点与圆直线与圆一轮复习.docx

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点与圆直线与圆一轮复习

第26课点与圆、直线与圆的位置关系

第一部分讲解部分

（一）课标要求

1、点与圆的位置关系

⑴、能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系.

⑵、知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图.

2、直线与圆的位置关系

⑴、能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.

⑵、了解切线的概念.

⑶、能运用切线的性质进行简单计算和说理.

⑷、掌握切线的判别方法.

⑸、了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念.

⑹、能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.

（二）知识要点

知识点1：

点与圆的位置关系

点和圆的位置关系：

如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d..那么

①点在圆外

②点在圆上

③点在圆内

知识点2：

过三点的圆：

（1）过三点的圆：

①经过在同一直线上的三点不能作圆，②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆。

（2）三角形的外接圆：

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。

这个三角形叫做这个圆的内接三角形，

三角形外心到三角形三个顶点距离相等。

（3）三角形的外接圆的做法：

①确定圆心：

作任意两边的中垂线，交点即为圆心。

②确定半径：

两边中垂线的交点到三角形任意一顶点间的距离作为半径。

知识点3：

直线与圆的位置关系

1直线与圆的位置关系概念：

①直线与圆有两个公共点时，叫直线与圆相交，直线叫圆的割线。

②直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，唯一公共点叫切点，直线叫圆的切线

③直线与圆没有公共点时，叫直线与圆相离。

⑵直线与圆的位置关系性质与判定

如果圆的半径为r,圆心到直线的距离为d..那么

直线与圆相离

直线与圆相切

直线与圆相交

知识点4：

切线的性质和判定

⑴切线的性质：

①切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

②推论1：

经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。

③推论2：

经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。

⑵切线的判定：

①和圆只有唯一公共点的直线是圆的切线。

②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

知识点5:

三角形的内切圆

三角形的内切圆：

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

（三）考点精讲

知识点1：

点与圆的位置关系（一般以选择题、填空题、解答形式出现）

例1（2011）矩形ABCD中，AB=8，BC=3

边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（　　）

A、点B、C均在圆P外

B、点B在圆P外、点C在圆P内

C、点B在圆P内、点C在圆P外

D、点B、C均在圆P内

思路分析：

根据BP=3AP和AB的长度求得AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可．

解答：

解：

∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP，

∴AP=2，

∴r=PD=

=7，

PC=

=

=9，

∵PB=6＜r，PC=9＞r

∴点B在圆P内、点C在圆P外

故选C．

点评：

本题考查点与圆的位置关系，属于基础题

例2（2011湖北武汉）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（　　）

A．12秒B．16秒C．20秒D．24秒

思路分析：

过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失．

解答：

解：

如图：

过点A作AC⊥⊥ON，

∵∠QON=30°，OA=240米，

∴AC=120米，

当火车到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=200米，

由勾股定理得：

BC=160米，CD=160米，即BC=320米，

∵72千米/小时=20米/秒，

∴影响时间应是：

320÷20=16秒．

故选B．

点评：

本题考查的是点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对小学产生噪音的时间，属于中档题。

知识点2：

过三点的圆：

（题型：

作图题出现的较多）

例1：

（2011山东烟台）如图，△ABC的外心坐标是__________.

思路分析：

首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．

解答：

解：

∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，

∴作图得：

∴EF与MN的交点O即为所求的△ABC的外心，

∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故答案为：

（﹣2，﹣1）．

点评：

此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．

知识点3：

直线与圆的位置关系（一般以选择题、填空题形式出现）

例1：

已知圆的直径为13cm，圆心到直线

的距离为6cm，那么直线

和这个圆的公共点有个.

思路分析：

直线与圆的位置关系包括：

相离、相切、相交．判定方法有两种：

一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线

的距离与圆的半径．实际上这两种方法是等价的，由题意可知圆的半径为6.5cm，而圆心到直线

的距离为6cm，6cm<6.5cm，所以直线

与圆相交，有2个公共点．故填2．

例2：

（2011台湾省）如图为平面上圆O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若圆O的半径为20公分，且O点到其中一直线的距离为14公分，则此直线为何？

（　　）

A、L1B、L2C、L3D、L4

思路分析：

根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：

当d=r，则直线和圆相切；当d＜r，则直线和圆相交；当d＞r，则直线和圆相离，进行分析判断．

解答：

解：

因为所求直线到圆心O点的距离为14公分＜半径20公分，

所以此直线为圆O的割线，即为直线L2．

故选B．

点评：

此题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，能够结合图形进行分析判断．

知识点4：

切线的性质和判定（题型：

选择题、填空题、解答）

例1：

（2011•包头）已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（　　）

A、30°B、60°

C、45°D、50°

分析：

连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．

解答：

解：

连接OC，

∵OC=OA，，PD平分∠APC，

∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，

∴∠DPA+∠A=45°，

即∠CDP=45°．

故选C．

点评：

本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．

例2：

（2011山东淄博）已知：

△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：

直线EF是⊙O的切线；

（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．

思路分析：

（1）连接OE．欲证直线EF是⊙O的切线，只需证明EF⊥AC．利用等边三角形的三个内角都是60°、等腰三角形OBE以及三角形的内角和定理求得同位角∠BOE=∠A=60°，从而判定OE∥AC，所以由已知条件EF⊥AC判定OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；

（2）连接DF．设⊙O的半径是r．由等边三角形的三个内角都是60°、三条边都相等、以及在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半求得关于r的方程4﹣r=2（4r﹣4），解方程即可．

解答：

解：

（1）证明：

连接OE．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°；

在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，

∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°（三角形内角和定理），

∴∠BOE=∠A=60°，

∴OE∥AC（同位角相等，两直线平行）；

∵EF⊥AC，

∴OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；

（2）连接DF．

∵DF与⊙O相切，

∴∠ADF=90°．

设⊙O的半径是r，则EB=r，EC=4﹣r，AD=4﹣2r．

在Rt△ADF中，∠A=60°，

∴AF=2AD=8﹣4r．

∴FC=4r﹣4；

在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，

∴4﹣r=2（4r﹣4），

解得，r=

；

∴⊙O的半径是

．

点评：

本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

知识点5：

三角形内切圆

例1：

（2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）

A2mB.3m

C.6mD.9m

思路分析：

根据：

△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积即可求解．

解答：

解：

在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m．

则AB=

=

=10．

∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r．

△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积

即：

AC•BC=

AB•r+

BC•r+

AC•r即：

6×8=10r+8r+6r∴r=

=2．

故O到三条支路的管道总长是2×3=6m．

故选C．

点评：

本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键．

※“真题演练”★

一、选择

1.（2011贵州遵义）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）

A.DE＝DOB.AB＝AC

C.CD＝DBD.AC∥OD

2.（2011湖北随州）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝（　　）

A、30°B、45°C、60°D、67.5°

二、填空题

3.（2011江苏苏州）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=

，则线段BC的长度等于_______．

4.（2011•青海）如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A、B两点，C是⊙O上的一点，若∠P=70°，则∠ACB=　　°．

5.（2011•广东汕头）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C=　25°　．

三、解答题

6.（2011江苏淮安）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°.

（1）直线BD是否与⊙O相切？

为什么？

（2）连接CD，若CD=5，求AB的长.

7.（2011•江苏徐州）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，OP交AB于点C，OP=13，sin∠APC=

．

（1）求⊙O的半径；

（2）求弦AB的长．

※“练习部分”★

1（2011四川眉山）如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BOC的度数为（　　）

A．50°B．25°C．40°D．60°

2.（2011成都）已知⊙O的面积为9πcm2，若点0到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相交B．相切C．相离D．无法确定

3.（2011台湾）如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A．C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？

（　　）

A．97°B．104°C．116°D．142°

4.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（　　）

A、30°B、45°C、60°D、67.5°

5.（2011•南通）已知：

如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y＝

x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝

6.（2010河南，10，3分）如图，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D且AB为⊙O的直径，点E是

上异于点A、D的一点．若∠C=40°，则∠E的度数为　　．

7.（2011湖南长沙）如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P＝20°，则∠A＝___________°．

8.（2011•贺州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．

（1）求证：

AC平分∠DAB；

（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（3）若CD=4，AC=4

，求垂线段OE的长．

9.（2011•安顺）已知：

如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：

点D是AB的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）若⊙O的直径为18，cosB=

，求DE的长．

10.（2011•菏泽）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，

（1）求证：

△ABE∽△ADB；

（2）求AB的长；

（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

※“真题演练”答案★

1、A分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线．根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．

2、D分析：

根据图形利用切线的性质，得到∠COD＝45°，连接AC，∠ACO＝22.5°，

所以∠PCA＝90°－22.5°＝67.5°．

解答：

解：

如图：

∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，

又∵OC＝CD，∴∠COD＝45°，

连接AC，∵AO＝CO，∴∠ACO＝22.5°，∴∠PCA＝90°－22.5°＝67.5°．

故选D．

3、答案是：

1．解：

∵CD与⊙O相切，切点为D，∴CD2=BC•AC，即CD2=BC•3BC=3，解得：

BC=1．

4、55°分析：

连接OA、OB，由已知的PA、PB与圆O分别相切于点A、B，根据切线的性质得到OA⊥AP，OB⊥PB，从而得到∠OAP=∠OBP=90°，然后由已知的∠P的度数，根据四边形的内角和为360°，求出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半即可得到∠ACB的度数

5、25°分析：

连接OB，AB与⊙O相切于点B，得到∠OBA=90°，根据三角形内角和得到∠AOB的度数，然后用三角形外角的性质求出∠C的度数．

6、

（2）AB=15

分析：

（1）连接OD，通过计算得到∠ODB=90°，证明BD与⊙O相切．

（2）．分析：

△OCD是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出AB的长．

7、

（1）半径为5

（2）AB=

分析

（1）：

由题意可推出OA⊥AP，即可推出OA的长度，即半径的长度；

（2）根据题意和

（1）的结论，即可推出PA=PB，∠APO=∠BPO，AC=BC=

AB，可以推出AC的长度，即可推出AB的长度．

※“练习部分”答案★

一、选择题

1A分析：

由PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°可得到∠AOB，而AC是⊙O的直径，根据互补即可得到∠BOC的度数．

故选A．

2C分析：

设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点0到直线l的距离π比较即可．

故选C．

3.C分析：

先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD的度数，根据角平分线的定义得出角BAF的的度数，再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角，得出角ABD的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出角AFB的度数．

故选C．

4.D分析：

根据图形利用切线的性质，得到∠COD=45°，连接AC，∠ACO=22.5°，所以∠PCA=90°-22.5°=67.5°．．

故选D．

5.9分析：

由三个半圆依次与直线y＝

x相切并且圆心都在x轴上，∴y＝

x倾斜角是30°，∴得，OO

=2r

，OO

=2r

，00

=2r

，r1＝1，∴r3=9．故答案为9．

6.答案为：

40°分析：

如图：

连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵BC切⊙O于点B，∴∠ABC=90°，

∵∠C=40°，∴∠BAC=50°，∴∠ABD=40°，∴∠E=∠ABD=40°．

7.∠A＝35°分析：

由PC与⊙O相切于点C，得∠PCO＝90°，而∠P＝20°，所以∠POC＝70°；因为OA＝OC，所以∠A＝∠ACO；又∠A＋∠ACO＝∠POC＝70°，

故∠A＝35°．

8.分析：

（1）连接OC，由CD为圆O的切线，根据切线性质得到OC与CD垂直，又AD与CD垂直，根据平面上垂直于同一条直线的两直线平行得到AD与OC平行，由平行得一对内错角相等，又因为两半径OA与OC相等，根据等边对等角，得到一对相等的角，利用等量代换，即可得到∠DAC=∠OAC，即AC为∠DAB的平分线；

（2）以O为圆心，以大于O到AC的距离为半径画弧，与AC交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间距离的一半长为半径在AC的另一侧画弧，两弧交于一点，经过此点与点O确定一条直线，即为所求的直线，如图所示；

（3）在直角三角形ACD中，由CD和AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再根据垂径定理，由OE与AC垂直，得到E为AC中点，求出AE的长，由

（1）推出的角平分线得一对角相等，再由一对直角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，由相似得比例即可求出OE的长．垂线段OE的长为

．

9.分析：

（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；

（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；

（3）结论CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=

，求得BD=6，则AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=

，可求AE，利用勾股定理求DE=

．

10.分析：

（1）根据AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明△ABE∽△ADB．

（2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长．AB=

（3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF=90°即可．

作者：

吕丽俊

单位：

辽宁省本溪市36中学

QQ：

564523162

邮箱：

lvlijun_2009@