北师版八上导学案《勾股定理》.docx
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北师版八上导学案《勾股定理》
第一章勾股定理学案
第一课时
学习目标:
掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。
一、预习
1、三角形按角的大小可分为:
、、。
2、三角形的三边关系:
三角形的任意两边之和;任意两边之差。
3、直角三角形的两个锐角;
4、在RtΔABC中,两条直角边长分别为a、b,则这个直角三角形的面积可以表示为:
。
5、探索直角三角形三边的特殊关系:
(1)画直角三角形,使其两边满足下面的条件,测量第三边的长度,完成填空;3,4,;5,12,.
(2)猜想:
直角三角形的三边满足什么关系?
(3)任画一直角三角形,量出三边长度,看得到的数据是否符合你的猜想。
猜想:
二、探究:
如果下图中小方格的边长是1,观察图形,完成下表,并与同学交流:
你是怎样得到的?
图形
A的面积
B的面积
C的面积
A、B、C面积的关系
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
思考:
每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系?
归纳得出勾股定理。
勾股定理:
直角三角形等于;
几何语言表述:
如图1.1-1,在RtΔABC中,
C=90°,则:
;
若BC=a,AC=b,AB=c,则上面的定理可以表示为:
。
练习:
1、求下图中字母所代表的正方形的面积
2、求出下列各图中x的值。
3.如图所示,强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。
旗杆折断之前有多高?
3、例题.在△ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm,求△ABC的面积.
四、训练达标:
基础巩固:
1.在△ABC中,∠C=90°,
(1)若BC=5,AC=12,则AB=;
(2)若BC=3,AB=5,则AC=;
(3)若BC∶AC=3∶4,AB=10,则BC=,AC=.
(4)若AB=8.5,AC=7.5,则BC=。
2.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏,它的高为2m,宽为1.5m,现需要在相对的顶点间用一块木棒加固,木棒的长为.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC=,该直角三角形的面积为。
4.直角三角形两直角边长分别为5cm,12cm,则斜边上的高为.
5.若直角三角形的两直角边之比为3:
4,斜边长为20㎝,则斜边上的高为。
能力提升:
6.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为_______cm2.
7.一个直角三角形的三边长为3、4和a,则以a为半径的圆的面积是。
8.如图,点C是以AB为直径的半圆上一点,∠ACB=90°,
AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是。
9.等腰三角形的腰长为13cm,底边长为10cm,则其面积为.
10.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,求△ABC的周长。
第二课时
学习目标:
能用拼图验证勾股定理,能利用勾股定理解决实际问题。
二、知识回顾:
1、勾股定理:
2、求下列直角三角形的未知边的长
3、在一个直角三角形中,两条直角边分别为
,
,斜边为
:
(1)如果
,
,则
,面积为;
(2)如果
,
,则三角形的周长为,面积为;
活动一:
用四个全等的直角三角形拼出图1,并思考:
1.拼成的图1中有_______个正方形,
___个直角三角形。
2.图中大正方形的边
长为_______,小正方形的边长为_______。
3.你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积,列出一个等式,验证勾股定理吗?
活动二:
你能利用类似的方法由图2得到勾股定理吗?
活动三:
请利用图3验证勾股定理.
三、基础巩固:
1、如右图,AD=3,AB=4,BC=12,则CD=________;
2、如图,阴影部分的面积为;
3、一个直角三角形的三边分别为3,4,
,则
4、若等腰三角形的腰为10cm,底边长为16cm,则它的面积为;
5.如图,从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有米。
6.一直角三角形的斜边比直角边大2,另一直角边长为6,则斜边长为;
7.直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米,那么斜边上的高是;
8.直角三角形的三边长为连续偶数,则其周长为;
能力提升:
9.小东与哥哥同时从家中出发,小东以6km/h的速度向正北方向的学校走去,哥哥以8km/h的速度向正南方向走去,半小时后,他们相距
10.
如图,矩形纸片ABCD的边AB=10,BC=6,E为BC上一点将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE。
13、如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米,请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗?
14、有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝,现将ABC沿直线AD折叠,使AC落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长
15、如图1-4,一架梯子长25米,斜靠在一面墙上,梯子顶端离地面15米,要使梯子顶端离地24米,则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米?
第三课
欣赏几种常见的勾股定理的验证方法,加深对勾股定理的认识,体会勾股定理的的文化价值。
观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。
下面几个图是勾股定理的“无字证明”法,你能看懂吗?
五、基础巩固:
1、一直角三角形的三边分别为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面积
为
2、等腰直角三角形三边的平方比为
3、长方形的一条对角线的长为10cm,一边长为6cm,它的面积是
4、Rt
ABC中,
,AB=2,则AB2+BC2+CA2=.
5、如图,学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)。
6、一个矩形的抽斗长为24cm,宽为7cm,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是.
7、等腰三角形的底边为10cm,周长为36cm,则它的面积是cm2.
8.直角三角形两直角边的比为3:
4,面积是24,求这个三角形的周长.
9.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。
如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB’C’D’的位置,连接CC’,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC’D’的面积证明勾股定理。
10、如图,铁路上A、B两站(视为直线上两点)相距25㎞,C、D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15㎞,CB=10㎞.现在要在铁路上建设一个土特产收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少㎞处?
11、以Rt△ABC三边为直径作半圆,这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有什么关系?
说明理由。
第四课
掌握直角三角形的判别条件,并能进行简单的应用。
1、勾股定理:
条件:
结论:
2、分别以下列每组数为三边作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?
(1)3,4,5,
(2)6,8,10(3)9,12,15
勾股逆定理:
条件:
结论:
3、勾股数:
。
下列几组数是否为勾股数?
说说你的理由。
(1)12,18,22
(2)9,12,15(3)12,35,36(4)15,36,39
例1、一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。
工人师傅量得AB=3,AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗?
例2、如图,在正方形ABCD中,AB=4,AE=2,DF=1,图中有几个直角三角形,你是如何判断的?
例3、
(1)如果将一组勾股数扩大相同的倍数,得到的还是勾股数吗?
填写下表,并验证。
2倍
3倍
4倍
3,4,5
6,8,10
5,12,13
15,36,39
8,15,17
32,60,68
7,24,25
(2)如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长),将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后,得到的还是直角三角形吗?
说明理由。
四、基础巩固
1.下列说法正确的是()
A.若a、b、c是
的三边,则
B.若a、b、c是
的三边,则
C.若a、b、c是
的三边
,则
D.若a、b、c是
的三边
,则
2、以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是( )
A、8,15,17; B、4,5,6;C、5,8,10;D、8,39,40
3、下列几组数中,是勾股数的是()
A、4,5,6B、12,16,20C、-10,24,26D、2.4,4.5,5.1
4、若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是( )
A、等腰三角形B、直角三角形
C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形
5、有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其他数据弄混了,请你帮他找出来﹙﹚
A.13,12,12;B.12,12,8;C.13,10,12;D.5,8,4
6、三角形的三边长a,b,c满足等式(a+b)
-c
=2ab,则此三角形的是三角形。
7、如图,在平行四边形ABCD中,CA⊥AB,若AB=3,BC=5,则平行四边形ABCD的面积为
8、当m=时,以m+1,m+2,m+3的长为
边的三角形是直角三角形。
9.一个三角形的三边之长分别为15,20,25,则这个三角形的最大角为,这个三角形的面积为。
10、如果三条线段a、b、c满足a2=c2?
b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?
为什么?
11、如图,在?
DEF中,DE=17cm,EF=30cm,EF边上的中线DG=8cm,问?
DEF是等腰三角形吗?
为什么?
12、已知:
在△ABC中,三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1)。
试判断△ABC的形状.
13、如图所示的一块草地,已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,
求这块草地的面积。
14、如图,有一零件是等腰三角形ABC,AB=AC,底边BC=20,D是AB上的一点,且CD=16,BD=12,⊿ACD的形状,并求⊿ABC的周长。
第五课:
应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题。
1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是()
A.1.5,2,3;B.7,24,25;C.6,8,10;D.9,12,15
2、若有两条线段,长度分别为5,13,第三条线段的平方为时,这三条线段才能组成直角三角形。
3、圆柱的侧面展开图是________形,圆锥的侧面展开图是_______形。
4、圆的周长公式是___。
5、在一个圆柱石凳上,,恰好一只在A处的蚂蚁想吃到B处的食物,想一想,蚂蚁爬行的最短路线是什么?
自己做一个圆柱进行思考探索。
活动一:
如果上面的圆柱高等于12厘米,底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?
(π的值取3).
活动二:
一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗?
蚂蚁要爬行的最短行程是多少?
小结:
解决曲面上两点最短路线问题的方法是:
___________.
巩固练习:
1、在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,则a=.
2、三角形的三个内角之比为:
1:
2:
3,则此三角形是.
3、三条线段m,n,p满足m2-n2=p2,以这三条线段为边组成的三角形为
4、.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别是5,11,则b的面积为。
5、如图,一座城墙高11.7米,墙外有一个宽为9米的护城河,那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端?
6、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题:
有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?