线y二2/向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（）

A.y=2x2+5B.y=2x2-5C.y=2（x+5）2D.y=2（x-5）2

考点四：

二次函数尸a（x-h）彳的图像及性质

知识提炼：

（1）二次函数y=a（x-h）2（aHO）的图像可以由y二ax'向左或向右平移得到.当h>0时，抛物线y二ax'向右平移h个单位，得到y=a（x-h）2的图像；当hVO吋，抛物线尸a/向左平移Ih丨个单位，得到y=a（x-h）2的图像.

（2）性质：

二次函数y=a（x-h）2QH0）的性质如下表.

函数

a的

符号

图像

开口

方向

顶点坐

标

对称轴

函数值得变化

最值

a>0

向上

（h,0）

直线

x二h

x>h,y随x的增大而增大；

当X二h吋，

y最小=0

y=a（x~h）2

（aHO）

a<0

向下

（h,0）

直线

x=h

x>h,y随x的增大而减小；

当x=h时，

y城大=0

示例六：

将抛物线尸卡向右平移2.6个单位可得抛物线，所得抛物线的开口是——

对称轴是，顶点坐标是.

【综合应用题】

例1.在同一直角坐标系屮，函数y二ax'与y=ax+a的图像大致是图屮的（）

例2.试说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y=--x2得到抛物线y=--x2-2?

如果要得到抛物线y=--xM,应将

333

抛物线尸-丄宀2作怎样的平移？

函数y二3（x+丄尸的图像可由y二3/的图像怎样平移得到？

它的开口方向、对称轴、

顶点分别是什么？

例3.能否适当地左右平移y*的图像，使得到的新的图像过点（4,2）?

若能，说出平移方向和距离；若不能,

说明理由

例4.函数y=ax2（a^0）与直线y=2x-3交于点（1,b）.

（1）求a和b的值.

（2）求抛物线y二ax'的关系式，并求顶点坐标和对称轴.

（3）x収何值时，二次函数y=axz+y随x的增大而增大？

（4）求抛物线与直线尸-2的两交点及顶点构成的三角形的血积.

例5.—个函数图像是一条以y轴为的对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A（-2,2）・

（1）求这个函数的关系式

（2）画出函数图像

（3）写出抛物线上与A点关于y轴对称的点B的坐标，并计算AAOB的面积

（4）在抛物线上是否存在着点C,使AABC的面积等于AOAB的面积的一半？

如果存在，求出C点坐标；如果不存在，请说明理由.

【考场练兵】

（1）下列函数中是二次函数的是（）

A.y=3-x2

y=x_—

y=（x-3）2~x2

y=x3-2x2+l

（2）若函数y=（m2+m）

m2-2/w-1

✓V

是二次函数，

那么m

的值是（）

A.2

-1或3

~1±V2

（3）给出下列函数：

①y二2x；②y二-2x+l；

③y二兰

（x>0）；④y二x'

（x<0）

.其中，y随x的增大而减小的函数

是（）

A.①②B.③④C.②④D.②③④

（1）关于函数y二2x^8,下列叙述错误的是（）

A.函数图像的最低点为（0,-8）

B.函数图像与x轴的交点为（2,0）、（-2,0

C.将函数y二2x2-8的图像向上平移g个单位得到函数y二2/的图像

D.抛物线y=2x-8关于x轴对称的是抛物线y=-2x2-8

（2）函数y=ax2+a（a^0）与y二纟@H0）在同一坐标系中的图像可能是（）

A.a+cB.a~cC.aD.c

（1）

抛物线y=4（x-6）'的顶点坐标是（）

A.（6,0）B.（-6,0）C.（0,6）D.（0,-6）

（2）将抛物线尸6/向左平移4个单位得到抛物线（）

A.y=6x2+4B.y二6x‘-4C.y=6（x+4）2D.y=6（x~4）J

（3）己知函数y=—x2-4的图像上有三个点A（-V?

y】）、B（-2,y?

）、C（^5,y3）,则yi、y?

、y3的大小关

系是（）

4.下列抛物线中，开口最大的是（）

（1）将抛物线y=3x2-4在平面直角坐标系内绕顶点旋转180。

所得抛物线的解析式为

（2）如图所示，已知等腰直角AABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与彌在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让AABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重壳部分而积y（厘米分与时间t（秒）之间的函数关系式为.

（3）（2009•上海）将抛物线y=x2-2向上平移1个单位后，得一条新的抛物线，则

新的抛物线的表达式是

（4）

如图所示，抛物线刃的顶点在原点，并过八（-1,-1）,抛物线y2是旳向上平移2个单位而成的，则y?

二.

（1）将抛物线尸-（x+丄）$向左平移3个单位后，所的抛物线解析式为.

（2）抛物线与抛物线y二-丄（x-2）$关于x轴对称；抛物线关于y=-（x+2）2

关于y轴对称.

（3）某抛物线和抛物线y=-3x2的图像形状相同，对称轴平行于y轴，且顶点为（-1,0）,则此抛物线的关系式

为•

7.二次函数y^x"2-1在其图像对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值.

&说出下列函数图像的对称轴、顶点坐标与开口方向.

（1）y=3（x+2）'

（2）y=-3（x-2）2

（3）y=-3x2-2.

9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的图像过正方形AB0C的三个顶点A、B、C,则ac的值是

10.已知点A（1,a）在抛物线y=x2±.

（1）求A点坐标

（2）在x轴上是否存在点P,使得AOAP是等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

11.已知抛物线y二（in-1）x2+m2-2m-2的开口向下,且过点（0,1）.

（1）求m的值

（2）求抛物线的顶点坐标及对称轴

（3）当x为何值时，y随x的增大而增大

12.—位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=--x2+3.5运行，然后准确落入篮圈内，己知篮圈的中心离地面的距离

为3.05米.

1.球在空中运行的最大高度是多少米？

2.如果该运动员跳投时，球离地面的高度为2.25米，请问：

他距离篮圈中心的水平距离是多少米?

13.己知抛物线y=a（x+2）'过点（1,-3）,求：

（1）抛物线解析式

（2）画出函数的图像

（3）

抛物线的对称轴、顶点坐标

（4）从图像观察，当x取何值时，y随x的增大而增大

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