学生原有知识结构和初中数学教学第三次作业.docx

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学生原有知识结构和初中数学教学第三次作业

（学生的原有知识结构与初中数学教学）第三次作业

在“数与代数”中选取一个具体内容，谈一谈您在初中数学教学中是如何注重学生的原有知识结构的？

一、学生的原有知识结构在初中数学教学中的地位与作用

什么是知识结构？

一般人们认为：

在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，这就是知识结构。

初中数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑学生的原有知识结构，教师只有及时准确地掌握了解学生的原有知识结构，才能进一步了解学生的思维水平，只有考虑清楚新旧知识的联系，以及学习新知识时学生原有基础知识是否够用，过渡性的目标与支持性的条件是什么等等，才能明确选择用什么样的教学方法来完成初中数学教学任务。

初中数学知识以小学数学知识为基础，是小学数学知识的扩展和发展，同时也是进一步学习高中数学知识的基础，可以说初中数学教学起着承上启下的重要作用。

与小学数学相比，初中数学的知识更加强调了学生对数学概念的认识和理解，强调了学生对知识的灵活应用能力以及逻辑思维能力等。

学生从小学进入初中，普遍感觉到数学课的进度快、难度大、要求高。

由于学生心理发展的连续性、小学学习习惯的滞留性与初中数学内容日益的抽象性，使得一部分学生进入初中后数学成绩明显下降，经常有家长抱怨：

我的孩子在小学时数学很好，怎么上了初中数学就变差了？

这是一个非常普遍的现象，它反映了中小学的数学教材在知识结构上发生了较大的变化，所以作为初中数学教师要深入研究、正确认识并把握：

学生的原有知识结构与初中数学教学的关系，从而使中小学的数学教学具有连续性和统一性。

二、下面我们谈一谈在“数与代数”这一领域如何正确认识并把握学生的原有知识结构与初中数学教学的关系

（一）整体把握《课程标准》中“数与代数”领域中小学在知识、思想、经验上的衔接点

“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。

要想正确认识“数与代数”这一领域学生的原有知识结构与初中数学教学的关系，教师必须从整体上来把握数学课程的内容，这里不仅包括把握中小学知识上的衔接点，更重要的是把握思想上和经验上的衔接点。

教师不仅要了解小学阶段为初中数学学习奠定了哪些知识和经验的基础，还要了解现在初中数学的内容在今后高中数学学习中的发展是什么等等。

1．准确掌握“数与代数”领域中小学在知识上的衔接点

小学第二学段明确提出了“式与方程”的这样一个版块，有三方面的要求：

在具体情景中会用字母表示数；会用方程表示简单情景中的等量关系；理解等式的性质，会用等式的性质，解简单的方程。

小学阶段主要是会解象3x＋2=5、2x－x=3这样简单的方程，实际上是简单的一元一次方程，过去把它叫做简易方程，这是课程标准对于小学的要求。

老师们要清楚在小学学生已经学了一点点方程，学了一点点字母表示数等，作为初中数学教师必须有一个直观了解，很多中学老师不知道自己的学生在小学已经学过字母表示数了，还把学生当成一张白纸重新再教。

此外，我们还应该看到小学跟中学学习方程确实有明显的差别，由于小学不要求负数的运算，所以我们在解方程的过程中是不要求出现有关负数的运算的。

因此，在进行初中数学教学时，教师无论是通过一些调查，还是通过一些访谈，首先要了解你们班的学生在小学知识掌握情况，然后再进行有针对性的教学设计，正确处理好学生原有知识结构与初中数学教学的关系。

2．深入领会“数与代数”领域中小学在思想方法上的衔接点

在“数与代数”这个领域，教师除了要清晰把握中小学知识上的衔接点，还要思考为什么要在小学就开始设置方程？

它的一些思想是什么？

这主要目的是让学生逐步从算术走入代数。

我们知道，用字母表示数，是从算术到代数的开始，因为有了字母，有了符号，我们就可以用符号来表示一般性的东西了，那么有了符号的运算，我们就可以进行一般性的运算和推理了，这是从算术到代数的重要思想，这种进化思想在中学非常重要。

另外，在小学引进方程还有一个目的就是解决算术应用题，我们知道，小学长期以来解算术应用题是一个难点，而很多繁难的算术应用题是可以用方程来解决的，特别是一些逆向的问题如果顺着想，列方程很简单。

引进方程，让学生初步体会到用方程解决实际问题的优越性，也就是说，设了未知数，那么未知数和已知数就可以同等地位参与运算列方程，这样一来，数量关系分析就比较简单了。

另外引进方程，特别是引进字母表示数，让学生初步感受函数的思想。

在初中数学教学中，要使不断的使学生体会到用方程来解决问题的优越性，帮助学生熟悉并逐步形成代数思维。

（二）注重旧知识的延伸点与新知识的生长点

1．在初中数学新知识的教学中，小学内容的第一个延伸是方程思想

对于方程来说，从原来的简单的没有负数参与运算的一元一次方程到初中要解决一般性的一元一次方程、一元二次方程及一些一次的方程组，这是从小学到中学一个很明显的延伸。

2．在初中数学新知识的教学中，小学内容的第二个延伸是树立一种模型的思想

因为小学阶段只是用方程解决一些简单的实际问题，让学生初步体会到方程能够帮助我们解决一些较难的问题。

但到了中学，我们要学习一些数学模型，比如说一元一次方程模型、一元二次方程模型等。

初中数学教师要善于让学生把实际问题中抽象出数学问题，然后建立一个模型，并解这个模型，最后应用这个模型解决实际问题。

通过这样的数学建模的一般过程，让学生体会到一元一次方程的模型可以帮助我们解决很多实际生活中的问题，一元二次方程的模型在解决一些极大值、极小值中起到了非常重要的作用等等。

3．在初中数学新知识的教学中，小学内容的第三个延伸是联系

在初中阶段，我们还有一个非常重要的一个内容就是函数和不等式。

所以我们在初中要让学生初步体会到方程与函数、不等式的一些联系，这种联系到高中会进一步得到加强，例如方程可能还会跟一些几何的东西进行研究，比如说圆锥曲线的一些方程等等。

4．在初中数学新知识的教学中，小学内容的第三个延伸是让学生进一步树立符号意识

符号能够帮助我们来刻划一般性的东西，能够帮助我们进行一般性的运算和推理，这个在小学只能是一个非常初步的体验，到了中学，我们有了方程、不等式、函数等模型；有了方程的一些运算；有了式的运算，便能充分体会到符号能够进行一般性的运算和推理，因此教学中要在学生的原有知识结构的基础上，抓住一些关键词：

一个是模型；一个是符号的意识；一个是运算，符号的运算。

⑴正确把握中小学数学中关于符号运算的特点是初中数学教学的关键

小学数学数概念的发展是以自然数，小数、分数（实际上是正分数）、百分数、负数的顺序展开的。

在掌握数概念的基础上，学习四则运算。

并且，在小学高年级，引入了“简易方程”，使学生初步认识了“用字母表示数”。

中学数学中首先接触的“有理数”的概念，通过全面地对“负数”的学习，完成有理数系的扩充；随后，引入无理数，完成实数系的扩充；进一步地，由解方程引入虚数，完成复数系的扩充。

但是，初中数学与小学数学的一个根本不同在于：

中学在完成数系扩充的同时，把重点放在了“用字母表示数”上，因为它是现代数学的根基，是形成符号化、形式化数学思想的基础，有此基础之后，中学数学可以学习代数式、方程、不等式，以及函数等内容，也正是这些内容构成了中学数学的核心。

⑵正确把握小学生与初中生的符号运算的学习特点是初中教学成功的保障

首先要明确初中与小学符号运算范围发生的大小不同：

小学阶段基本上是在算术集上的算术运算，初中数学，由于学习了有理数，实数的概念，学习了字母表示数的运算法则，所以，初中数学符号运算的范围要较小学有更大的定义域。

其次要明确初中与小学在运算的步骤，或者说复杂性水平上不同：

显然，小学生由于他们的认识，在很大程度上要依赖于对事物的直观，因此在进行符号运算时，自觉性，方向性，目的性就不如初中学生。

所以，在小学阶段的符号运算的复杂性水平要远远低于初中的水平。

比如，就是一个运算题，在小学里，涉及到的运算法则与概念就少；在初中就多，不仅包括小学已有的所有概念与法则，还包括新学习的例如：

绝对值的概念，相反数的概念，以及在字母表示数上的运算。

例如，解方程，不等式；函数解析式的意义等。

此外还要明确初中与小学抽象概括程度不同，对算理的教学要求不同：

小学更简单，初中更严谨。

或者说，小学更机械些，中学更强调推理的成分，以及对算法的简捷性、正确性、合理性的认识。

（三）重点突破“负数引入”和“从数到式”，实现“二次飞跃”

1．在初中数学教学中，要重点突破学生容易遇到的障碍的地方：

“负数概念的形成”

学生在学习负数时，与学习“0”（表示“没有”的意义）、学习分数、小数（表示一个整体的部分量的意义）相比较而言，负数概念的实际意义让学生感觉不是很自然。

教师在教学过程中，要耐心地让学生表示物体的长度、重量、温度等，体会仅用自然数、零和分数表示是不够的，在感性认识的基础上获得理性认识，通过列举实例来解释负数在实际生活中的意义，如使用温度计，说明最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃时，为把它们区分清楚，把零上5℃记作+5℃，把零下5℃记作-5℃，通过表示具有相反意义的量来学习负数概念，但是由于把曾经是运算符号的“+”（表示加法）和“-”（表示减法），现在又要将它们写在数字的前面来表示意义相反的量，成为性质符号，对于这一点学生很不适应，不仅如此，而且数集上的运算也发生了很大变化，括号“（）”的参与，去括号法则的复杂性，使得许多学生经常在进行有理数运算时犯错误。

因此，在初中数学教学中，必须符合学生的原有认知结构，以循序渐进的原则，使学生逐步对“数系扩充”的概念的发展水平上升到一个新高度，实现“一次飞跃”。

2．在初中数学教学中，要重点突破学生容易出现困难的地方：

“字母表示数的发展”

字母表示数具有二重性，也就是说：

字母表示的“数”既确定又任意，既要把字母看成是“数”的抽象，又要领会字母取值的任意性，这就要求学生在认识上从算术方法转变为用代数方法来思维。

表示学生数学能力发展水平的一个显著标志是学生使用“字母表示数”的水平。

学生如果能从数的运算中，看到把数抽象为字母表示的必要性；从求代数式的值的过程中，看到抽象的具体意义，理解字母表示就是对数的进一步抽象；会从数的运算性质，类比出式的运算性质；会用具体的数，去推断各种数学式子之间的关系，并能够验证其正确性。

只有到了这时，我们才能说学生理解了“用字母表示数”的思想方法。

但实际上，对于在一定程度上还依靠直观的、具体的内容来思维的中学生来讲，实现这个突破需要很长时间，教师可以不断地用一个个具体的情境，让孩子一点点的感知用字母表示数的优越性。

因此，在初中数学教学中，必须符合学生的原有认知结构，遵循螺旋式上升的原则，逐步使学生实现从“数”到“式”这个了不起的“二次飞跃”。

（四）针对初中数学“数与代数”领域，给老师们提出的几点教学建议

1．在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、求解、验证解的正确性与合理性的过程，通过这个过程使得学生发展符号感。

教学中要准确把握学生现阶段的认知发展水平、认知思维特点，加强方程、不等式、函数等内容的联系。

2．在初中学习用字母表示数时，教师要对学生学习的问题深层次的研究，字母表示数是其它重要的数学思想（方程思想、函数思想等）的根本所在，在字母表示数的学习中，还渗透了符号化、换元的思想方法，这些思想方法不仅可以逐步加深学生对“字母表示数”的理解，而且领会其中的思想方法实质，会促使学生对代数的认识上升到一个新水平。

在初中数学教学中，要把代数看成一种思维方式，它是一种对规律的一种推理的方式。

从这种角度理解，有利于我们整体把握数与代数这个领域的教学。

（五）下面以《分式》为例，谈一谈教学中的一些设计与感受

1．教学背景分析

⑴教学内容分析

《分式》选自北京市义务教育课程改革实验教材第15册第11章第1节，是在学生小学掌握了分数，中学掌握了整式及其运算,多项式的因式分解，以及一元一次方程等知识的基础上进行的，主要是通过类比分数的方法来学习研究分式的概念、性质和运算，并运用分式的有关知识解决分式方程、公式变形以及简单的实际问题等．分式的概念是分式一章中的重要内容，在解分式方程时可能产生增根，以及公式变形时要考虑字母的条件等都与分式的概念有重要的关系．分式的概念既是前面所学知识的深化、巩固和应用，又是进一步学习分式方程、公式变形、函数和一元二次方程等其他数学知识的基础，起着承前启后的关键作用．

⑵学生情况分析

我所任教的初二年级学生已初步具有“从具体到抽象、从特殊到一般”的认识事物规律的意识，特别是学生对于用新知识、新观点来认识周边的世界非常感兴趣，因此，在教学中，我选择适合分式内容而又接近学生生活的实际问题，在学生原有知识结构基础上，类比分数探究分式，反映分式来自实际又服务于实际的应用意识，加强对“分式是解决现实问题的一种数学模型”的认识，充分体现“从生活走进课程，从课程走进社会”的理念．

2．教学目标及教学重、难点的确定

根据数学课程标准中关于“分式”的教学要求，结合我们班学生已有的知识经验基础和认知能力，我确定了本节课的教学目标及教学重、难点：

⑴教学目标：

①使学生在现实情境中准确的列出分式，正确掌握分式的概念，理解有理式的概念以及分式与整式概念的区别联系、掌握分式有意义、分式值为0的条件．

②通过丰富的现实情境，使学生经历从具体情境中抽象出数量关系和变化规律的探索过程，体会建立分式数学模型的思想，以及特殊与一般的认识规律，进一步培养符号感及应用数学的意识.通过分式与分数的类比，使学生亲身经历探究由整式扩充到分式的过程，体会类比的数学方法、转化的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力．

③通过小组讨论交流以及开放探究等数学活动，培养学生互相合作的意识，活跃学生思维，体验学习的乐趣及探究精神．

⑵教学重、难点：

①教学重点：

正确理解掌握分式的概念．

②教学难点：

用类比数学方法掌握分式的概念，对分式有意义、分式值为0条件的探究．

3．教学方式与教学手段的选择

本节课通过丰富的现实情境问题，类比的数学方法，从特殊到一般，经历对具体问题的探索过程，采取师生互动探究发现式教学法，以学生小组讨论、合作探究、教师启发引导的方式学习分式的概念，体现以学生发展为本的理念．

在教学手段方面，我选择了多媒体课件辅助教学的方式，通过大量图片使学生从直观的具体情境中抽象出数量关系和变化规律，体会类比的方法，感悟数学建模思想．

4．教学过程的设计

⑴创设情境，导入新课

在学校开展“奥运我争先”活动中，善于细心观察的小明发现：

2008年奥运会主会场鸟巢国家体育场是世界上最大的钢结构建筑体育馆，观众容量为91000个（固定座位80000个，临时座位11000个），雅典奥运会主会场的观众容量为45000个．

问题1：

你知道鸟巢国家体育场的观众容量是雅典奥运会主会场观众容量的多少倍吗？

问题2：

如果鸟巢体育场观众容量为固定座位a个，临时座位b个，南非世界杯体育场观众容量为c个．你知道鸟巢体育场的观众容量是南非世界杯体育场观众容量的多少倍吗？

本阶段从学生亲身经历熟悉的现实生活入手，营造使学生亲自体验新知识的氛围，创设有利于引向数学问题本质的真实情境，学生会自然想到类比分数，从而引出研究课题—分式．

⑵建模类比，形成概念

同特征为：

都有类似于分数的形式；分子和分母都是整式；分母中的整式都含有字母，每一个分母都不得0．

本阶段通过学生观察，小组讨论、交流，类比分数，归纳分式的特征，体会类比、转化等数学思想方法，以及特殊与一般的认识规律．

③在此基础上，学生类比分数概念，抽象概括形成分式的概念．

一般地，用A、B表示两个整式，A÷B（B≠0）可以表示成

的形式．如果B中含有字母，那么我们把式子

（B≠0）叫做分式（fraction），其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．

强调：

分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，分数线可以理解为除号，还有括号的作用；分式的分母中必须含有字母，分子中可以含有字母也可以不含有字母；分母是除式，因此分母不等于零．只有在分母不等于零的条件下，式子才有意义．分母不等于零是分式概念的组成部分．

④在学生形成正确的分式概念后，教师指出：

“式”扩充到“有理式”，并引导学生概括得出有理式的概念及分类．

本阶段在学生原有知识结构的基础上，用准确的语言揭示分式概念的本质，突出分式概念的有关特征，并帮助学生顺利完成“从数到式”重大飞跃”。

⑶合作交流，巩固概念

本阶段通过以下题目，使学生巩固掌握分式的概念，感受分式概念在实际生活中的应用，引导学生关注社会，关注生活，发展符号感和应用意识．

①比一比，谁最快！

问题：

下列各式：

是分式吗？

如果不是，请说明理由．

本阶段通过学生抢答问题，活跃课堂气氛，使学生进一步理解分式的概念，正确理解分式与整式概念的区别及联系，从而提高思维辨析能力．

②试一试，你能行！

问题：

当x取什么值时，下列各式：

有意义？

本阶段先让学生独自进行判断，再组织学生讨论，交流自己的想法，然后教师给出规范的解题格式．使学生学会言必有据，明确遇到分式问题，首先要考虑当分母不等于零的条件，也就是说，必须在分母不等于零的前提下去研究分式问题．

③赛一赛，谁最棒！

问题：

从“1，－2，a，b－c”中，任意选取其中若干个，组成两个有理式，其中一个是整式，一个是分式．

本阶段通过开放探究型问题，使学生在交流、展示活动中，巩固有理式的概念，加深学生对整式与分式两个概念本质的区别与理解，培养学生发散思维、创新思维及探究能力．

⑷拓展探究，深化概念

1.分小组开展探究活动，议一议：

问题：

在什么条件下,一个分式的值为零?

如果分式

，怎样确定x的取值范围？

对于学生的错误结论，教师要引导学生想一想：

当x=1时，分式

有意义吗？

使学生在辨析中理解使分式的值等于零的条件，渗透分类讨论思想．

对于学生的正确结论，教师要给予及时的鼓励评价，并引导学生抽象、概括，探究使分式的值等于零的条件．

在学生分小组进行充分讨论、交流探究的基础上，师生共同总结得出：

分式的分母不为零时，分式才有意义；当分子为零且分母不为零时，分式的值为零．即：

分式

为零的条件是

2.巩固练习：

当x取什么值时，下列分式：

的值等于零？

本阶段采取先议后用例题加深认识的方法，培养学生一种认识问题的方法—先理性考虑，再实际操作，培养学生解题的规范性，思维的严谨性．

③拓展变式练习：

当x取什么值时，下列各式

有意义？

无意义？

各式的值为0？

本阶段通过学生巩固、变式、拓展练习，使学生对分式的概念逐渐内化成为自己的知识结构，培养学生思维的灵活性、广阔性、深刻性．

⑸课堂小结，反思感悟

反思《分式》这节课，本节课使学生经历从丰富具体的现实情境中抽象出数量关系和变化规律的探索过程，类比分数，归纳、概括、抽象形成分式的概念；在学生的原有知识基础上，用准确的语言揭示概念本质，突出概念有关特征；通过开放探究型、实际应用型等问题，培养学生思维的严谨性、发散性、灵活性、广阔性、深刻性，使学生对分式的概念逐渐内化成为自己的知识结构，渗透特殊与一般的认识规律，体会类比、转化、建模、方程、分类等数学思想方法，发展符号感及数学应用意识．