深圳二模理科数学.docx
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深圳二模理科数学
绝密★启用前
试卷类型:
A
2013年深圳市高三年级第二次调研考试
数学(理科)2013.4
本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和考生号填写在答题卡指定位置上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.
参考公式:
锥体体积公式V1Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.
3
如果在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率记为P(B|A),那么
P(AB)P(A)P(B|A).
一、选择题:
本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.i为虚数单位,则i1等于
i
A.0B.2i
C.1i
D.1i
2.已知集合A{0,1},则满足条件AB{2,0,1,3}的集合B共有
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是
A.yx
B.yexex
C.yxsinx
D.ylg1x
1x
4.一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,若用分层抽样的方法从全体运动员中
抽出一个容量为28的样本,则样本中女运动员的人数为
A.9B.10C.11D.12
x2y2
5.已知双曲线
a2b2
1的渐近线方程为y
3x,则以它的顶点为焦点,焦点为
顶点的椭圆的离心率等于
123
A.B.C.
222
D.1
6.已知xR,则x1是|x1||x1|2|x|的
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
7.由曲线ysinx,ycosx与直线x0,xπ
2
所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积是
yycosx
O
图1
ysinx
πx
2
π
A.1B.
4
C.22D.2
3
22
8.在1(1x)(1x)2(1x)3(1x)4(1x)5的展开式中,含x2项的系数是
A.10B.15C.20D.25
二、填空题:
本大题共7小题,考生作答6小题,
每小题5分,满分30分.
(一)必做题:
第9、10、11、12、13题为必做题.
9.某简单组合体的三视图如图2,其中正视图与侧视图相同(尺寸如图,单位:
cm),则该组
合体的体积是cm3(结果保留).
1
1
正视图侧视图
1
2
俯视图图2
10.若直线ykx与曲线ylnx相切,则k
11.执行图3中程序框图表示的算法,其输出的结果
s为.
(注:
框图中的“=”,即为“←”或为“:
=”)
s0,t1,n0
sst2n
t1t
nn1
12.已知向量a(1,2),M是平面区域
x0,y0
xy10
2xy40
n8?
否
是
输出s
结束图3
内的动点,O是坐标原点,则aOM的最小值是.
13.在nn的方格中进行跳棋游戏.规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向
下,且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格.
设f(n)表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角☆
“☆”位置结束的所有不同路径的条数.如图4,给出了
n3时的一条路径.则
○
f(3);f(n).
图4
(二)选做题:
第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题.
14.(坐标系与参数方程选做题)
在极坐标系中,圆3cos上的点到直线cos()1的距离的最大值是.
3
15.(几何证明选讲选做题)T
如图5,P是圆O外一点,PT为切线,T为切点,
割线PAB经过圆心O,PT2
则PTA.
A
3,PB6,PB
O
图5
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,
且a2b2c2.
(1)求角C的大小;
ab
(2)求
c
的取值范围.
17.(本小题满分12分)
一个箱中原来装有大小相同的5个球,其中3个红球,2个白球.规定:
进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球,如果取出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白球,则该球不放回,并另补一个红球放到箱中.”
(1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为4的概率;
(2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望.
18.(本小题满分14分)
如图6,已知四边形ABCD是矩形,AB2BC2,三角形PAB是正三角形,且平面ABCD平面PCD.
(1)若O是CD的中点,证明:
BOPA;
(2)求二面角BPAD的余弦值.A
DB
OP
C
图6
19.(本小题满分14分)
已知数列{an},{bn}满足:
a10,b12013,且对任意的正整数n,an,an1,
bn和an1,bn1,bn均成等差数列.
(1)求a2,b2的值;
(2)证明:
{anbn}和{an2bn}均成等比数列;
(3)是否存在唯一的正整数c,使得ancbn恒成立?
证明你的结论.
20.(本小题满分14分)
已知动点M到点F(0,1)的距离与到直线y4的距离之和为5.
(1)求动点M的轨迹E的方程,并画出图形;
(2)若直线l:
yxm与轨迹E有两个不同的公共点A、B,求m的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,求弦长|AB|的最大值.
y
8
7
6
5
4
3
2
1F(0,1)
y4
54
32
1O
1
2
12345x
图7
21.(本小题满分14分)
定义(x,y)=|exy|y|xlny|,其中xR,yR.
(1)设a0,函数f(x)(x,a),试判断f(x)在定义域内零点的个数;
(2)设0ab,函数F(x)(x,a)(x,b),求F(x)的最小值;
(3)记
(2)中的最小值为T(a,b),若{an}是各项均为正数的单调递增数列,
n
证明:
T(ai,ai1)(an1a1)ln2.
i1
补充:
13.解:
由给出的3×3方格看出,要从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角“☆”位置,需要先从第一行跳到第二行,共有3种跳法,跳到第二行的每一个方格内要完成到达右上角“☆”位置,又可以看作从该方格有几种到达第三行的方法,所以该题只需思考向上走就行了,从第一行到第二行有3种跳法,从第二行到第三行也有3种跳法,故
f(3)=32=9.由此可推得n×n的方格中从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角“☆”位置的方法种数是n-1个n的乘积.即f(n)=nn-1.