计算机仿真第二章.docx
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计算机仿真第二章
第2章控制系统的数学模型及其转换
对被控制系统进行计算机仿真，首先应知道对象的数学模型，然后设计合适的控制器，使被控对象的响应达到预期的性能。
2.1线性系统数学模型的描述
1.传递函数
SISO系统一般表示形式：
两边Laplace变换，传递函数为（零初始条件）：
传递函数的MATLAB表示方法：
num=[b0b1…bm];den=[1a1a2…an]
即两个系数降幂排列向量。
[例2-1]给定系统的传递函数为
解：
MATLAB语句表示：
>>num=[612610];
>>den=[12311];
>>printsys（num,den）
对离散时间系统，动态模型以差分方程来描述。
采样时刻k的输入信号为u（kT），输出信号为y（kT），T为采样周期，则相应的差分方程为：
两边Z变换，脉冲传递函数为（零初始条件）：
脉冲传递函数的MATLAB表示方法：
num=[h0h1…hm];den=[1g1g2…gn]
即两个系数降幂排列向量。
2.零极点增益形式
SISO系统的零极点增益模型：
MATLAB表示方法：
Z=[z1;z2;…;zm];P=[p1;p2;…;pn];K=K
对离散系统，零极点增益模型为：
MATLAB表示：
Z=[z1;z2;…;zn];P=[p1;p2;…;pn];K=K
3.状态空间表达式
描述MIMO系统，是一种内部模型。
线性定常连续系统的状态空间表达式表示为：
式中，矩阵A,B,C,D具有合适的维数。
可简记为：
。
状态方程可由
来确定。
[例2-5]系统的状态空间表达式为
解：
MATLAB表示：
>>A=[001;-3/2–2–1/2;-30-4]
>>B=[11;-1-1;-1-3]
>>C=[100;010]
>>D=zeros（2,2）
对于离散系统，状态空间表达式表示为
简记为
。
2.2系统数学模型间的相互转换
仿真研究中，不同的控制算法需要不同形式的模型。
1.状态空间表达式到传递函数
调用格式：
[num,den]=ss2tf（A,B,C,D,iu）
iu为输入的代号。
对单变量系统iu=1。
2.状态空间表达式到零极点
调用格式：
[Z,P,K]=ss2zp（A,B,C,D,iu）
iu为输入的代号。
对单变量系统iu=1。
3.传递函数到状态空间表达式
调用格式：
[A,B,C,D]=tf2ss（num,den）
4.传递函数到零极点
调用格式：
[Z,P,K]=tf2zp（num,den）
5.零极点到状态空间表达式
调用格式：
[A,B,C,D]=zp2ss（Z,P,K）
6.零极点到传递函数
调用格式：
[num,den]=zp2tf（Z,P,K）
2.3系统模型的连接
控制系统常常由若干个环节通过串联、并联、反馈的连接方式组合而成。
1.串联连接
当系统
和
如图2-1连接时
图2-1系统的串联连接
这时有
串联后系统总的状态空间表达式为
或
串联后系统总的传递函数为
调用格式：
[A,B,C,D]=series（A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2）
[num,den]=series（num1,den1,num2,den2）
其中，（A1,B1,C1,D1）和（A2,B2,C2,D2）分别为系统1和系统2的状态空间形式的系数矩阵，（A,B,C,D）为串联连接后的整体状态空间形式的系数矩阵。
同样，第二式为传递函数形式。
[例2-14-1]求下列两系统串联后的系统模型
解：
MATLAB语句如下
>>num1=3;den1=[14];
>>num2=[24];den2=[123];
>>[num,den]=series（num1,den1,num2,den2）
2.并联连接
当系统
和
如图2-2所示连接时有
图2-2系统的并联连接
这时并联后系统总的状态空间表达式为
调用格式：
[A,B,C,D]=parallel（A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2）
[num,den]=parallel（num1,den1,num2,den2）
解：
MATLAB语句如下
>>num1=3;den1=[14];
>>num2=[24];den2=[123];
>>[num,den]=series（num1,den1,num2,den2）
3.反馈连接
当系统
和
如图2-3所示连接时有
图2-3系统的反馈连接
系统总的传递函数为
反馈连接处理函数feedback（）的调用格式：
[A,B,C,D]=feedback（A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,sign）
[num,den]=feedback（num1,den1,num2,den2,sign）
sign=1正反馈，sign=-1负反馈（默认）。
对于单位反馈系统，有专用处理函数：
[A,B,C,D]=cloop（A1,B1,C1,sign）
[num,den]=cloop（num1,den1,sign）
sign=1正反馈，sign=-1负反馈（默认）。
[例2-16]对于如下两系统
求如图2-3所示方式连接时的闭环传递函数。
解：
MATLAB语句如下
>>num1=[251];den1=[123];
>>num2=[510];den2=[110];
>>[num,den]=feedback（num1,den1,num2,den2）
>>printsys（num,den）
2.4典型系统的生成
1.建立二阶系统模型
对于二阶系统模型
利用函数ord（）来建立。
调用格式：
[num,den]=ord2（
）
[A,B,C,D]=ord2（
）
分别为无阻尼自然频率和阻尼系数。
[例2-19]已知
，求二阶系统的传递函数。
解：
MATLAB语句如下
>>[num,den]=ord2（2.4,0.4）;
>>printsys（num,den）
2.具有纯时延系统的padè近似
两点：
（a）对具有时延T的系统产生n阶Padè逼近：
函数调用格式：
[num,den]=pade（T,n）
（b）pade（T,n）也是绘图命令：
对具有时延T的系统绘制n阶Padè逼近的阶跃响应和频域相位特性并与原时延系统比较。
[例2-20]计算一个具有0.1s时延系统的n阶Padè逼近，并比较其阶跃响应和频域相位特性。
解：
MATLAB语句如下
>>[num,den]=pade（0.1,3）%取n=3
>>printsys（num,den）
>>pade（0.1,3）%绘图
3.建立n阶随机稳定的连续系统模型
[A,B,C,D]=rmodel（n）%建立一个单变量n阶稳定连续系统模型
[A,B,C,D]=rmodel（n,m,r）%建立一个r输入m输出的随机n阶稳定模型
[num,den]=rmodel（n）%建立一个单变量系统的随机n阶稳定模型
4.建立n阶随机稳定的离散系统模型
[G,H,C,D]=drmodel（n）%建立一个单变量n阶稳定离散系统模型
[G,H,C,D]=drmodel（n,m,r）%建立一个r输入m输出的随机n阶稳定模型
[num,den]=drmodel（n）%建立一个单变量系统的随机n阶稳定模型
2.5系统的离散化和连续化
1.连续系统的离散化
已知连续系统的状态空间表达式
在采样周期T下离散化后的状态空间表达式为
其中，
在MATLAB中，若已知连续系统的状态模型
和采样时间T，可利用如下函数求得系统离散化后的系数矩阵G和H。
[G,H]=c2d（A,B,T）%状态空间形式
另外，功能更强的函数：
[G,H,C,D]=c2dm（A,B,C,D,T,’选项’）%状态空间形式
[numd,dend]=c2dm（num,den,T,’’选项’）%传递函数形式
[例2-22]对连续系统
在采样周期T=0.1时进行离散化。
解：
用4种方法离散化
>>K=6;Z=[-3];P=[-1;-2;-5];T=0.1;
>>[A,B,C,D]=zp2ss（Z,P,K）
>>[G1,H1]=c2d（A,B,T）
>>[G2,H2,C2,D2]=c2dm（A,B,C,D,T,’zoh’）
>>[G3,H3,C3,D3]=c2dm（A,B,C,D,T,’foh’）
>>[G4,H4,C4,D4]=c2dm（A,B,C,D,T,’tustin’）
2.离散函数的连续化
调用格式：
[A,B]=d2c（G,H,T）
[A,B,C,D]=d2cm（G,H,C,D,T,’选项’）%’选项’同前
3.离散时间系统重采样
调用格式：
sys1=d2d（sys,T）
在新的采样周期T下，构成新的离散时间系统sys1。
上面指令等价于：
sys1=c2d（d2c（sys,T））
[例2-23]离散时间系统在采样周期T=0.1s时为
将以上系统在采样周期T=0.05s时进行重新采样。
解：
MATLAB语句
>>K=1;Z=[0.7];P=[0.5];T=0.1;
>>sys=zpk（Z,P,K,T）%显示零极点形式
>>sys1=d2d（sys,0.05）
2.6系统的特征值
1.求系统的阻尼系数和固有频率
调用格式：
[wn,zeta]=damp（A）
wn—自然频率；zeta—阻尼系数；
A—传递函数特征多项式系数（行向量）。
[例2-24]已知连续系统
求系统自然频率和阻尼系数。
解：
MATLAB语句
>>num=[251];den=[123];
>>[wn,zeta]=damp（den）
2.求系统的增益
调用格式：
K=dcgain（num,den）
对SISO系统，返回值K是标量。
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