P在圆内；d=r
P在圆上；d>r
P在圆外．
注意：
已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系，反过来，由点的位置也可以确定该点到圆心的距离与半径的关系。
2、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
注意：
（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽略，因为过共线的三点不能作圆。
（2）“确定”一词是指不仅能作出圆，而且只能作一个圆，即“有且只有”。
3、三角形的外接圆
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。
注意：
（1）“接”是说明三角形的顶点与圆的关系，圆经过三角形的各顶点（或三角形各顶点都在圆上）。
而“内”、“外”是相对位置关系，是以一个图形为准，说明另一个图形在它的里面或外面。
如“圆的内接三角形”是以圆为准，说明三角形在它的里面。
（2）锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，无论哪种三角形，它们的外心都是三角形任意两边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等。
只要三角形确定，那么它的外心与外接圆的半径就确定了。
4、直线与圆的位置关系的特征与识别
5、切线
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
注意：
定义中有两个已知条件，即直线一要经过半径的外端，二要和这条半径垂直，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
6、切线的识别方法
①直线与圆只有唯一一个公共点，直线和圆相切；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
注意：
③实际上是②的另一种说法，但我们在做题时，往往连结圆心和圆上的一点，证明这条半径垂直于经过切点的这条切线即可。
7、切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。
这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
注意：
切线长定理体现了圆的本质特征----轴对称性，它为识别线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据。
8、三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。
注意：
一个三角形又且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形，三角形的内心是三条角平分线的交点，因此，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，三角形内心到三边的距离相等。
9、圆和圆的位置关系
（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。
外离：
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。
（图
（1））
内含：
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））。
两圆同心是两圆内含的一个特例。
（图（6））
（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切
外切：
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。
这个唯一的公共点叫做切点。
（图
（2））
内切：
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。
这个唯一的公共点叫做切点。
（图（4））
（3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。
（图（3））
注意：
（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。
两圆外切与内切也有这样的比较。
（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。
（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：
相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）。
10、两圆位置关系的数量特征
设两圆半径分别为R和r。
圆心距为d。
【典型例题感悟】
例1、OA平分∠BOC，P是OA上任一点，C不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是（）
（A）相离（B）相切（C）相交（D）不确定
分析：
因为以点P为圆心的圆与OC相离，则P到OC的距离大于圆的半径．又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P到OB的距离也大于圆的半径，故圆P与OB也相离．
解：
A．
例2、△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（）
（A）
（a＋b＋c）r（B）2（a＋b＋c）（C）
（a＋b＋c）r（D）（a＋b＋c）r
分析：
连结内心与三个顶点，则△ABC的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC的面积为
a·r＋
b·r＋
c·r＝
（a＋b＋c）r．
解：
A
例3、如图24.2-1，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O＝140°，则∠I为（）
（A）140°（B）125°（C）130°（D）110°
分析：
因点O为△ABC的外心，则∠BOC、∠A分别是
所对的圆心角、圆周角，所以∠O＝2∠A，故∠A＝
×140°＝70°．又因为I为△ABC的内心，所以
∠I＝90°＋
∠A＝90°＋
×70°＝125°．
解：
B．
点拨：
本题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念．注意三角形的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式．
例4、如图24.2-2，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点，且与BC切于点B，与AC交于D，连结BD，若BC＝
－1，则AC＝______．
分析：
在△ABC中，AB＝AC，
则∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BAC＝36°．
又BC切⊙O于B，
∴∠A＝∠DBC＝36°．
∴∠BDC＝72°．
∴∠ABD＝72°－36°＝36°．
∴AD＝BD＝BC．
易证△CBD∽△CAB，
∴BC2＝CD·CA．
∵AD＝BD＝BC，
∴CD＝AC－AD＝AC－BC．
∴BC2＝（AC－BC）·CA．
解关于AC的方程，得AC＝
BC．
∴AC＝
·（
－1）＝2．
解：
2．
金钥匙：
本题考查弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质．注意底角为72°的等腰三角形的特殊性，底角的平分线把对边分成的两线段的比为
，即成黄金比．
例5、如图24.2-3，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6cm，PO＝10cm，则△PDE的周长是______．
分析：
连结OA，则OA⊥AP．
在Rt△POA中，PA＝
＝
＝8（cm）．
由切线长定理，得EA＝EC，CD＝BD，PA＝PB，
∴△PDE的周长为PE＋DE＋PD＝PE＋EC＋DC＋PD，
＝PE＋EA＋PD＋DB
＝PA＋PB＝16（cm）．
解：
16cm．
金钥匙：
本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：
在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．
例6、已知：
如图24.2-4，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点（C、D不与B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交⊙O1于点E，连BE．
（1）求证：
BE是⊙O2的切线；
（2）如图24.2-5，若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和⊙O2的位置关系（不要求证明）．
分析：
（1）过B作⊙O2的直径BH，连结AB、AH，证∠EBH＝90°．
（2）用类似的方法去探求．
证明：
（1）连结AB，作⊙O2的直径BH，连结AH．
则∠ABH＋∠H＝90°，∠H＝∠ADB，∠EBA＝∠ECA．
图24.2-4
∵EC∥BD，
∴∠ADB＝∠ACE＝∠EBA．
∴∠EBA＋∠ABH＝90°．
即∠EBH＝90°．
∴BE是⊙O2的切线．
（2）同理可知，BE仍是⊙O2的切线．
图24.2-5
金钥匙：
证明一与圆有公共点的直线是圆的切线的一般方法是过公共点作半径（或直径），再证直径与半径垂直，但此题已知条件中无90°的角，故作直径构造90°的角，再进行角的转换．同时两圆相交，通常作它们的公共弦，这样把两圆中的角都联系起来了．另外，当问题进行了变式时，要学会借鉴已有的思路解题．
例7、已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10cm，其中⊙A的半径为4cm，求⊙B的半径。
分析：
两圆相切，有可能两圆外切，也有可能两圆内切，所以⊙B的半径就有两种情况。
解：
设⊙B的半径为R．
（1）如果两圆外切，那么d＝10＝4＋R，
R＝6．
（2）如果两圆内切，那么d＝｜R－4｜＝10，R＝－6（舍去），R＝14．
所以⊙B的半径为6cm或14cm
金钥匙：
本题要注意分类讨论，不要漏解。
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