图形的旋转基础.docx

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图形的旋转基础

图形的旋转

【要点梳理】

要点一、旋转的概念

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如∠AOA′）,如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：

旋转的三个要素：

旋转中心、旋转方向和旋转角度.

要点二、旋转的性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；　　

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　

　（3）旋转前、后的图形全等（△ABC≌△

）.

要点诠释：

图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

要点三、旋转的作图

在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．

要点诠释：

作图的步骤：

（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；

（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

　　（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

　　（4）连接所得到的各对应点.

【典型例题】

类型一、旋转的概念与性质

【例1】如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF.在这个旋转过程中：

（1）旋转中心是谁?

（2）旋转方向如何?

（3）经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？

（4）图中哪个角是旋转角？

（5）四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？

（6）AO与DO的长度有什么关系？

BO与EO呢？

（7）∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？

【变式】如图所示：

O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗？

如果能，设计出分割方案，并画出示意图．

【例2】如图，将图

（1）中的正方形图案绕中心旋转180°后，得到的图案是（　）

　　C.D.

类型二、旋转的作图

【例3】如图，已知△ABC与△DEF关于某一点对称，作出对称中心.

【例4】如图，在

正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将

向下平移4个单位，得到

，再把

绕点

顺时针旋转90°，得到

，请你画出

和

（不要求写画法）．

【变式】如图，画出

绕点

逆时针旋转

所得到的图形．

中心对称与中心对称图形

【要点梳理】

要点一、中心对称和中心对称图形

1.中心对称：

　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

要点诠释：

（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；

（2）位置必须满足一个条件：

将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重

合（全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的）.

2.中心对称图形：

　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

要点诠释：

（1）中心对称图形指的是一个图形；

（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.

3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：

中心对称

中心对称图形

区别

①指两个全等图形之间的相互位置关系．

②对称中心不定．

①指一个图形本身成中心对称．

②对称中心是图形自身或内部的点．

联系

如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．

如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．

要点二、关于原点对称的点的坐标特征

关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点P（x，y）关于原点的对称点

坐标为

（－x，－y），反之也成立.

【典型例题】

类型一、中心对称和中心对称图形

【例1】下列图形不是中心对称图形的是（）

A．①③B．②④C．②③D．①④

【变式】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　）

　　A．M或O或N　　　B．E或O或C　　　C．E或O或N　　　D．M或O或C

【例2】我们平时见过的几何图形,如:

线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？

哪些是轴对称图形？

中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.

类型二、作图

【例3】已知：

如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.

【变式】如图①，

，

，

，

为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，

，

，

，

，

为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．

类型三、利用图形变换的性质进行计算或证明

【例4】如图所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是__________.

【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为．

旋转

【要点梳理】

要点一、旋转

1.旋转的概念：

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如∠AOA′）,如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：

旋转的三个要素：

旋转中心、旋转方向和旋转角度.

2.旋转的性质:

（1）对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；　　

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　

　（3）旋转前、后的图形全等（△ABC≌△

）.

要点诠释：

图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

3.旋转的作图:

在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．

要点诠释：

作图的步骤：

（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；

（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

（4）连接所得到的各对应点.

要点二、特殊的旋转—中心对称

1.中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

要点诠释：

（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；

（2）位置必须满足一个条件：

将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形

重合（全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的）.

2.中心对称图形：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

要点诠释：

（1）中心对称图形指的是一个图形；

（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.

【典型例题】

类型一、旋转

【例1】数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：

它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？

甲同学说：

45°；乙同学说：

60°；丙同学说：

90°；丁同学说：

135°.以上四位同学的回答中，错误的是（）.

A．甲　　B.乙　　　C.丙　　　D.丁　　　　　　

【变式】以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是（）.　　　　　

ABCD

类型二、中心对称

【例2】如图，

是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.

【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）.

　　　　　A．　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

类型三、平移、轴对称、旋转

【例3】如图，设P是等边三角形ABC内一点，PB=3，PA=4，PC=5，求∠APB的度数.

【变式】已知D是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：

AD=BD+DC.

【例4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD.求证：

BD2=AB2+BC2.

【例5】正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上

（1）如图连结DF、BF，试问：

当正方形AEFG绕点A旋转时，DF、BF的长度是否始终相等？

若相等

请证明；若不相等请举出反例.

（2）若将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连结DG，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度

与线段DG的长度相等，并画图加以说明.

【变式】如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于_________．

【例6】如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=900，E、F是BC边上点且∠EAF=45°.　

求证：

．