小学奥数系统复习讲义完整版.docx
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小学奥数系统复习讲义完整版
小学奥数知识点分类
小学奥数大约80个知识点，可分成5大类，数论和行程是重点也是难点。
小学奥数系统复习讲义（完整版）
2222
3333
6．速算巧算基本方法
凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法
7．等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，
【构造法】等较难的计算方法。
拆分裂项公式：
等差数列公式：
第一部分
计算能力
万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视！
基本公式
1．运算顺序
第一级：
括号：
（）→[]→{}
第二级：
×÷:
同一级别可以交换运算次序
简单等比公式：
例题分析
第三级：
＋－：
同一级别可以交换运算次序
2．去括号
1.
393+404+397+398+405+401+400+399+391+402
①
②
③
a＋（b＋c）=a＋b＋ca＋（b－c）=a＋b－c
a－（b＋c）=a－b－ca－（b－c）=a－b＋c
a×（b×c）=a×b×ca×（b÷c）=a×b÷c
2.
比较下面A,B两数的大小：
A=2009×2009，B=2008×2010
④a÷（b×c）=a÷b÷ca÷（b÷c）=a÷b×c
3．分配律/结合律
乘法:
a×（b＋c）=a×b＋a×c
a×b＋a×c=a×（b＋c）
除法：
（a＋b）÷c=a÷c＋b÷c
a÷c＋b÷c=（a＋b）÷c
4．两个必须掌握的性质
两个数的和一定，则两数越相近，积越大
3.
4.
结果末尾有多少个零？
100＋99＋98－97－96－95＋……＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1
两个数的积一定，则两数越分散，和越大
巩固练习
5．几个计算公式
22
2
5.
376＋385＋391＋380＋377＋389＋383＋374＋366＋378
22
求和公式一:
1+2+3+……+n=
6.
1÷50+2÷50+3÷50+……50÷50
2010
÷2010
第二部分
基础知识
基础知识点列表
7.
8.
9999999×2009
7777×3333÷1111
9.
比较下面A,B两数的大小：
A＝987654321×123456789；
B＝987654322×123456788
Ø
归一问题
【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标
准，求出所要求的数量。
这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】总量÷份数＝1份数量
10.1996＋1994－1992－1990＋1988＋1986－1984－1982＋1980＋1978
－1976－1974＋1972＋1970……＋4＋2
1份数量×所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【例题】买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？
解：
（1）买1支铅笔多少钱？
0.6÷5＝0.12（元）
（2）买16支铅笔需要多少钱？
0.12×16＝1.92（元）
列成综合算式：
0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
答：
需要1.92元。
11.3台拖拉机3天耕地90公顷，5台拖拉机6天耕地多少公顷？
12.5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105
吨钢材，需要运几次？
Ø
归总问题
【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求
的问题，叫归总问题。
所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）
的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】1份数量×份数＝总量
总量÷1份数量＝份数
总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
17.甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲
车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？
【例题】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服
Ø
和倍问题
用布2.8米。
原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？
解：
（1）这批布总共有多少米？
3.2×791＝2531.2（米）
（2）现在可以做多少套？
2531.2÷2.8＝904（套）
列成综合算式3.2×791÷2.8＝904（套）
答：
现在可以做904套。
13.小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。
小明每天读36页书，
几天可以读完《红岩》？
14.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬
菜。
后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可
以吃多少天？
【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之
几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数
总和－较小的数＝较大的数
较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例题】果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏
树、桃树各多少棵？
解：
（1）杏树有多少棵？
248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？
62×3＝186（棵）
答：
杏树有62棵，桃树有186棵。
18.东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求
两库各存粮多少吨？
Ø
和差问题
【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和
差问题。
【数量关系】大数＝（和＋差）÷2
小数＝（和－差）÷2
【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
【例题】甲乙两班共学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？
解：
甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）
答：
甲班有52人，乙班有46人。
19.甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，
从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？
20.甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三
数各是多少？
15.长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积?
Ø
差倍问题
【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之
几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
16.有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，
甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例题】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。
求
杏树、桃树各多少棵？
25.甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取1.6米，2米，1.2米长的
钢条，要求都按0.4米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了24
解：
（1）杏树有多少棵？
（2）桃树有多少棵？
124÷（3－1）＝62（棵）
62×3＝186（棵）
段，25段，27段，谁锯钢条的速度最快？
答：
果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
21.爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子
二人今年各是多少岁？
26.某一淡水湖的周长1350米,在湖边每隔9米种柳树一株,在两株柳树
中间种植2株夹枝桃,可栽柳树多少株?
可栽夹枝桃多少株?
两株夹枝
桃之间相距多少米?
22.商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，
又知本月盈利比上月盈利多30万元，这两个月盈利各是多少万元？
27.一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一
个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？
23.粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是10吨，
多少天后，玉米是小麦的12倍？
Ø
年龄问题
【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄
差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
Ø
植树问题
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其
基本类型及公式：
①在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。
基本公式：
棵树=段数＋1；棵距（段长）×段数=总长
②在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。
基本公式：
棵树=段数－1；棵距（段长）×段数=总长
③在封闭曲线上植树：
基本公式：
棵树=段数；棵距（段长）×段数=总长
关键问题：
确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。
【例题】一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵
垂柳？
解：
136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：
一共要栽69棵垂柳。
24.一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能
栽多少棵白杨树？
与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
【例题】爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？
明年呢？
解35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：
今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
28.母亲今年37岁，女儿7岁，几年后母亲年龄是女儿的4倍？
29.3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父
子今年各多少岁？
30.甲对乙说：
“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。
乙对
甲说：
“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。
求甲乙
现在的岁数各是多少？
识来解决。
在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出
现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周
期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，
最后根据余数的大小得出正确的结果。
Ø
盈亏问题
周期现象：
事物在变化过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），
一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类
应用题叫做盈亏问题。
闰年：
四年一闰，百年不闰，四百年再闰；
月份：
1、3、5、7、8、10、12月大。
解答周期问题的关键：
【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
Ø
Ø
找出周期T,
考察余数，注意周期的首尾两数。
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4
个就少1个。
问有多少小朋友？
有多少个苹果？
解：
按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：
（1）有小朋友多少人？
（11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少个苹果？
3×12＋11＝47（个）
答：
有小朋友12人，有47个苹果。
31.修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天
修300米，修完全长仍得延长4天。
这条路全长多少米？
32.学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45
人，就刚好坐完。
问有多少车？
多少人？
例题分析
【例1】元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期几？
【解】平年元旦到国庆节共有的天数：
31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274；
循环的周期和余数：
274÷7=39…1；
平年的国庆节是星期日；[整周期的第一个数]
闰年元旦到国庆节共有的天数：
274+1=275；
循环的周期和余数：
275÷7=39…2；
闰年的国庆节是星期一；[整周期的第二个数]
【例2】甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次
取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期______。
【解】21天内，每人取奶7次，甲第8次取奶又是星期一，即每取7次奶
为一个周期100÷7＝14……2，所以甲第100次取奶是星期二。
基础务实
33.1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期几？
Ø
周期问题
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。
如：
人调
查十二生肖：
鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年
有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。
像这样日常生活中常碰到的有
一定周期的问题，我们称为简单周期问题。
这类问题一般要利用余数的知
34.《小学生数学报》每周星期五出版一期，1994年10月份第1期是10
月7日出版的，1995年1月份第1期应在1月几日出版？
35.果园里要种100棵果树，要求每六棵为一组。
第一棵种苹果树，第二、
Ø
鸡兔同笼
三棵种梨树，后面三棵，即第四、第五、第六棵种桃树。
那么，最后
一棵应种什么树？
在这100棵树中，有苹果树、梨树、桃树各多少棵？
36.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、
黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面紧接
着有3盏彩灯。
那么第73盏灯是什么颜色的灯？
37.小明把节省下来的硬币先按四个1分，再按三个2分，最后按两个5
分这样的顺序往下排。
那么，他排的第111个是几分硬币，这111个
硬币共多少元？
38.如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是几
点钟？
39.某年的10月里有5个星期六，4个星期日。
问：
这年的10月1日是
星期几？
【含义】这是古典的算术问题。
已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，
求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。
已知鸡兔的总数和
鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以
假设都是兔。
如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然
后以鸡换兔。
这类问题也叫置换问题。
通过先假设，再置换，使问题得到
解决。
【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。
数数头有三十五，脚数共有
九十四．请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
解：
假设35只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设35只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：
有鸡23只，有兔12只。
43.2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施
肥9千克，求白菜有多少亩？
40.学校一学期共安排86节数学课，单周一、三、五每天两节，双周二、
四每天两节。
开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上，
则最后一节数学课是星期几上的？
41.1993年一月份有4个星期四、5个星期五，1993年1月4日是星期几？
44.李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20
元，日记本每本0.70元。
问作业本和日记本各买了多少本？
45.（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，
问鸡与兔各多少只？
42.有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个
数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，第1991个数
被3除，所得的余数是多少？
46.有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个
馍，问大小和尚各多少人？
Ø
方阵问题
个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。
【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条
件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：
总人数＝每边人数×每边人数
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数
自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
【例题】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22
人，参加体操表演的同学一共有多少人？
解：
22×22＝484（人）
抽屉原则可以推广为：
如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那
么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽
屉要放（k＋1）个或更多的元素。
【解题思路】
（1）改造抽屉，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屉；
（3）说明理由，得出结论。
【例题】育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学
生的生日是同一天的？
解：
由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，
把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。
367个“元素”放进
366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元
素”。
这说明至少有2个学生的生日是同一天的。
50.有一四种颜色的小旗，任意取出三个排成一排，表示各种信号，在200
个信号中至少有多少个信号相同？
答：
参加体操表演的同学一共有484人。
47.有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
51.书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种
奖品。
问至少应有多少名获奖的同学，才能保证其中必有4名同学得
48.有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数
到的奖品完全相同？
是28人，这队学生共多少人？
52.一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。
其中红球10个，白
49.一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增
加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？
球9个，黄球8个，蓝球2个。
某人闭着眼睛从中取出若干个，试问
他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？
Ø
抽屉原理
Ø
容斥原理
【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？
要么把2只苹
果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同
一个抽屉中。
这两种情况可用一句话表示：
一定有一个抽屉中放了2只或
2只以上的苹果。
这就是数学中的抽屉原则问题。
【数量关系】基本的抽屉原则是：
如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n
公式法：
直接应用包含与排除的概念和公式进行求解
容斥原理一：
C=A+B-AB，利用这一公式可计出两个集合圈的有关问题。
容斥原理二：
D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC利用这一公式可计算三个集
合圈的有关问题。
图像法：
不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析，
逐块地计算出各个部分，从而解答问题。
【例1】某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数
学得优的有24，其中语文、数学都得优的有12人。
全班得优共有多少人？
【解】全班得优分3种:
语数均得优;语文得优数学不得优;数学得优语文
不得优。
语数均得优=12人
语文得优数学不得优=15-12=3人
数学得优语文不得优=24-12=12人
全班得优共有12+3+12=27人
53.某班共50人,参加课外兴趣小组学书法的32人,学绘画的28人，其
中两种都学的15人,这个班级还有多少人没参加兴趣小组？
54.从1到100的自然数中，
（1）不能被6和10整除的数有多少个？
（2）至少能被2，3，5中一个数整除的数有多少个？
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？
56.甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建，分别教数学、语文、
英语。
根据下面的已知条件：
（1）甲不是浙江人，乙不是江苏人；
（2）浙江的教师不教英语；
（3）江苏的教师教数学；（4）乙不教语文。
则丙不教什么学科？
57.执行一项任务，要派A、B、C、D、E五人中的一些人去，受下述条件
约束：
（1）若A去，B必须去；
（2）D、E两人至少去1人；（3）B、C
两人只能去1人；（4）C、D两人都去或都不去；（5）若E去，A、D
两人也必须去。
问应派哪些人去？
Ø
数字谜
Ø
逻辑推理
数字谜语是一种有趣的数学问题。
它的特点是给出运算式子，但式中
逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是
根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终
找到问题的答案。
逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷
惑性，并且没有一定的解题模式。
因此，要正确解决这类问题，不仅需要
始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律同一律，矛盾律
和排中律。
①“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。
②“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既
不真也不假。
③“同一律”指的是在同一思维过程中，
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